Quasikristalle: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts

Präsentation zum Thema: "Quasikristalle: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts"—  Präsentation transkript:

1 Quasikristalle: Theoretische Physik für Studierende des Lehramts
Peter H. Richter Inauguration der Wilhelm und Else Heraeus-Seniorprofessur für die Weiterentwicklung der Lehrerausbildung im Fachbereich Physik 12. Januar 2012 Peter H. Richter

2 Laue-Beugungsbilder Kristall Quasikristall beobachten und beschreiben
fragen, diskutieren, weiterfragen, Interesse wecken elementare Erklärungen versuchen, Analogien und Verallgemeinerungen verstehen: gewöhnen und einordnen tieferes Verständnis: Methoden erarbeiten und üben Es werden zwei Laue-Beugungsbilder präsentiert: links Röntgenbeugung an einem trigonalen Kristall (Saphir), rechts Elektronenbeugung an einem Quasikristall (verbessert gegenüber Shechtman). Laue und die Braggs erhielten die Physik-Nobelpreise 1914 für die Theorie bzw für das Experiment. Shechtman erhielt den Chemie-Nobelpreis 2011 für sein Experiment von ca. 1982; die theoretische Erklärung kam etwa zur selben Zeit (Kramer/Neri, de Bruijn, Levine/Steinhardt, …) Was sehen wir? ähnliche Punktmuster. – Unterschiede? der Lehrer muss den Blick aufs Wesentliche lenken: dreizählige vs. fünfzählige Symmetrie. Was ist an der fünfzähligen Symmetrie so besonders, dass es dafür jetzt den Nobelpreis gibt? es darf sie nach der etablierten Theorie nicht geben und man hatte sie nie gesehen. – Wieso nicht? dazu müssen wir einsteigen in die Theorie der Kristalle. Was sind Kristalle? Lückenlose Pflasterungen des Raums mit gleichartigen Bausteinen, den Elementarzellen. – Gibt es denn keine Elementarzellen mit fünfzähliger Symmetrie? Doch: unter den Platonischen Körpern das Dodekaeder und das Ikosaeder. – Also wo ist das Problem? Man kann damit den Raum nicht lückenlos pflastern. – Warum dann nicht Lücken lassen? Dann hätte man mindestens zwei verschiedene Bausteine. – Na und? Dann verliert man die Translationssymmetrie. Das ist in der Tat das Charakteristikum der Quasikristalle: die Translationsinvarianz ist gebrochen, aber die Orientierungsordnung besitzt lange Reichweite. – Kann man das elementar einsehen? Zweidimensionale Pflasterungen mit Dreiecken, Vierecken, Sechsecken. – Warum nicht mit Fünfecken? Versuch macht klug. – Wie geht es mit Lücken? Penrose-Muster. Sie führen auf den Goldenen Schnitt. Dreidimensionale Verallgemeinerung? Platonische Körper und ihre Symmetrien. Die 7 Klassen von Bravaisgittern der Kristalle. Quasikristalle: hands-on Konstruktion mit Bausteinen oder Zometools. Theoretische Methoden: Symmetrien – Gruppentheorie; goldener Schnitt – Zahlentheorie; Quasikristallgitter – Projektion aus höheren Dimensionen, lineare Algebra Peter H. Richter

3 Bausteine 1 1 G g 1 72o 36o 2D Keplers Triakontaeder (ein Catalanischer Körper) je 10 dicke und 10 flache Rhomboeder Diagonalenverhältnis g = 1/G 3D Zweidimensionale Quasikristalle sind als Penrose-Gitter bekannt. Deren zwei rhombische Bausteine wurden in größerer Zahl zum Spielen ausgeteilt. Aufgabe: „experimentelle“ Bestimmung der Winkel. Dann: Beziehung zum Fünfeck finden (mit Schere) und Strahlensatz ausnutzen zur Bestimmung von G bzw. g: Goldener Schnitt. Die Bausteine der dreidimensionalen Quasikristalle sind die beiden Rhomboeder, deren Rhomben das Diagonalenverhältnis G besitzen. Aus je 10 dicken und 10 flachen dieser Rhomboeder kann man das Keplersche Triakontaeder zusammenbauen, wobei noch bestimmte matching rules vorgegeben werden können: jedes Rhomboeder werde mit 3 aus 5 Farben so gefärbt, dass gegenüber liegende Flächen gleiche Farbe haben; dann sollen immer nur Flächen gleicher Farbe aneinander stoßen. Bevor die 3D-Bausteine genauer diskutiert werden, geben wir zunächst einen Überblick über die behandelten Themen und gehen dann der Natur und der Bedeutung des goldenen Schnitts nach. Peter H. Richter

