Ordnung und Chaos im Sonnensystem

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1 Ordnung und Chaos im Sonnensystem
Peter H. Richter „Kosmos“ bedeutet Ordnung – bis zu Kepler und darüber hinaus war der Kosmos Gottes Werk, dessen Plan es zu entschlüsseln galt. Die ersten Schritte dazu, im Sinne moderner Naturwissenschaft, machten Kepler, Galilei und Newton. Dabei erwies sich das Zweikörper-Problem als überaus einfach, nämlich exakt lösbar, während das Dreikörper-Problem sich der Lösung hartnäckig verweigerte. Es diente im 18. Jahrhundert der Entwicklung der Störungstheorie, die im 19. Jh. zu eindrucksvoller Blüte gebracht wurde (z.B. wurde die Periheldrehung des Merkur, ca. 570 Bogensekunden pro Jh., so genau berechnet, dass nur 43 davon unerklärt blieben, und die erklärte dann Einstein mit seiner ART). Es gelang aber mit Hilfe der Störungstheorie nicht einmal, die Frage der Stabilität des n-Körper-Problems für n>2 zu klären. Dazu veranstaltete der schwedische König Oskar II um 1880 ein Preisausschreiben, dessen prämiierter Beitrag schließlich Poincarés „Neue Methoden der Himmelsmechanik“ waren. Deren Aussage war nicht erschöpfend, aber doch pessimistisch im Hinblick auf die Stabilität. Man kann sie aber als Geburtsstunde dessen bezeichnen, was wir heute „Chaostheorie“ nennen, auch wenn der Begriff erst 1975 in die Theorie dynamischer Systeme eingeführt wurde: für langfristig nicht vorhersagbares Verhalten in einem einfach zu beschreibenden, streng determinierten System. Wie das genauer gemeint ist, wird noch erklärt. Beginnen wir mit einem Rückblick auf Kepler. Vortrag im Deutschen Zentrum für Luft- und Raumfahrt Bremen 22. Februar 2010 Peter H. Richter

2 Keplers Ordnung Astronomia Nova 1609 Mysterium Cosmographicum 1597
Johannes Kepler Astronomia Nova 1609 Harmonices Mundi 1619 Es war eine der gigantischen Leistungen, die das Zeitalter der modernen Wissenschaft einleiteten: Keplers Versuch, in dem Getaumel der Planeten den „göttlichen Bauplan“ zu identifizieren. Als junger Mathematiklehrer in Graz entwickelte er das schwärmerische Bild vom Mysterium Cosmographicum … dann als Assistent und bald Nachfolger Tychos als Kaiserlicher Astronom die ersten beiden Gesetze der Planetenbewegung und schließlich nach langem Ringen über den Sinn der Exzentrizitäten fand er das dritte Gesetz. Er interpretierte die relativen Winkelgeschwindigkeiten der Planeten in ihren sonnenfernsten und sonnennächsten Punkten als Harmonien in Analogie zur Musik und gab so den Exzentrizitäten der Ellipsen einen Sinn. Dafür wurde er im 18. Jh. beschmunzelt, aber heute bewundern wir seine Intuition. Auch dazu später mehr. Wir schauen uns die Bewegungen im kopernikanischen Bild an und staunen, wie man das aus der Beobachtung der Planeten jemals hat schließen können. Ellipsen Peter H. Richter

3 Deterministisches Chaos Das eingeschränkte Dreikörperproblem
Geschichte Deterministisches Chaos Das eingeschränkte Dreikörperproblem Ist das Sonnensystem mechanisch stabil? Zusammenfassung Peter H. Richter

