• • • • • 3.2 Die projektive Erweiterung des E³

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1 • • • • • 3.2 Die projektive Erweiterung des E³
notwendig zur effizienten rechnerinternen Verarbeitung allgem. Transformationen g1 Motivation: Z • • Q Q' • P • • g2 R' P' Aufgabe: Projiziere jeden Punkt von g1 zentral auf g2 Problem: Q hat kein Bild Q' R' hat kein Urbild R Definiere Fortsetzung der Abbildung f durch Erweiterung von g1 um einen unendlich fernen Punkt 1 = g1  { 1 } von g2 um einen unendlich fernen Punkt 2 = g2  { 2 } und die Festsetzung f (Q) = 2 f (1 ) = R'

2 • „projektive Geometrie“  Geometrie unter Hinzunahme von Fernpunkten
Frage: Wieviele Fernpunkte ex. in der Ebene (E²) ? (was ist ein Fernpunkt) „zwei parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen“  jede Schar paralleler Geraden definiert einen unend- lich fernen Punkt P Geradenrichtung • : = Menge aller Fernpunkte der affinen Ebene E² P² = E²  heißt projektive Ebene

3 Eine Gerade in P² ist entweder eine affine Gerade mit
Fernpunkt oder die Ferngerade Inzidenzbeziehungen: 1. Punkt und Gerade affin: wie bisher 2. Punkt und Gerade uneigentlich: Punkt liegt auf Gerade 3. Gerade affin, Punkt uneigentlich: Inzidenz wenn Rich- tung der Geraden dem uneigentlichen Punkt entspricht 4. Punkt affin, Gerade uneigentlich: keine Inzidenz  Je zwei Geraden besitzen genau einen Schnittpunkt Je zwei Punkte liegen auf genau einer Geraden Frage: Wie rechnet man in projektiven Räumen? Antw.: Durch Einführung von Koordinaten sog. homogene Koordinaten.

4 nehme zu den affinen Koordinaten eines Punktes eine
Homogene Koordinaten Technik nehme zu den affinen Koordinaten eines Punktes eine weitere Koordinate mit hinzu. (x1, x2) (x1 : x2 : 1) Die Rückgewinnung der affinen Koord. definiert man durch (x1 : x2 : x3) (x1/x3, x2/x3) Zwei Punkte in homogenen Koord. betrachtet man als identisch, wenn sie dieselben affinen Koord. besitzen: (x1 : x2 : 1) (x1, x2) (x1 : x2 : ) ( ) = (x1, x2) Außerdem definiert man wegen (x1 : x2 : 0) ( ) = ? einen Punkt der Form = (x1 : x2 : 0) als Fernpunkt zur Geradenrichtung (x1, x2). 1 hom. affin affin affin

5 • • • Geometrische Deutung ° ° °
2 x1 • t·(x1, x2) • (x1, x2) • O x3 x2 x3 = 0 x3 = 1 Jedem Punkt P = (x1, x2) der affinen Ebene wird eine Gerade in E³ durch O und Pn = (x1, x2, 1) zugeordnet. (x1, x2) (x1 : x2 : 1): = { (x1, x2, 1) /   R} Entfernt sich P vom Ursprung, so wird die zugeordnete Gerade immer steiler. (t ·x1, t ·x2) (tx1 : tx2 : 1) = (x1 : x2 : 1/t) Ist P unendlich weit von O entfernt, so wird die zuge- ordnete Gerade zu einer in der Ebene x³ = 0 gelegenen Geraden durch P. Dies entspricht dem Grenzprozess t   , der in homog. Koordinaten den Punkt (x1 : x2 : 0) liefert. hom.

