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Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader.

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Präsentation zum Thema: "Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader."—  Präsentation transkript:

1 Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen erstellt von Petra Bader

2 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen I. Lehrplanbezug Lehrplanbezug Grundkurs in Klasse 13: 13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (7 Stunden) 13.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (7 Stunden) Leistungskurs in Klasse 12: 12.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (6 Stunden) 12.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (11 Stunden)

3 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen I. Lehrplanbezug Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform Geraden- und Ebenengleichungen in Koordinatenform A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 = 0; A i R Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung; geeignete Zeichnungen und Skizzen Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform; Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe; Achsenabschnittsform; Spurpunkte und Spurgeraden; achsenparallele Geraden bzw. Ebenen; zeichnerische Darstellungen Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum. GK 13.4 und LK 12.4: Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise

4 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen I. Lehrplanbezug GK 13.5 und LK 12.5: Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse; auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen.

5 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise Geradengleichung in vektorieller Parameterform Zwei-Punkte-Gleichung k R Punkt-Richtungs-Gleichung k R II.1.1 Geradengleichung in vektorieller Form x y z A B X O x y z A X O

6 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise Bemerkungen zur Parameterdarstellung von Geraden Bemerkungen: 1.Beide Vektorgleichungen sind gleichwertig. 2.Eine Gerade kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden; für die Punkt-Richtungs-Gleichung beispielsweise eignet sich jeder Punkt der Geraden als Antragspunkt und auch jeder Vektor, k R\{0}, als Richtungsvektor. => Nicht die Parameterdarstellung, sondern eine Parameterdarstellung der Geraden

7 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise II.1.2 Geradengleichung in Koordinatenform Im zweidimensionalen Punktraum R² kann man den Parameter k aus der Geradengleichung eliminieren: A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 = 0; A i R

8 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise II.2 Darstellungsformen von Ebenen Allgemein gilt: Eine Ebene E wird von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt. A C B X E

9 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (1) a) Drei-Punkt-Gleichung A C B X 0 k,l R E

10 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise II.2.1 Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform (2) b) Punkt-Richtungs-Gleichung A E X 0 k,l R h g

11 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen II. Geraden- und Ebenen- gleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise II.2.2 Ebenengleichungen in Koordinatenform A 1 x 1 + A 2 x 2 + A 3 x 3 + A 4 = 0, A i R

12 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen III.1. Lagebeziehungen zwischen Geraden Im R² und R³ gibt es folgende Möglichkeiten: 1. Die beiden g und h schneiden sich: {S} = gh. 2. Die beiden Geraden g und h sind parallel und g h. Man sagt: g und h sind echt parallel 3. Die beiden Geraden g und h fallen zusammen: g = h. Man sagt: g und h sind entartet parallel. Nur im R³: 4. Die beiden Geraden g und h schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Man sagt: g und h sind zueinander windschief. S g h h g h g h g

13 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Bestimmung der Lage zweier Geraden Gegeben: Berechne: Entscheide: linear unabhängig g und h fallen zusammen g=h g und h sind echt parallel g h= g und h schneiden sich g h={S} g und h sind windschief g h= ja nein 1. Möglichkeit: Man untersucht die beiden Richtungs- vektoren und den Differenzenvektor der Antragspunkte auf ihre lineare Unab- hängigkeit. linear unabhängig

14 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Bestimmung der Lage zweier Geraden 2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das Gleichungssystem: - genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt) - keine Lösung, so sind die Geraden im R² echt parallel und im R³ echt parallel oder windschief (mit Hilfe der Richtungsvektoren unterscheidbar) - unendlich viele Lösungen, so fallen die Geraden zusammen

15 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen III.2.1 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen k, l, r R 1. Gerade und Ebene schneiden sich; Schnittpunkt S 2. Gerade und Ebene sind echt parallel 3. Gerade liegt in der Ebene g E={S} linear unabhängig g E= 1. linear abhängig 2. lin. unabh. g E=g 1. linear abhängig 2. lin. abh. 0 S E g E 0 A2A2 A1A1 g E A2A2 A1A1 E A1A1 0 A2A2 g

16 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene Gegeben: Entscheide: g liegt in E g E =g g echt parallel zu E g E= g schneidet E g E={S} ja nein 1. Möglichkeit: Untersuchung der linearen Unabhängigkeit Berechne: linear unabhängig

17 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene 2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte Hat das inhomogene Gleichungssystem: - keine Nullzeile auf der linken Seite genau eine Lösung (Parameterwerte für den Schnittpunkt) - Nullzeile auf der linken Seite und rechte Seite ungleich Null keine Lösung (Gerade ist echt parallel zur Ebene) - eine vollständige Nullzeile unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in der Ebene)

18 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen 1. Ebenen schneiden sich; Schnittgerade g III.2.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen k, l, r, s R 2. Die beiden Ebenen sind echt parallel 3. Beide Ebenen fallen zusammen (entartet parallel) 0 0 A2A2 E2E2 A2A2 E 1 =E 2 A1A1 0 A2A2 E2E2 E1E1 A1A1 g E1E1 A1A1 E 1 E 2 = E 1 =E E 1 E 2 =g

19 I. Lehrplan- bezug II. Geraden- und Ebenen- gleichungen III. Lagebe- ziehungen zwischen Geraden und Ebenen III. Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen Bestimmung der Lage von zwei Ebenen Gegeben: Entscheide: E 1 echt parallel E 2 E 1 E 2 = E 1 und E 2 schneiden sich E 1 E 2 =g ja nein Berechne: linear unabhängig E 1 und E 2 fallen zusammen E 1 =E 2


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