4 Meister aus 300 Jahren I. Newton L. Euler J. de Lagrange
P.S. de Laplace C.G.J. Jacobi H. Poincaré G.D. Birkhoff E. Strömgren A.N. Kolmogorov V.I. Arnold J. Moser Newton war der Erste, der das Zweikörperproblem so löste, wie wir das heute lernen: auf der Basis seines 2. Gesetzes und der Annahme einer Gravitationskraft, die als Zentralkraft quadratisch mit dem Abstand abfällt. Er mühte sich – wie schon vor ihm Kepler – bis ans Lebensende, die Knoten- und Perigäumsbewegungen (drakonitische und anomalistische Perioden) des Mondes zu verstehen, es gelang ihm aber kein befriedigender Erfolg. Nach Entwicklung der zweiten Ordnung der Störungstheorie kamen erst Clairaut und Euler weiter. Euler war auch derjenige, der das „eingeschränkte Dreikörperproblem“ formulierte, an dessen Durchdringung die Himmelsmechanik ihre wichtigsten Ideen entwickelte. Daran beteiligten sich Eulers Nachfolger in der Preußischen Akademie, Lagrange, und Laplace. Nach Entwicklung der Hamilton-Jacobischen Formulierung der Mechanik identifizierte Jacobi wenigstens ein Integral in diesem System mit zwei Freiheitsgraden. Poincaré zeigte dann im Rahmen seiner Preisschrift, dass eine zweite Konstante der Bewegung, wie man sie für die vollständige Integration benötigen würde, i. A. nicht existiert. Mit seinem letzten Satz (1912), den nach seinem Tod Birkhoff bewies, zerstörte er für lange Zeit die Hoffnung auf ein Stabilitätsresultat. Es galt deshalb als erster wesentlicher Fortschritt seit Poincaré, als Elis Strömgren 1925 an die 100 periodische Bahnen im sog. „Kopenhagen-Problem“ vorlegte, numerisch berechnet von 56 Mitarbeitern im Laufe von 15 Jahren. In den 60er Jahren wurden numerische Rechnungen dann zur Hauptquelle von Resultaten auf dem Gebiet. Aber ähnlich bedeutsam war, dass 1963 Kolmogorov, Arnold und Moser endlich ein Stabilitätsresultat vorlegen konnten, das man kaum noch erwarten konnte. Ich möchte die Aussagen der Theoreme von Poincaré-Birkhoff und KAM am Beispiel der sog. „Standard-Abbildung“ von Chirikov vorstellen, die für das lokale Verhalten Hamiltonscher Systeme mit zwei Freiheitsgraden in vieler Hinsicht typisch ist. Oskar II Strömgren Chirikov

5 Preisfrage von König Oskar II. 1888
Für ein gegebenes System von n sich untereinander anziehenden Teilchen, die den Newtonschen Bewegungsgesetzen folgen, soll unter der Annahme, dass es zu keinem Zweierstoß kommt, eine allgemeine Lösung gefunden werden in Form einer Potenzreihe in den Zeit und Raumkoordinaten, die für alle Werte der Zeit und Raum Koordinaten gleichförmig konvergiert. zurück Peter H. Richter

6 Strömgrens periodische Bahnen 1925
Auf dieses Bild war Strömgren sehr stolz. Es entstand in Kopenhagen im Schatten der Aktivitäten um die neue Quantenmechanik zurück Peter H. Richter

7 Deterministisches Chaos
B. V. Chirikov Standard-Abbildung Standard-Abbildung Poincaré-Birkhoff: rationale Tori → Paare von Resonanzen, stabile elliptische Orbits und instabile hyperbolische Kolmogorov-Arnold-Moser: hinreichend irrationale Tori überleben Die Standard-Abbildung bildet einen Torus auf sich ab. In der ungestörten Version K = 0 spricht man von einer reinen Twistabbildung. Wir schauen das in einem Demo-Programm an. Später werden wir sehen, wie solche Abbildungen in der Himmelsmechanik auftreten. Stichworte: invariante Blätterung des Phasenraums, invariante Objekte, Orbits, periodische Orbits, elliptische (stabile) und hyperbolische (instabile) Orbits, Resonanzen, invariante Kreise der ungestörten Abbildung, Chaosbänder Ordnung hat zwei Facetten: KAM-Tori verhindern globales Chaos; elliptische Orbits lokalisieren stabiles Verhalten Chaos: entsteht zuerst lokal um hyperbolische Orbits, frisst dann nach und nach die KAM-Tori weg Peter H. Richter

8 Die zahlentheoretische Bedingung
Kettenbruchentwicklung gibt die besten rationalen Näherungen Beste Approximation bis zu Nennern qn J. Liouville Geht es auch umgekehrt? C.L.Siegel Peter H. Richter

9 Die irrationalsten Zahlen
Goldener Schnitt g = 1/(1+g): kleinstes t, größtes c' Alle noblen Zahlen w = [w0,…,wn,1,1,1,…] haben dieselben t, c'. Quadratische Irrationalzahlen: periodische Kettenbrüche, t = 2. Algebraische Zahlen vom Grad k haben t = k. Peter H. Richter

10 Das eingeschränkte Dreikörperproblem
Zwei Hauptkörper (Sonne und Jupiter) auf Kreisbahnen Ein „infinitesimal kleiner“ dritter Körper in derselben Ebene Zwei Bezugssysteme: ein ruhendes und ein mitrotierendes Bezugssysteme Poincaré-Schnitte „Energie“ im mitrotierenden System E = E0 – w · L0 (Jacobi-Konstante) Windungszahl im Kepler-Grenzfall W = 1 – T/Tj = 1 – a3/2 „Störung“: Jacobi-Potential Das Programm Poincaré-Schnitte ist die Version des später benutzten Hauptprogramms mit mu = 0 (genauer: ). Dort bitte nur im linken Bild Anfangspunkte wählen. Peter H. Richter

