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1 Elementarzelle Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)

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Präsentation zum Thema: "1 Elementarzelle Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)"—  Präsentation transkript:

1 1 Elementarzelle Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)

2 2 Gitterparameter Kantenlängen a, b, c Winkel a b c ACB

3 3 Kristallsysteme Triklin: abc, Monoklin: abc, ==90° (Ortho)rhombisch: abc, ===90° Tetragonal: a=bc, ===90° Hexagonal: a=bc, ==90°, =120° Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, ==90° Kubisch: a=b=c, ===90° 7 (6) Kristallsysteme rhomboedrische Elementarzelle kann man auch in hexagonalen Achsen beschreiben

4 4 Anzahl der Atome (Moleküle) in einer Elementarzelle 1/8 1/4 1/2 1 N … Anzahl der Atome (Moleküle) in der Elementarzelle M … Masse aller Atome in der Elementarzelle m … Masse eines Moleküls … Dichte des Materials V … Volumen der Elementarzelle a u … atomare Masseneinheit (1, kg) Z i … Atommasse in AME (a u )

5 5

6 6 Anzahl der Atome in einer Elementarzelle – Beispiele Diamant (C) Kubisch a = 3,57 Å = 3,51 g/cm³ V = a³ V = 45, cm³ Z i = 12 N = 8 Graphit (C) Hexagonal a = 2,46 Å c = 6,70 Å = 2,25 g/cm³ V = a²c sin120° V = 35, cm³ Z i = 12 N = 4 Fulleren (C 60 ) Kubisch a = 14,17 Å = 1,68 g/cm³ V = a³ V = 2845, cm³ Z i = 12 N = 240 Z i = 720 N = 4

7 7 Kristallformen von Kohlenstoff Diamant Graphit Fulleren

8 8 Anzahl der Moleküle in einer Elementarzelle Steinsalz (NaCl) Kubisch a = 5,62 Å = 2,15 g/cm³ V = a³ V = 177, cm³ Z i = 23,0+35,5 = 58,5 N = 4

9 9 Grundsymmetrieoperationen Drehachse tt mt nt cos axis

10 10 Das Penrose Parkett Eine ausgesprochen unerwartete Entdeckung begeisterte 1984 alle Festkörperphysiker und Kristallographen: Proben einer sehr schnell abgekühlten Aluminium-Mangan Legierung (Al_6 Mn) kristallisierten als kleine Ikosaeder und - noch schlimmer - zeigten ein Röntgenbeugungsbild mit fünfzähliger Symmetrie und ausgeprägten Maxima. Das bedeutete, dass die Atome in dieser Legierung irgendwie mit fünfzähliger (Rotations-) Symmetrie angeordnet sein mussten. Die genaue Anordnung der Atome ist auch heute noch nicht bekannt, aber es gibt ein sehr gutes Modell. In zwei Dimensionen ist das Modell verblüffend einfach und auch ästhetisch sehr ansprechend - das Penrose Parkett. A: 36° und 144° B: 72° und 108°

11 11 Das Penrose Parkett – eine andere Variante

12 12 Grundsymmetrieoperationen Inversionszentrum Spiegelebene Verschiebung

13 13 Transformationen in der Kristallographie

14 14 Identität (1) x y [x,y,z] Drehachse 1

15 15 _ Inversionszentrum (1) x y [x,y,z]

16 16 Spiegelebene (m) x y [x,y,z][x 1,y 1,z 1 ] [x 2,y 2,z 2 ]

17 17 Drehachse x [x,y,z] y 1

18 18 Drehachse Zähligkeit der Achse =360°n 2 180° 3 120° 4 90° 6 60° Für die Drehachse entlang c

19 19 Kopplung der Symmetrieoperationen Drehachsen 1, 2, 3, 4, 6 + Spiegelebene senkrecht zu den Drehachsen + Inversion (Drehinversionsachsen) -1, -2, -3, -4, -6

20 20 Kopplung der Symmetrieoperationen -1, -3 und -4 sind die einmaligen Symmetrieoperationen -2 und -6 sind es nicht, weil: -2 = m -6 = 3/m

21 21 Kombination der Symmetrieoperationen Drehachsen mit senkrechter Spiegelebene

22 22 Kombination / Kopplung der Symmetrieoperationen Oktaeder Tetraeder

23 23 Kombinationen der Symmetrieoperationen Drehachsen mit parallelen Spiegelebene(n)

24 24 Kombinationen der Symmetrieoperationen Kombination von Drehachsen

25 25 Kombinationen der Symmetrieoperationen Kombination von Drehachsen und Spiegelebenen

26 26 Kombinationen der Symmetrieoperationen Kombination der Drehspiegelachsen mit Drehachsen und Spiegelebenen

