Ebenengleichungen gibb BMS Hans Berger © 2000.

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1 Ebenengleichungen gibb BMS Hans Berger © 2000

2 Das Koordinatensystem

3 Die Ebene E E

4 Der Stützvektor E r0

5 Die Richtungsvektoren
a r0 b

6 Die Parametergleichung
t,sR = r0 + s.a + t.b E a r r0 b

7 Die Parametergleichung
t,sR = r0 + s.a + t.b xyz x0 y0 z0 ax ay az bx by bz = + s. + t. Die Komponentengleichung

8 Die Komponentengleichung
xyz x0 y0 z0 ax ay az bx by bz s. = + + t. x = x0 + s.ax + t.bx y = y0 + s.ay + t.by z = z0 + s.ay + t.bz Das Gleichungssystem

9 Die Koordinatengleichung
Durch Elimination von s und t aus: x = x0 + s.ax + t.bx y = y0 + s.ay + t.by z = z0 + s.ay + t.bz folgt ux + vy + wz = d u, v, w, d  R u, v, w, d nicht alle 0

10 Die Koordinatengleichung
ux + vy + wz = d u v w ist ein Normalen-vektor auf die Ebene E n n = E

11 Die Koordinatengleichung
ux + vy + wz = d Für P  Ebene E gilt: n P r0  n = d r0 Skalarprodukt E

12 Die gegenseitige Lage 1. E  F F E Q P anx + bny + cnz = d
emx + fmy + gmz = k die Normalenvektoren n und m sind kollinear F m Es ist d  k E Q n P

13 Die gegenseitige Lage 2. E = F E F P Q anx + bny + cnz = d
emx + fmy + gmz = k die Normalenvektoren n und m sind kollinear Die Gleichung E = F m anx + bny + cnz = d ist ein Vielfaches der Gleichung n P Q emx + fmy + gmz = k

14 Die gegenseitige Lage 3. E schneidet F F Q P E anx + bny + cnz = d
die Normalenvektoren n und m sind NICHT kollinear emx + fmy + gmz = k Die Lösung des Gleichungs-systems F m Q anx + bny + cnz = d n emx + fmy + gmz = k P gibt eine Parametergleichung der Schnittgeraden s E

15 Gerade und Ebene 4. g liegt in E g rn = 0 E n r
Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig g n Das Skalarprodukt ist rn = 0 r Jeder Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E E

16 Gerade und Ebene 5. g ist parallel zu E g rn = 0 E r n
Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig r g Das Skalarprodukt ist rn = 0 n Kein Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E E

17 Gerade und Ebene 6. g schneidet E g rn  0 D E r n
Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind NICHT rechtwinklig g r Das Skalarprodukt ist rn  0 n D Der Durchstosspunkt D ist die Lösung des Gleichungssystems E