4 Fourier-Transformation Goldener Schnitt, Kunst Zahlentheorie
Wellen, Beugung Fourier-Transformation Goldener Schnitt, Kunst Zahlentheorie Gitterstrukturen Vektoren, Projektoren Bausteine Platonische u.a. Körper Symmetrie, Symmetriebrechung Gruppentheorie Es ergab sich nach und nach dieses Bild von Themenkomplexen, die zum Verständnis der Quasikristallstrukturen beitragen. Von Anfang an war das allenfalls schemenhaft klar. Im Rückblick gibt es ein Bild, das nun seinerseits eingebettet werden kann in größere oder wenigstens analoge Zusammenhänge. Die Themenkomplexe sollen jetzt einzeln besprochen werden. Peter H. Richter

5 Der goldene Schnitt g g und G sind die irrationalsten Zahlen!!!
Kettenbruchdarstellung einer Zahl W Kettenbruchapproximationen Fibonacci-Reihe, Farey-Summe Jede Zahl W kann leicht als Kettenbruch dargestellt werden, wobei die wi positive ganze Zahlen sind (w0 darf auch negativ sein). Abbrechen nach dem n-ten Glied gibt die n-te Kettenbruch-Approximation. Deren Bedeutung liegt darin, dass sie die besten rationalen Approximationen an die Zahl W geben; die Abstände |W-Wn| konvergieren mindestens proportional zu 1/qn^2 gegen Null. Der goldene Schnitt ist nun dadurch ausgezeichnet, dass diese Konvergenz unter allen Zahlen die langsamste ist. Das hat zur Konsequenz, dass g bzw. die Fibonacci-Zahlen immer da auftreten, wo in der Natur Irrationalität bzw. das Vermeiden von Resonanzen gefragt ist. g und G sind die irrationalsten Zahlen!!! Peter H. Richter

6 Der goldene Schnitt in Natur und Kunst
Beispiele für goldenen Schnitt, der den Fibonacci-Zahlen unterliegt. Peter H. Richter

7 Bausteine 2 Archimedische Catalanische Platonische Körper Körper
Mysterium Cosmographicum Geodesic Dome Wir kommen zurück zu den Bausteinen in 3D. Ziel ist ein Verständnis ihrer Symmetrien und der Möglichkeit oder Unmöglichkeit, den Raum mit ihnen zu pflastern – periodisch oder nichtperiodisch. Klassisch: die fünf Platonischen Körper, deren Eigenschaften wir uns angeschaut haben: gleichseitige und gleichwinklige n-Ecke als Flächen; es geht nur n=3, 4, 5 allgemein E+F = K+2(1-g), wobei g das Geschlecht der Mannigfaltigkeit ist, auf der der Körper lebt; hier g=0 Symmetrieelemente: n-zählige Achsen (beim Tetraeder drei 2-zählige und vier 3-zählige), Spiegelebenen Dualität Ausflug: Keplers Mysterium Cosmographicum Abgeleitete Körper: Archimedisch: gleichartige Ecken und Kanten, aber verschiedene Flächen; Umkugel, aber keine Inkugel. Beispiel Buckyball Catalanisch: gleichartige Kanten und Flächen, aber verschiedene Ecken; Inkugel, aber keine Umkugel Beispiele rhombisches Dodekaeder und rhombisches Triakontaeder(Keplerkörper) Die archimedischen Körper sind dual zu den catalanischen. Beide werden unter Wahrung der Symmetrien abgeleitet aus den platonischen (Beispiel: das rhombische Dodekaeder wie der Würfel mit drei 4-zähligen, vier 3-zähligen und sechs 2-zähligen Achsen) Treibt man die Konstruktionen weiter zu immer kugelförmigeren Gebilden, dann erhält man die „geodätischen Sphären“ von Buckminster Fuller. Peter H. Richter