6 Der dreidimensionale projektive Raum P³ = E³ 
Eigentlicher Punkt aus P³ hat homogene Koordinaten (x1 : x2 : x3 : x4) =  (x1 : x2 : x3 : x4) = (x1/x4 : x2/x4 : x3/x4 : 1), x affine Koord. (Gerade im R4 durch O und (x1/x4, x2/x4, x3/x4, 1) Fernpunkt hat Koordinaten (x1 : x2 : x3 : 0) (Gerade im R4 durch O und (x1, x2, x3, 0) Menge aller Fernpunkte bildet die Fernebene Projektive Abbildungen wobei die Matrix bis auf einen Skalar festgelegt ist M Pn = M  Pn =  M Pn Standardform: a33 = 1

7 • • • 3.3 Projektionen 3D-Objekt 2D-Bildschirm
Abbildung eines Punktes unter „Zentralprojektion“ geg.: (1) Bildebene , Projektionszentrum Z0 (Z0  ) (2) Punkt P  Z Abb.vorschrift: Die projizierende Gerade durch Z0 und P (Sehstrahl) ist mit der Ebene  zu schneiden. Der Schnittpunkt P' ist der Bildpunkt von P. Projektion  • • P P' Z0 • Q Q' Besitzt Z einen  großen Abstand zu  (Fernpunkt), so sind alle Sehstrahlen parallel. Man spricht in diesem Fall von Parallelprojektion. An die Stelle des Augpunktes Z0 tritt nun eine Sehrichtung S.

8 • • Abbildung eines Punktes unter Parallelprojektion:
geg.: (1) Bildebene , Projektionsrichtung S (2) Punkt P Abb.vorschrift: Die projizierende Gerade durch P mit der Richtung S ist mit der Ebene  zu schneiden. Der Schnittpunkt ist der Bildpunkt P'.  P' P • • Q' Q S gilt:   S, so spricht man von Normalprojektion (Normalriss)  S, so spricht man von schiefer Projektion (Schrägriss)

9 • • Zentralprojektion: spezielles KOS: z0 liege auf negativer
z-Achse, Bildebene sei x - y-Ebene, d.h. Normalenvektor der Bildebene ist +z-Achse. P = (x, y, z) P = (x', y', z‘) x P • P' x d O • z0 z y' y y d = |dz| Strahlensatz:

10 • Matrix-Form: Algorithmus Zentralprojektion:
geg.: Augpunkt, Bildebene A, abzubildendes Objekt P, Koordinatensystem S1 P xs • ys • • • z0 zs S2 • S1 1. Wähle Sichtkoordinatensystem S2 = {Os; xs, ys, zs} 2. Bestimme affine Abb. A, die S1 in S2 überführt und A-1 Möglichkeit (a): - A - invertiere A Möglichkeit (b): - überführe S1 in S2 durch eine Folge von 4 elementaren Operationen: -

11 3. Berechne die Koord. von P bezüglich S2
4. Projiziere Eigenschaft der Zentralprojektion: parallele Geraden, die nicht parallel zur Bildebene sind, werden nicht auf parallele Geraden abgebildet, sondern laufen in einem sog. Fluchtpunkt zusammen. Hauptfluchtpunkte = Fluchtpunkte von Parallelen zu den Koordinatenachsen (max. 3) Klassifizierung der Bildwirkung der Perspektive nach der Anzahl der Hauptfluchtpunkte = Anzahl der Koord.achsen, die sich mit der Bildebene schneiden (1/2/3 Punkt-Perspekt.) { Diese Eigenschaft ist nicht aus der obigen Abb.vorschrift ablesbar, da hier das KOS so transformiert wurde, dass eine 1-Punkt-Perspektive vorliegt } - nicht parallelentreu - nicht teilverhältnistreu - realistische Darstellung durch Tiefeneindruck

12 geg.: Bildebene , Projektionsrichtung S
Parallelprojektion geg.: Bildebene , Projektionsrichtung S wähle spezielles KOS (Sichtkoordinatensystem) S = {Os : xs, ys, zs} derart, dass die Bildebene mit der xs-ys-Ebene und Os mit dem Bildpunkt zusammenfällt. Beachte: Bei dieser Transformation ändern sich die Koord. des Projektionsvektors s. Sei R die Projektionsrichtung nach der Transformation. R , da sonst parallel zu  projiziert wird. ys •  Os xs R zs • P Abb.vorschrift:

13 Matrixdarstellung: P Proj. Bem.: a) R1 = R2 = 0 bedeutet orthogonale Projektion b) Die Lösung von P Proj. x = 0 ergibt x = R, die Proj.richtung (in nicht normierter Form).

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