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Peter H. Richter1 Ordnung und Chaos im Sonnensystem Peter H. Richter 22. Februar 2010 Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen.

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1 Peter H. Richter1 Ordnung und Chaos im Sonnensystem Peter H. Richter 22. Februar 2010 Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen

2 Peter H. Richter2 Keplers Ordnung Ellipsen Mysterium Cosmographicum 1597 Johannes Kepler Astronomia Nova 1609 Harmonices Mundi 1619

3 Peter H. Richter3 Geschichte Deterministisches Chaos Das eingeschränkte Dreikörperproblem Ist das Sonnensystem mechanisch stabil? Zusammenfassung

4 Meister aus 300 Jahren StrömgrenChirikov I. Newton C.G.J. Jacobi P.S. de Laplace J. de LagrangeL. Euler H. Poincaré G.D. Birkhoff E. StrömgrenA.N. Kolmogorov V.I. Arnold J. Moser Oskar II

5 Peter H. Richter5 Preisfrage von König Oskar II Für ein gegebenes System von n sich untereinander anziehenden Teilchen, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen folgen, soll unter der Annahme, dass es zu keinem Zweierstoß kommt, eine allgemeine Lösung gefunden werden in Form einer Potenzreihe in den Zeit und Raumkoordinaten, die für alle Werte der Zeit und Raum Koordinaten gleichförmig konvergiert. zurück

6 Peter H. Richter6 Strömgrens periodische Bahnen 1925 zurück

7 Peter H. Richter7 Deterministisches Chaos Kolmogorov-Arnold-Moser: hinreichend irrationale Tori überleben Standard-Abbildung Poincaré-Birkhoff: rationale Tori Paare von Resonanzen, stabile elliptische Orbits und instabile hyperbolische B. V. Chirikov

8 Peter H. Richter8 Die zahlentheoretische Bedingung Kettenbruchentwicklung gibt die besten rationalen Näherungen Beste Approximation bis zu Nennern q n J. Liouville Geht es auch umgekehrt? C.L.Siegel

9 Peter H. Richter9 Die irrationalsten Zahlen Goldener Schnitt g = 1/(1+g): Alle noblen Zahlen w = [w 0,…,w n,1,1,1,…] haben dieselben, c'. Quadratische Irrationalzahlen: periodische Kettenbrüche, = 2. Algebraische Zahlen vom Grad k haben = k. kleinstes, größtes c'

10 Peter H. Richter10 Das eingeschränkte Dreikörperproblem Zwei Hauptkörper (Sonne und Jupiter) auf Kreisbahnen Ein infinitesimal kleiner dritter Körper in derselben Ebene Zwei Bezugssysteme: ein ruhendes und ein mitrotierendes Bezugssysteme Energie im mitrotierenden System E = E 0 – · L 0 (Jacobi-Konstante) Windungszahl im Kepler-Grenzfall W = 1 – T/T j = 1 – a 3/2 Störung: Jacobi-Potential Poincaré-Schnitte

11 Peter H. Richter11 Jacobi-Potential

12 Peter H. Richter12 Stabile und instabile Bahnen E = = :1 3:25:32:15:2 Demo-Programm

13 Peter H. Richter13 Trojanerstabilität bei zunehmendem E = (1 - ) / 2 = = = = 0.03 = = 0.04 = 0.02 = =

14 Peter H. Richter14 Verteilung der Asteroiden Hilda-Gruppe 3:2 Kirkwood-Lücken 4:1,3:1,5:2,7:3,2:1

15 Peter H. Richter15 Gemeinsame Entfaltung von Ordnung und Chaos Wachsendes E (und wachsendes verstärken Chaos und Ordnung Chaos bedeutet: Stoß mit Jupiter oder Ejektion, jedenfalls Putzen Ordnung bedeutet: Nähe zu einer stabilen Resonanz oder kontrolliert irrationales Verhalten Keplers harmonische Welt erscheint nun als Resultat einer Evolution E = E =

16 Peter H. Richter16 Poincaré-Schnitte in Polarkoordinaten zeigen schön die Abhängigkeit von Jupiters Masse und der Energie zeigen, welches Schicksal chaotische Bahnen früher oder später erleiden: Absturz oder Auswurf

17 Peter H. Richter17 Chaos schafft Ordnung: Keplers Harmonien?

18 Peter H. Richter18 Das ganze Sonnensystem incl. Dissipation J. Wisdom J. Laskar alle 10 Körper Gezeitenkräfte und –reibung Eigenrotation der Planeten Monde Stabile Resonanzen Resonanz-Katastrophen Fehler verzehnfachen sich etwa alle 10 Millionen Jahre Gezeitenreibung führte Merkur und die meisten Monde in stabile Resonanzen Viel kleinskaliges Chaos im Verhalten von Exzentrizitäten und Bahnneigungen Letzter Hit: parametrische Resonanz zwischen Jupiter und Merkur

19 Peter H. Richter19 Laskar & Gastineau: mögliche Katastrophen 201 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang (ohne Mond und relativistische Effekte): 34 Kollisionen mit Sonne, 86 mit Venus 2501 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang (mit Mond und relativistischen Effekten): 3 Kollisionen mit Sonne, 1 mit Venus 1 Orbit mit 201 Variationen induziert nach 3.3 Mrd Jahren 33 Kollisionen Sonne- Merkur, 48 Sonne-Mars, 43 Merkur-Venus, je 1 Merkur-Erde/Mars, 18 Venus-Erde, 23 Venus-Mars, 29 Erde-Mars

20 Peter H. Richter20 Zusammenfassung Die mechanische Stabilität des Sonnensystems bleibt ungeklärt Die Blätterung des hochdimensionalen Phasenraums in invariante Mengen, die unter dem Einfluss von Dissipation langsam evolvieren, ist ein hochkomplexes Gewebe regulärer und chaotischer Teile Das Studium des eingeschränkten Dreikörperproblems mit nur 2 Freiheitsgraden gibt allenfalls eine Ahnung von dieser Komplexität Es erlaubt immerhin das Studium interessanter Teilprobleme (Asteroidenverteilung, gebundene Rotation von Monden, parametrische Resonanz) Extrasolare Planeten sind das nächste Anwendungsfeld

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22 Peter H. Richter22 Stabile und instabile Orbits Demo-Programm E = E =


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