8 Diskrete Symmetriegruppen
Allgemeine Eigenschaften Erzeugung, Zerlegung, Faktorgruppe, Äquivalenzklassen Permutationsgruppen Gruppentafeln Gitter-Translationen: abelsche Gruppe Drehungen: 2-, 3-, 4-, 5-, 6-zählige Achsen und Spiegelungen Beispiele: S3 gleichseitiges Dreieck (mit Spiegelungen) A4 Tetraeder (ohne Spiegelungen) Würfel: 24 Drehungen 7 Punktgruppen der Bravaisgitter Die Symmetrieelemente eines Körpers bilden eine Gruppe. Gruppenaxiome, Gruppentafel. Strukturierung der Gruppe durch Untergruppen, nach denen man faktorisieren kann, und durch Äquivalenzklassen. Symmetriebrechung: es bleibt nur eine Untergruppe als Symmetriegruppe. Wir haben das als Strukturbildung interpretiert (was einer naiven Intuition widerspricht). Peter H. Richter

9 Symmetrien von Kristallen und Quasikristallen
Bravais-Gitter 3D-Pflasterung mit nur einem Baustein 2-, 3-, 4-, 6-zählige Achsen 3fach-periodische Anordnung der Elementarzelle Gittertranslationssymmetrie Orientierungsordnung Quasikristall-Gitter 3D-Pflasterung mit zwei Bausteinen auch 5-zählige Achsen aperiodische Anordnung der Elementarzellen keine Translationssymmetrie Orientierungsordnung In der normalen Kristallphysik pflastert man den Raum mit identischen Bausteinen, Elementarzellen genannt, die dreifach periodisch angeordnet sind. Diese Bausteine können allenfalls 2-, 3-, 4- oder 6-zählige Achsen haben, im Fall der triklinen Kristalle auch gar keine. Das Gitter besitzt die diskrete Translationssymmetrie und eine Orientierungsordnung. Es gibt 7 Klassen mit unterschiedlichen Symmetriegruppen, die wie im rechten Diagramm untereinander in Beziehung stehen. Die Pfeile deuten Gruppe-Untergruppe-Relationen an, insofern geht z.B. das tetragonale Gitter durch Symmetriebrechung aus dem kubischen hervor. Das hexagonale ist davon unabhängig; es besitzt Symmetrien, die das kubische Gitter nicht hat. – Durch Struktur innerhalb der Elementarzellen erhält man feinere Klassifizierungen der Kristallgitter, aber darauf sind wir nur beiläufig eingegangen. Im Vergleich zu den Bravais-Gittern haben die Quasikristall-Gitter zwei unterschiedliche Bausteine, bei denen auch 5-zählige Achsen vorkommen, dafür keine Translationssymmetrie. Letztere ist zwar gebrochen, dafür gibt es für die Orientierung neue Achsen, insofern gehen Quasikristalle nicht einfach durch Symmetriebrechung aus Kristallen hervor. Peter H. Richter

