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Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 12. Januar 2012 Kreiselgleichungen.

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Präsentation zum Thema: "Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 12. Januar 2012 Kreiselgleichungen."—  Präsentation transkript:

1 Annette EickerAPMG Annette Eicker 12. Januar 2012 Kreiselgleichungen

2 Annette EickerAPMG Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation: Wiederholung: Transformation Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const). => Inertialsysteme. Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const). => Inertialsysteme. 1. Fall: Bewegung gradlinig-gleichförmig:

3 Annette EickerAPMG Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem x Bewegung im rotierenden System Rotation des Bezugssystems Ableitungsoperator Bewegung im Inertialsystem Rotationsvektor (enthält die Winkelgeschwindigkeiten) Rotationsvektor (enthält die Winkelgeschwindigkeiten) Bewegungsgleichung: r R 2x Anweden des Operators

4 Annette EickerAPMG Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem Bewegungsgleichung: 2x Anweden des Operators Beschleunigung im bewegten System Ableitungsoperator

5 Annette EickerAPMG Bewegungsgleichung im bewegtem System Bewegtes System Corioliskraft Kreiselkraft Zentrifugalkraft Inertialsystem x r R

6 Annette EickerAPMG Kreiselgleichungen

7 Annette EickerAPMG (Linearer) Impuls Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Drehmoment: Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls: r K Änderung des Impulses benötigt eine Kraft

8 Annette EickerAPMG Teilchensystem Drehimpulsbilanz Gesamtdrehmoment: Gesamtdrehimpuls: Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Annahme: starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich keine inneren Drehmomente: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation => Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B Annahme: starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich keine inneren Drehmomente: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation => Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B

9 Annette EickerAPMG 1 9 Drehimpuls Gesamtdrehimpuls: Änderung der Ortsvektoren der Teilchen im rotierenden Bezugssystem: (Ortsvektoren drehen sich mit) Änderung der Ortsvektoren der Teilchen im rotierenden Bezugssystem: (Ortsvektoren drehen sich mit)

10 Annette EickerAPMG 1 10 Drehimpuls Graßman-Identität: Zerlegung der Vektoren bzgl. Dreibein von B Zerlegung der Vektoren bzgl. Dreibein von B Trägheitstensor nach ganz viel Umsortieren…

11 Annette EickerAPMG Starres Teilchensystem Drehimpulsbilanz Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Gesamtdrehimpuls:

12 Annette EickerAPMG Starrer Körper Drehimpulsbilanz Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Gesamtdrehimpuls:

13 Annette EickerAPMG Rotation Lineare Bewegung Impuls: Träge Masse Impulsänderung benötigt Kraft: Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment: Drehimpuls: Trägheitstensor Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Lineare Bewegung Rotation Trägheitstensor: definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu Trägheitstensor: definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu

14 Annette EickerAPMG Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Drehimpuls Trägheitstensor z x y

15 Annette EickerAPMG Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Drehimpuls Trägheitstensor z x y Drehung um die z-Achse: Das Trägheitsmoment C ist groß Drehung um die z-Achse: Das Trägheitsmoment C ist groß

16 Annette EickerAPMG Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Drehimpuls Trägheitstensor z x y Drehung um die y-Achse: Das Trägheitsmoment B klein Drehung um die y-Achse: Das Trägheitsmoment B klein

17 Annette EickerAPMG 1 17 Einschub: Trägheitsmomente Trägheitsmoment: Gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. (äquivalent zur Masse bei der translatorischen Bewegung) hängt ab von: Form des Körpers Massenverteilung des Körper Drehachse vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus Trägheitstensor (als Verallgemeinerung des Trägheitsmoments) Trägheitsmoment für jede beliebige Achse kann aus Trägheitstensor berechnet werden Ist Drehachse = Koordinatenachse, dann ist das Trägheitsmoment das zugehörige Diagonalelement des Tensors

18 Annette EickerAPMG Starrer Körper Drehung des Koordinatensystems Gesamtdrehimpuls: Wahl des Koordinatensystem, so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt Hauptachsensystem Wahl des Koordinatensystem, so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt Hauptachsensystem Neues Koordinatensystem: mit den Transformationen Drehmatrix Eigenvektor Eigenwert => Eigenwertzerlegung

19 Annette EickerAPMG Rotation Lineare Bewegung Impuls: Träge Masse Impulsänderung benötigt Kraft: Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL): Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment: Drehimpuls: Trägheitstensor Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Lineare Bewegung Rotation Dies führt auf die Eulerschen Kreiselgleichungen (DGL): Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt!

20 Annette EickerAPMG Bilanzgleichung Kreiselgleichungen Ableitungsoperator Drehimpuls Drehimpuls im Hauptachsensystem Im rotierenden System Eulersche Kreiselgleichungen Beschreiben die Rotation eines starren Körpers im Hauptachsensystem

21 Annette EickerAPMG Eulersche Kreiselgleichungen Trägheitsbewegung Einfacher Fall: - Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung) - Rotationsellipsoid Einfacher Fall: - Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung) - Rotationsellipsoid Kreiselgleichungen

22 Annette EickerAPMG Kreiselgleichungen Trägheitsbewegung Abgeplattete Erde Aus 3. Gleichung folgt Abkürzung Allgemeine Lösung Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden. k ist eine beliebige Konstante!

23 Annette EickerAPMG Trägheitsbewegung Drehvektor Drehimpuls Betrag Skalarprodukte Alles im körperfesten System B: Spatprodukt => Vektoren liegen in einer Ebene => Konstante Zwischenwinkel

24 Annette EickerAPMG Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse

25 Annette EickerAPMG Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse

26 Annette EickerAPMG Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse

27 Annette EickerAPMG Trägheitsbewegung Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse körperfestes Koordinatensystem B

28 Annette EickerAPMG Rotation der Erde Drehvektor Eigenschaften der Erde Masse M5, kg Äquatorradius a ,6 m Trägheitsmoment A0, Ma 2 Trägheitsmoment B0, Ma 2 Trägheitsmoment C0, Ma 2 tägliche Drehung7, rad/s Eigenschaften der Erde Masse M5, kg Äquatorradius a ,6 m Trägheitsmoment A0, Ma 2 Trägheitsmoment B0, Ma 2 Trägheitsmoment C0, Ma 2 tägliche Drehung7, rad/s ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen Frequenz

29 Annette EickerAPMG Rotation der Erde Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse ~305 Tage Bewegung der Drehachse im erdfesten System

30 Annette EickerAPMG Rotation der Erde Eigenschaften der Erde Masse M5, kg Äquatorradius a ,6 m Trägheitsmoment A0, Ma 2 Trägheitsmoment B0, Ma 2 Trägheitsmoment C0, Ma 2 tägliche Drehung7, rad/s Eigenschaften der Erde Masse M5, kg Äquatorradius a ,6 m Trägheitsmoment A0, Ma 2 Trägheitsmoment B0, Ma 2 Trägheitsmoment C0, Ma 2 tägliche Drehung7, rad/s Drehvektor Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen Wie kommt dieser Unterschied zustande?


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