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3.2 Die projektive Erweiterung des E³ notwendig zur effizienten rechnerinternen Verarbeitung allgem. Transformationen Motivation: Aufgabe: Projiziere jeden.

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1 3.2 Die projektive Erweiterung des E³ notwendig zur effizienten rechnerinternen Verarbeitung allgem. Transformationen Motivation: Aufgabe: Projiziere jeden Punkt von g 1 zentral auf g 2 Problem: Q hat kein Bild Q' R' hat kein Urbild R Definiere Fortsetzung der Abbildung f durch Erweiterung von g 1 um einen unendlich fernen Punkt 1 = g 1 { 1 } von g 2 um einen unendlich fernen Punkt 2 = g 2 { 2 } und die Festsetzung f (Q) = 2 f ( 1 ) = R' Q Q' P' R' Z P g1g1 g2g2

2 projektive Geometrie Geometrie unter Hinzunahme von Fernpunkten Frage:Wieviele Fernpunkte ex. in der Ebene (E²) ? (was ist ein Fernpunkt) zwei parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen jede Schar paralleler Geraden definiert einen unend- lich fernen Punkt P Geradenrichtung 0 : = Menge aller Fernpunkte der affinen Ebene E² P² = E² heißt projektive Ebene

3 Eine Gerade in P² ist entweder eine affine Gerade mit Fernpunkt oder die Ferngerade Inzidenzbeziehungen: 1. Punkt und Gerade affin: wie bisher 2. Punkt und Gerade uneigentlich: Punkt liegt auf Gerade 3. Gerade affin, Punkt uneigentlich: Inzidenz wenn Rich- tung der Geraden dem uneigentlichen Punkt entspricht 4. Punkt affin, Gerade uneigentlich: keine Inzidenz Je zwei Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt Je zwei Punkte liegen auf genau einer Geraden Frage: Wie rechnet man in projektiven Räumen? Antw.: Durch Einführung von Koordinaten sog. homogene Koordinaten.

4 Homogene Koordinaten Technik nehme zu den affinen Koordinaten eines Punktes eine weitere Koordinate mit hinzu. (x 1, x 2 ) (x 1 : x 2 : 1) Die Rückgewinnung der affinen Koord. definiert man durch (x 1 : x 2 : x 3 ) (x 1 /x 3, x 2 /x 3 ) Zwei Punkte in homogenen Koord. betrachtet man als identisch, wenn sie dieselben affinen Koord. besitzen: (x 1 : x 2 : 1) (x 1, x 2 ) ( x 1 : x 2 : ) ( ) = (x 1, x 2 ) Außerdem definiert man wegen (x 1 : x 2 : 0) ( ) = ? einen Punkt der Form = (x 1 : x 2 : 0) als Fernpunkt zur Geradenrichtung (x 1, x 2 ). 1 hom. affin

5 2 Geometrische Deutung Jedem Punkt P = (x 1, x 2 ) der affinen Ebene wird eine Gerade in E³ durch O und P n = (x 1, x 2, 1) zugeordnet. (x 1, x 2 ) (x 1 : x 2 : 1): = { (x 1, x 2, 1) / R} Entfernt sich P vom Ursprung, so wird die zugeordnete Gerade immer steiler. (t ·x 1, t ·x 2 ) (tx 1 : tx 2 : 1) = (x 1 : x 2 : 1/t) Ist P unendlich weit von O entfernt, so wird die zuge- ordnete Gerade zu einer in der Ebene x³ = 0 gelegenen Geraden durch P. Dies entspricht dem Grenzprozess t, der in homog. Koordinaten den Punkt (x 1 : x 2 : 0) liefert. hom. t·(x 1, x 2 ) O x2x2 x1x1 x3x3 x 3 = 0x 3 = 1 ° ° ° (x 1, x 2 )

6 Der dreidimensionale projektive Raum P³ = E³ Eigentlicher Punkt aus P³ hat homogene Koordinaten (x 1 : x 2 : x 3 : x 4 ) = (x 1 : x 2 : x 3 : x 4 ) = (x 1 /x 4 : x 2 /x 4 : x 3 /x 4 : 1), x 4 0 affine Koord. (Gerade im R 4 durch O und (x 1 /x 4, x 2 /x 4, x 3 /x 4, 1) Fernpunkt hat Koordinaten (x 1 : x 2 : x 3 : 0) (Gerade im R 4 durch O und (x 1, x 2, x 3, 0) Menge aller Fernpunkte bildet die Fernebene Projektive Abbildungen wobei die Matrix bis auf einen Skalar festgelegt ist M P n = M P n = M P n Standardform: a 33 = 1