10 Gittervektoren und Operatoren
Vektoren und ihre Darstellung in einer Basis Dirac-Notation, bra- und ket-Vektoren bzw. Skalarprodukt und Operatorprodukt bzw. Operatoren und ihre Darstellung als Matrix Projektoren Drehungen symmetrische Operatoren Eigenwerte, Eigenvektoren Bevor wir die Konstruktion von Quasigittern in Angriff nahmen, wiederholten bzw. vertieften wir einiges, das aus der linearen Algebra bekannt sein sollte. Wichtig war mir, den Unterschied von Vektoren und Operatoren als physikalischen Objekten und ihren Darstellungen in speziellen Basissystemen zu betonen. Dabei habe ich die Dirac-Notation der bra- und ket-Vektoren eingeführt, schon mit Blick auf die Quantenmechanik, das wurde aber nur murrend akzeptiert. (Dabei finde ich, dass die Notation sich auch in Oberstufen von Schulen als intuitiv stark anbietet; jedenfalls sollte ein Physiklehrer damit vertraut sein.) Es zeigte sich, dass aus der linearen Algebra der vorherigen Semester nicht viel hängen geblieben war, vor allem die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor Peter H. Richter

11 Projektion aus höheren Dimensionen 1
aperiodisch periodisch 2D →1D 3D →2D aperiodisch periodisch in x, aperiodisch in y periodisch in beiden Richtungen Eine Methode der Konstruktion von Quasigittern besteht in der Projektion eines Würfelgitters aus höherer Dimension auf eine niederdimensionale Hyperebene. Zur Illustration wird zuerst gezeigt, wie man aus einem Quadratgitter ein aperiodisches 1D-Gitter erzeugen kann: man wähle einen Einheitsvektor, dessen Komponenten nicht in einem rationalen Verhältnis stehen, hier ist das Verhältnis g. Dieser Einheitsvektor spanne die Gerade auf, die das Gitter tragen soll. Orthogonal zu ihr liegt die blaue Gerade, und wir projizieren zuerst das Einheitsquadrat auf diese Gerade. Das gibt ein Intervall, dessen direktes Produkt mit der grünen Geraden der gelbe Streifen ist. Wir betrachten nun alle Gitterpunkte in dem gelben Streifen (außer dem unteren Rand) und projizieren sie auf die grüne Gerade. Dabei erhalten wir eine unregelmäßige Abfolge von kurzen und langen Stücken: ein aperiodisches Gitter. Wenn die grüne Gerade durch Gitterpunkte geht, entsteht ein periodisches Gitter. Diesen Gedanken können wir auf höhere Dimensionen übertragen. Z. B. können wir ein 3D-Würfelgitter nehmen und darin eine Richtung wählen, die der blauen Geraden entspricht. Senkrecht dazu liegt die Ebene, in der wir ein 2D-Gitter erzeugen wollen. Wir projizieren zuerst wieder eine 3D-Einheitszelle auf die Gerade, wobei ein Intervall entsteht. Dessen direktes Produkt mit der Ebene enthält wieder die Punkte, die wir auf die Ebene projizieren (wobei der untere Rand der Schicht wieder ausgespart wird). Dabei können aperiodische, gemischte und periodische Gitter entstehen. Bei dem periodischen Gitter erkennen wir eine hexagonale Einheitszelle, die aus drei identischen Rauten aufgebaut ist. Die Aperiodizität der beiden anderen Gitter hat nicht den Charakter der Quasigitter, die uns interessieren (Penrose, Kramer), sondern deren Aperiodizität ist ein Verallgemeinerung dessen, was hier noch ein periodisches Gitter ergibt. Peter H. Richter

