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Ebenengleichungen Ebenengleichungen gibb gibb BMS BMS Hans Berger © 2000.

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Präsentation zum Thema: "Ebenengleichungen Ebenengleichungen gibb gibb BMS BMS Hans Berger © 2000."—  Präsentation transkript:

1 Ebenengleichungen Ebenengleichungen gibb gibb BMS BMS Hans Berger © 2000

2 Das Koordinatensystem Das Koordinatensystem

3 Die Ebene E Die Ebene E E E

4 Der Stützvektor Der Stützvektor E E r0r0 r 0

5 Die Richtungsvektoren Die Richtungsvektoren E E r0r0 r0r0 b b a a

6 Die Parametergleichung E E r0r0 r0r0 a a b b r r r r = = r0r0 r s.as.a s. a t,s R t,s R t.bt.b t. b + +

7 Die Parametergleichung Die Komponentengleichung Die Komponentengleichung xyzxyz x y z = = x0y0z0x0y0z0 x 0 y 0 z s.s. s. axayazaxayaz a x a y a z r r = = r0r0 r0r0 + + s.as.a s.as.a t,s R t.bt.b t.bt.b t.t. t. bxbybzbxbybz b x b y b z

8 Die Komponentengleichung x = x 0 + s. a x + t. b x x = x 0 + s. a x + t. b x y = y 0 + s. a y + t. b y y = y 0 + s. a y + t. b y z = z 0 + s. a y + t. b z z = z 0 + s. a y + t. b z Das Gleichungssystem Das Gleichungssystem xyzxyz xyzxyz = = x0y0z0x0y0z0 x0y0z0x0y0z0 + + s.s. s.s. axayazaxayaz axayazaxayaz + + t.t. t.t. bxbybzbxbybz bxbybzbxbybz

9 Die Koordinatengleichung Die Koordinatengleichung x = x 0 + s. a x + t. b x x = x 0 + s. a x + t. b x y = y 0 + s. a y + t. b y y = y 0 + s. a y + t. b y z = z 0 + s. a y + t. b z z = z 0 + s. a y + t. b z Durch Elimination von s und t aus: Durch Elimination von s und t aus: folgt folgt ux + vy + wz = d ux + vy + wz = d u, v, w, d R u, v, w, d R u, v, w, d nicht alle 0 u, v, w, d nicht alle 0

10 Die Koordinatengleichung ux + vy + wz = d uvwuvw u v w ist ein Normalen- vektor auf die Ebene E ist ein Normalen- vektor auf die Ebene E n n = = n n E E

11 Die Koordinatengleichung ux + vy + wz = d n n E E r0r0 r 0 P P Für P Ebene E gilt: Für P Ebene E gilt: = d = d r0r0 r 0 n n Skalarprodukt Skalarprodukt

12 Die gegenseitige Lage Die gegenseitige Lage 1. E F 1. E F P P Q Q n n Es ist d k Es ist d k die Normalenvektoren n und m sind kollinear die Normalenvektoren n und m sind kollinear m m E E F F an x + bn y + cn z = d an x + bn y + cn z = d em x + fm y + gm z = k em x + fm y + gm z = k

13 Die gegenseitige Lage 2. E = F 2. E = F P P Q Q E E F F = = n n m m an x + bn y + cn z = d an x + bn y + cn z = d em x + fm y + gm z = k em x + fm y + gm z = k Die Gleichung Die Gleichung die Normalenvektoren n und m sind kollinear die Normalenvektoren n und m sind kollinear an x + bn y + cn z = d an x + bn y + cn z = d em x + fm y + gm z = k em x + fm y + gm z = k ist ein Vielfaches der Gleichung ist ein Vielfaches der Gleichung

14 Die gegenseitige Lage 3. E schneidet F 3. E schneidet F E E F F P P Q Q n n m m die Normalenvektoren n und m sind NICHT kollinear die Normalenvektoren n und m sind NICHT kollinear an x + bn y + cn z = d an x + bn y + cn z = d em x + fm y + gm z = k em x + fm y + gm z = k Die Lösung des Gleichungs- systems Die Lösung des Gleichungs- systems an x + bn y + cn z = d an x + bn y + cn z = d em x + fm y + gm z = k em x + fm y + gm z = k gibt eine Parametergleichung der Schnittgeraden s gibt eine Parametergleichung der Schnittgeraden s

15 Gerade und Ebene 4. g liegt in E 4. g liegt in E Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig Das Skalarprodukt ist Das Skalarprodukt ist g g E E n n r r r n = 0 r n = 0 Jeder Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E Jeder Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E

16 Gerade und Ebene 5. g ist parallel zu E 5. g ist parallel zu E Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig Das Skalarprodukt ist Das Skalarprodukt ist g g E E n n r r r n = 0 r n = 0 Kein Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E Kein Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E

17 Gerade und Ebene 6. g schneidet E 6. g schneidet E Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind NICHT rechtwinklig Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind NICHT rechtwinklig Das Skalarprodukt ist Das Skalarprodukt ist g g E E n n r r r n 0 r n 0 Der Durchstosspunkt D ist die Lösung des Gleichungssystems Der Durchstosspunkt D ist die Lösung des Gleichungssystems D D


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