27 27 Drehinversionsachsen _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 1, 2, 3, 4, 6) ( 1, 2, 3, 4, 6) |1 0 0| 1 = |0 1 0| |0 0 1| _ |-1 0 0| 1 = | | | | _ |-1 0 0| 1.1 = | | | | |-1 0 0| 2 = | | | 0 0 1| _ |1 0 0| 2.1 = |0 1 0| = m(x,y) |0 0 -1| |-1/2 - 3/2 0| 3 = | 3/2 -1/2 0| | 0 0 1| _ | 1/2 3/2 0| 3.1 = |- 3/2 1/2 0| | | |0 -1 0| 4 = |1 0 0| |0 0 1| _ | 0 1 0| 4.1 = |-1 0 0| | | | 1/2 - 3/2 0| 6 = | 3/2 1/2 0| | 0 0 1| _ | -1/2 3/2 0| 6.1 = | - 3/2 -1/2 0| | |

28 28 Kombinationen der Symmetrieoperationen Ergeben 32 Kristallklassen (Punktgruppen) System TriklinC 1, C i MonoklinC s, C 2, C 2h RhombischC 2v, V, V h TetragonalC 4, C 4h, C 4v, D 4, D 4h, S 4, V d HexagonalC 6, C 6h, C 6v, D 6, D 6h TrigonalC 3, C 3i, C 3v, D 3, D 3d, C 3h, D 3h KubischT, T h, T d, O, O h

29 29 Die Mindestsymmetrie in Kristallsystemen System Triklin Monoklin Rhombisch Tetragonal Hexagonal Trigonal Kubisch

30 30 Symmetrieelemente in einem Würfel

31 31 Die 32 Punktgruppen

32 32 Die 32 Punktgruppen

33 33 Gittertranslation Zentrierte (Bravais) Gitter: –P [primitiv]: (x,y,z) –I [innenzentriert (raumzentriert)]: (x,y,z) + (1/2,1/2,1/2) –F [flächenzentriert]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2), (0,1/2,1/2) –C [zentrierte C Fläche]: (x,y,z) + (1/2,1/2,0) –R [rhomboedrisch]: (x,y,z) + (1/3,1/3,1/3), (2/3,2/3,2/3) Gleitspiegelebenen –Spiegelung + Verschiebung entlang der a, b oder c Achse (a/2, …) –Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale (n = a/2+b/2, …) –Spiegelung + Verschiebung entlang der Diagonale [Diamantverschiebung] (d = a/4+b/4, …) Schraubenachsen : –2 1, 3 1, 3 2, 4 1, 4 2, 4 3, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5 – Drehachse + Verschiebung entlang der Schraubenachse

34 34 Gittertranslation Gitter(sub)translation Erweiterte Notation für die Matrix der Symmetrieoperationen

35 35 Bravais Gitter (Translationsgitter) Triklin: P Monoklin: P, I Orthorhombisch: P, I, F, C

36 36 Bravais Gitter (Translationsgitter) Tetragonal: P, I Hexagonal: P, R Kubisch: P, I, F

37 37 Kubisches Gitter PrimitivRaumzentriertFlächenzentriert Gefülltes Volumen: x = V (Atome) / V (Elementarzelle)

38 38 Gleitspiegelebenen a b c Verschiebung entlang b T = b/2 Gleitspiegelebene (Verschiebung entlang b) + Spiegelebene

39 39 Gleitspiegelebenen Mögliche Gleitspiegelebenen Typ der Verschiebung Symbol Translationsvektor entlang der a Achse a a/2 entlang der b Achse b b/2 entlang der c Achse c c/2 entlang der Diagonale n a/2+b/2, b/2+c/2, c/2+a/2 Diamantverschiebung d a/4+b/4,b/4+c/4,c/4+a/4

40 40 Schraubenachse Kombination der Drehachse und der Gittertranslation entlang der jeweiligen Achse Bezeichnung: M N ; M ist das Symbol für die Drehachse, N ist die Verschiebung in den 1/M- Einheiten des Gitterparameters c/2 c

41 41 Schraubenachsen 2, 2 1 3, 3 1, 3 2 4, 4 1, 4 2, 4 3 6, 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5

42 42 Symbole der Symmetrieelemente

43 43 Kombination der Symmetrieoperationen Kombination von Drehachsen + Inversion + Spiegelebenen ergibt 32 Punktgruppen (Kristallklassen) Kombination von Drehachsen + Inversion + Spiegelebenen + Zentrierung + Gleitspiegelebenen + Schraubenachsen ergibt 230 Raumgruppen Zu finden in: International Tables for X-ray Crystallography, Vol. A


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