12 Projektion aus höheren Dimensionen 2
rhombisches Dodekaeder aus 4 gleichen Rhomboedern 4D 3D 1D 5D 3D 2D rhombisches Triakontaeder aus 10 x 2 Rhomboedern Penrose-Zelle aus 5 x 2 Rhomben Wenn man in 4D die analoge Konstruktion vornimmt, also die (1,1,1,1)-Richtung für eine Gerade und deren orthogonales Komplement als Raum, in dem man ein 3D-Gitter erzeugen will, dann erhält man analog zu der eben betrachteten hexagonalen Einheitszelle ein rhombisches Dodekaeder – die Wigner-Seitz-Zelle des flächenzentriert kubischen Gitters – zusammengesetzt aus vier gleichen Rhomboedern. Wollen wir schließlich aus 5D ein 3D-Gitter konstruieren, dann muss aus der „blauen Geraden“ eine zweidimensionale Ebene werden, deren 3D-Komplement dann der Raum ist, in dem unser Gitter liegen soll. Wir projizieren also die 5D-Einheitszelle zuerst auf diese Ebene. Dabei entsteht ein Baustein des Penrose-Gitters! Dessen direktes Produkt mit dem komplementären 3D-Raum gibt eine 5D-Schicht, und die darin enthaltenen Gitterpunkte werden in den 3D-Raum projiziert. Die Einheitszelle, also das Bild des an einer Ecke geöffneten 5D-Einheitswürfels, ist das Keplersche Triakontaeder! Es besteht, wie wir wissen, aus 20 Rhomboedern zweier verschiedener Sorten. Der Aufbau des Quasigitters geschieht mit diesen beiden Bausteinen. – Dreht man den Blickwinkel um, betrachtet also die Schicht, die als direktes Produkt eines solchen Triakontaeders mit der 2D-Ebene entsteht und projiziert die darin enthaltenen Gitterpunkte auf diese 2D-Ebene, so entsteht ein Penrose-Gitter! Das Quasikristallgitter kann ich nur als Modellbau zeigen, aber der hat Fehlstellen. Das alles finde ich wunderschön, und ich finde, dass man es gedanklich verfolgen kann, auch ohne am Ende alle Details durchzugehen. Mit den expliziten Berechnungen der Gitter kommt man sicher an die Grenzen dessen, was man in vertretbarer Zeit schafft, auch wenn es mit Hilfe heutiger Computeralgebra-Programme nicht wirklich schwer ist. Ich bin am Ende der Geschichte angelangt. Peter H. Richter

13 Fourier-Transformation Goldener Schnitt, Kunst Zahlentheorie
Wellen, Beugung Fourier-Transformation Goldener Schnitt, Kunst Zahlentheorie Gitterstrukturen Vektoren, Projektoren Bausteine Platonische u.a. Körper Symmetrie, Symmetriebrechung Gruppentheorie Was haben wir gelernt, was fehlt noch? Vier der Ellipsen wurden abgearbeitet, die letzte (Wellen, Beugung, …) bedarf eines neuen Anfangs. Wir sind gerade dabei, uns mit Wellen vertraut zu machen, mit Schallwellen und Oberflächenwellen zuerst, dann kommen die elektromagnetischen und die Materiewellen. Erst wenn wir Beugung bzw. Streuung in anderem, einfacherem Kontext verstanden haben werden (z.B. an einzelnen Kugeln, Regentropfen, Gittern) und die Fourier-Transformation einigermaßen verstehen, können wir Shechtmans Beugungsbilder erklären: dazu brauchen wir das reziproke Gitter in 5D und projizieren dann auch das in 3D. Im Detail wird das wohl nicht möglich sein. Peter H. Richter

14 Zusammenfassung Wir gehen aus von einfachen Fragen, hier: was hat es mit den Quasikristallen auf sich? wieso ein Nobelpreis dafür? Wir ordnen sie ein in einen größeren Kontext, der durch das Thema seine Kohärenz erhält. Wir folgen nicht einer Fachsystematik, sondern erlauben uns, vom geraden Weg abzuweichen und hier und da ein Blümchen zu pflücken. Nach Möglichkeit arbeiten wir mit allen Sinnen. Wir lernen Methoden nach Bedarf und gehen in die Tiefe, wo es sich auch für andere Zwecke lohnt. Hier setzt der Wille zu engagierter Mitarbeit ein Vertrauen in die Kompetenz des Lehrers voraus. Wir gehen bis an Grenzen unserer individuellen Fähigkeiten, gelegentlich vielleicht auch des verfügbaren Wissens (denn die Fragen der Schüler und Studenten gehen gerne darüber hinaus). Ich glaube, dass man analog auch in der Schule vorgehen kann, wenn auch mit anderem Tempo und auf anderem Niveau. Peter H. Richter

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