7 3.3 Projektionen 3D-Objekt 2D-Bildschirm Abbildung eines Punktes unter Zentralprojektion geg.: (1) Bildebene, Projektionszentrum Z 0 (Z 0 ) (2) Punkt P Z Abb.vorschrift: Die projizierende Gerade durch Z 0 und P (Sehstrahl) ist mit der Ebene zu schneiden. Der Schnittpunkt P' ist der Bildpunkt von P. Projektion Besitzt Z einen großen Abstand zu (Fernpunkt), so sind alle Sehstrahlen parallel. Man spricht in diesem Fall von Parallelprojektion. An die Stelle des Augpunktes Z 0 tritt nun eine Sehrichtung S. ° ° P Q P' Q' Z0Z0

8 Abbildung eines Punktes unter Parallelprojektion: geg.: (1) Bildebene, Projektionsrichtung S (2) Punkt P Abb.vorschrift: Die projizierende Gerade durch P mit der Richtung S ist mit der Ebene zu schneiden. Der Schnittpunkt ist der Bildpunkt P'. P' gilt: S, so spricht man von Normalprojektion (Normalriss) S, so spricht man von schiefer Projektion (Schrägriss) ° ° Q' Q P S

9 Zentralprojektion: spezielles KOS: z 0 liege auf negativer z-Achse, Bildebene sei x - y-Ebene, d.h. Normalenvektor der Bildebene ist +z-Achse. P = (x, y, z) P = (x', y', z) y x P' P y' z d z0z0 x y O d = |d z | Strahlensatz:

10 Matrix-Form: Algorithmus Zentralprojektion: geg.: Augpunkt, Bildebene A, abzubildendes Objekt P, Koordinatensystem S 1 1. Wähle Sichtkoordinatensystem S 2 = {O s ; x s, y s, z s } 2. Bestimme affine Abb. A, die S 1 in S 2 überführt und A -1 Möglichkeit (a): - A - invertiere A Möglichkeit (b): - überführe S 1 in S 2 durch eine Folge von 4 elementaren Operationen: - z0z0 S1S1 S2S2 zszs xsxs ysys P

11 3. Berechne die Koord. von P bezüglich S 2 4. Projiziere Eigenschaft der Zentralprojektion: parallele Geraden, die nicht parallel zur Bildebene sind, werden nicht auf parallele Geraden abgebildet, sondern laufen in einem sog. Fluchtpunkt zusammen. Hauptfluchtpunkte = Fluchtpunkte von Parallelen zu den Koordinatenachsen (max. 3) Klassifizierung der Bildwirkung der Perspektive nach der Anzahl der Hauptfluchtpunkte = Anzahl der Koord.achsen, die sich mit der Bildebene schneiden (1/2/3 Punkt-Perspekt.) { Diese Eigenschaft ist nicht aus der obigen Abb.vorschrift ablesbar, da hier das KOS so transformiert wurde, dass eine 1-Punkt-Perspektive vorliegt } - nicht parallelentreu - nicht teilverhältnistreu - realistische Darstellung durch Tiefeneindruck

12 Parallelprojektion geg.: Bildebene, Projektionsrichtung S wähle spezielles KOS (Sichtkoordinatensystem) S = {O s : x s, y s, z s } derart, dass die Bildebene mit der x s -y s -Ebene und O s mit dem Bildpunkt zusammenfällt. Beachte: Bei dieser Transformation ändern sich die Koord. des Projektionsvektors s. Sei R die Projektionsrichtung nach der Transformation. R 3 0, da sonst parallel zu projiziert wird. OsOs ysys zszs xsxs R P Abb.vorschrift:

13 Matrixdarstellung: P Proj. Bem.: a) R 1 = R 2 = 0 bedeutet orthogonale Projektion b) Die Lösung von P Proj. x = 0 ergibt x = R, die Proj.richtung (in nicht normierter Form).

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