Folie 1 § 30 Erste Anwendungen (30.2) Rangberechnung: Zur Rangberechnung wird man häufig die elementaren Umformungen verwenden. (30.1) Cramersche Regel:

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1 Folie 1 § 30 Erste Anwendungen (30.2) Rangberechnung: Zur Rangberechnung wird man häufig die elementaren Umformungen verwenden. (30.1) Cramersche Regel: Für invertierbare (n,n)-Matrizen A ist die Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b gegeben durch: Gelegentlich ist es günstiger, die Unterdeterminanten zu betrachten. Eine (r-reihige) Unterdeterminante einer (m,n)-Matrix A ist jede Determinante det(B), bei der B eine (r,r)-Matrix ist, die aus A durch Streichen von m-r Zeilen und n-r Spalten entsteht. Vgl. § 1. 04.02.02

2 Folie 2 Kapitel V, § 30 (30.4) Invertierbarkeit: Eine (n.n)-Matrix A ist invertierbar, genau dann wenn det A ungleich 0 ist. (30.3) Satz: Für eine (m,n)-Matrix A sind äquivalent: Entsprechend hat eine lineare Abbildung f von K n nach K n genau dann eine Umkehrabbildung, wenn die Matrix von f nichtver- schwindende Determinante hat. In der Analysis analog: Sind U und V offene Mengen in R n und ist f eine stetig differenzierbare Abbildung von U nach V, so gilt: 1 o rg A = r. 2 o Es gibt einen r-reihige Unterdeterminante von A ungleich 0, und jede r+1-reihige Unterdeterminante von A ist 0. Hat die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix) nichtverschwindende Determinante in einem Punkt x aus U, so hat f bei x eine lokale Umkehrabbildung.

3 Folie 3 Kapitel V, § 30 (30.5) Zweidimensionale (affine) Geometrie: 1 o Für Punkte P,Q aus K 2 liegt X genau dann auf der Geraden durch P und Q, wenn 2 o Je drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkte P,Q und R aus K 2 liegen auf einer eindeutig bestimmten Kreislinie, und zwar auf: (30.6) Kreuzprodukt: 1 o Für Vektoren X,Y aus K 3 ist das Kreuzprodukt von X und Y definiert durch die Formel

4 Folie 4 Kapitel V, § 30 2 o Daraus folgt: Für eine (3,3)-Matrix A mit den Spaltenvektoren X, Y und Z gilt (30.7) Eigenwerte: Zu den wichtigsten Problemen in Theorie und Anwendungen gehört die Bestimmung von Eigenwerten: Also ist und diese Komponenten sind drei Determinanten! (30.8) Definition: Ein Eigenwert einer (n,n)-Matrix A ist ein Element λ aus K, zu dem es einen Vektor x aus K n \{0} gibt mit Ax = λx. (30.9) Satz: λ ist genau dann Eigenwert von A, wenn λ Nullstelle des Polynoms det(A - λE) ist.

5 Folie 5 Kapitel V, § 30 Für einen Endomorphismus f aus End(V) = Hom(V,V) eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V wird durch Festlegung einer geordneten Basis b die zu f gehörige Matrix A = A(b) definiert. (30.10) Determinante von Endomorphismen: Gegebene Transformationsmatrix T gilt: A(c) = TA(b)T -1, also det(A(c)) = det(T)det(A(b))det(T -1 ) = det(A(b))det(TT -1 ) = det(A(b)). (30.10) Orientierung: Der Körper sei jetzt der Körper der reellen Zahlen: K = R, und V sei endlichdimensional. Für eine weitere Basis c liefert die zu f gehörige Matrix A = A(c) dieselbe Determinante! Denn für die durch Zwei geordnete Basen b und c von V heißen gleichorientiert, wenn die Transformationsmatrix T zwischen ihnen eine positive Determinante hat. 06.02.02

6 Folie 6 Kapitel V, § 30 Behauptung: Die Menge der geordneten Basen zerfällt in zwei Äquivalenzklassen. Diese Äquivalenzklassen sind definitionsgemäß die beiden Orientierungen von V. (30.11) Definition: Ein orientierter reeller Vektorraum ist ein Vektorraum über R mit einer Orientierung. Sei b eine geordnete Basis von V. b setzt eine Orientierung von V fest. Die Menge aller zu b gleichorientierten Basen, also die durch b gegebene Äquivalenzklasse ist {(Ab 1,Ab 2,...,Ab n ) : A aus GL + (n,R)} Dabei ist GL + (n,R) := {A aus GL(n,R) : det(A) > 0}. Die Resultate über die Parametrisierung von Basen zeigen: Bemerkung: GL + (n,R) ist eine Gruppe.

7 Folie 7 Kapitel V, § 30 (30.12) Satz: Sei V ein orientierter, endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einem euklidischen Skalarprodukt. Die Menge der Matrizen, welche die Orientierung und das Skalarprodukt erhalten, ist die spezielle orthogonale Gruppe: SO(n,R) := {A aus O(n,R) : det(A) = 1}. Hintergrund: Für Matrizen A aus O(n,R) gilt stets detA = 1 oder detA = -1.