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1 Triangulierungen von Polygonen und verwandte Probleme Bei diesem Thema treffen sich drei Teilgebiete der Mathematik: Geometrie, Kombinatorik und Analysis.

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1 1 Triangulierungen von Polygonen und verwandte Probleme Bei diesem Thema treffen sich drei Teilgebiete der Mathematik: Geometrie, Kombinatorik und Analysis Triangulierung: Zerlegung eines einfachen Polygons in Dreiecke durch Einfügen von Diagonalen Euler 1751 Peter-Michael Schmidt, Stuttgart 2002

2 2 Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit n Ecken Äquivalentes Problem Anzahl der binären Bäume mit (n-2) Knoten Basis mit Basis mit Basis mit Basis 05 Jeder Triangulierung eines konvexen Polygons mit n Ecken entspricht ein binärer Baum mit (n-2) Knoten und umgekehrt.

3 3 Anzahl der Klammerungen eines (nicht assoziativen) Produktes mit (n-1) Faktoren a b c d e f Basis Jeder Triangulierung eines konvexen Polygons mit n Ecken entspricht eine Klammerung eines Produktes mit (n-1) Faktoren. Äquivalentes Problem a b c d e f (a b) (c d e f ) letzte Multiplikation (a b) ( (c d) (e f ) ) (ab) (cd) (ef) Catalan 1837 Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit n Ecken

4 4 Zuordnungen der Triangulierungen eines konvexen 5-ecks a (b (c d))a ((b c) d)(a b) (c d)(a (b c)) d((a b) c) d C(4) A(5) B(3) A(n) = B(n-2) = C(n-1) für n = 3, 4,... Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit n Ecken

5 5 C(n) := Anzahl der Klammerungen eines Produktes mit n Faktoren C(n) := C(1) C(n-1) + C(2) C(n-2) C(n-1) C(1) für n > 1, C(1) := 1 f (x) := C(1) x + C(2) x 2 + C(3) x erzeugende Funktion der Folge C(n) C(2) = 1, C(3) = 2, C(4) = 5, C(5) = 14,..., C(12) = f (x) = x + f (x) 2 quadratische Gleichung für f (x), wegen f (0) = 0 entfällt die Lösung + Anzahl der Triangulierungen eines konvexen Polygons mit (n+1) Ecken

6 6 f (x) = - (1-4x) 0,5 in Taylorreihe entwickeln k. Ableitung von f (x) ist f (k) (x) = (1-4x) - (2k-1) / 2 für k > 0 wegen = 2 k (2k-3) Koeffizientenvergleich für x k C(k) = = Catalansche Zahlen 2k-2 k-1 ( ) _ 1 k Anzahl der Triangulierungen A(n) = C(n-1) = 2 (n-2). 2n-4 n-2 () _ 1 n-1 f (k) (0) k! ( 2k-2 )! ( k-1 )! ( 2k-2 )! ( k-1 )! Anzahl der Triangulierungen und Catalansche Zahlen

7 7 Gegeben ist ein konvexes Polygon mit Ecken 1, 2,..., n und eine Gewichtsfunktion w auf den Dreiecken (ijk) mit i < j < k. Beispiel: w(ijk) = Umfang des Dreiecke (ijk). Wir suchen eine Triangulierung mit minimaler Summe der Gewichte der Dreiecke der Triangulierung. Da Triangulierungen der Teilpolygone einer Triangulierung mit minimalen Gewicht ebenfalls minimal sind, können wir wie folgt vorgehen: Optimale Triangulierungen eines konvexen Polygons

8 8 c(j, k) ist für j < k das minimale Gewicht der Triangulierungen von dem Polygon mit den Ecken j, j+1,..., k. Optimale Triangulierungen eines konvexen Polygons C(m,k) j k m w(jmk) C(j,m) c(j, k) = min{c(j, m) + c(m, k) + w(jmk): j < m < k} mit den Anfangsbedingungen c(j, j+1) = 0 für alle j Bellmannsche Optimalitätsgleichung


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