11 Jacobi-Potential 0.5 0.1 0.01 Jacobi-Potentiale für verschiedene mu = m_J/(m_S+m_J). Unten rechts ist zu sehen, wie die Umgebung von „Jupiter“ im Limes mu gegen 0 gegen das Hillpotential strebt. Peter H. Richter

12 Stabile und instabile Bahnen
3:1 3:2 5:3 2:1 5:2 E = m = 0.001 mu = ist das Massenverhältnis des realen Jupiter zur Sonne. Die Werte des Potentials bei den Librationspunkten sind V1 = V2 = V3 = V4 = V5 = Der Wert ist also so gewählt, dass der Sattel L1 überwunden werden kann, nicht aber die Sättel L2 oder gar L3 In diesem Bild wird oben das Wechselspiel von stabilen und instabilen Resonanzen (periodischen Orbits) illustriert – rechts in einzelnen Orbits, links in einem Gesamtbild nach Poincaré. Im Poincaré-Schnittbild werden stabile Orbits schwarz gezeichnet, chaotische weiß. Bei den einzelnen Orbits ist das dummerweise gerade andersherum. Unten wird der Bereich um Jupiter gezeigt,wobei es bei dieser Energie wenig stabile Bereiche gibt. Dazu gehört der eigenartige Orbit, der Jupiter im Perijovium sehr nahe kommt und im Apojovium fast den Rand des erlaubten Bereichs erreicht (wo er manchmal rechtläufig und manchmal rückläufig ist). Stabil ist noch der zweite Orbit, mit zwei Inseln auf der Hauptachse. Der dritte Orbit ist instabil, wird aber bei kleinerem mu stabil und kommt im Fall der Erde statt Jupiters der Mondbahn sehr nahe (Hills Orbit). Die unteren drei Bilder zeigen hetero- bzw. homokline Orbits des instabilen Orbits um L1. Demo-Programm Peter H. Richter

13 Trojanerstabilität bei zunehmendem m
Die Folge der mu-Werte ist, von oben links nach unten rechts: Obere Reihe: innere 1:4-Resonanz, no twist, 1:3-Resonanz, normaler Wert Untere Reihe: 1:2-Resonanz, normaler Wert, Ende der linearen Stabilität, oberhalb der Instabilität (Insel existiert weiter, aber außerhalb des Gipfelpunkts) Peter H. Richter

14 Verteilung der Asteroiden
Kirkwood-Lücken 4:1,3:1,5:2,7:3,2:1 Hilda-Gruppe 3:2 Verteilung der Asteroiden zwischen 4:1-Resonanz (linke Flanke) und 2:1-Resonanz (rechte Flanke). Dazwischen die Gaps 3:1, 5:2 und 7:3. In diesem Bereich werden offenbar nicht resonante Bahnen bevorzugt. In anderen gibt es elliptische Bahnen: Trojaner 1:1, Hilda 3:2 Hildas Resonanz: wenn Jupiter 1 Periode hinter sich hat, liegt die ehemals gegenüber gelegene Hilde jetzt zwar bei Jupiter, allerdings im Perihel, d.h. sie macht einen so großen Bogen um ihn wie möglich. Hilda family From Wikipedia, the free encyclopedia   (Redirected from Hilda asteroid) Jump to: navigation, search This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. Please improve this article if you can. (November 2007) the asteroids of the inner solar system. The Hilda family is coloured brown (großes Bild) The Hilda family of asteroids consists of asteroids with a semi-major axis between 3.7 AU and 4.2 AU, an eccentricity greater than 0.07, and an inclination less than 20°. They do not form a true asteroid family, in the sense that they do not descend from a common parent object. Instead, this is a dynamical family of bodies, made up of asteroids which are in a 2:3 orbital resonance with Jupiter. Hildas move in their elliptical orbits so that their aphelia put them opposite Jupiter, or 60 degrees ahead of or behind Jupiter at the L4 and L5 Lagrangian points. Over three successive orbits each Hilda asteroid passes through all of these three points in sequence. The namesake is 153 Hilda, discovered by Johann Palisa in 1875. [edit] Dynamics The asteroids of the Hilda group (Hildas) are in 3:2 mean motion resonance with Jupiter. That is, their orbital periods are 2/3 that of Jupiter. They move along the orbits with a semimajor axis near 4.0 AU and moderate values of eccentricity (up to 0.3) and inclination (up to 20°). Unlike the Trojan asteroids they may have any difference in longitude with Jupiter, nevertheless avoiding dangerous approaches to the planet. The Hildas taken together constitute a dynamic triangular figure with slightly convex sides and trimmed apexes in the triangular libration points of Jupiter - the "Hildas Triangle" (see The "asteroidal stream" within the sides of the triangle is about 1 AU wide, and in the apexes this value is 20-40 % greater. Figure 1(unten rechts, linkes Bild) shows the positions of the Hildas (black) against a background of all known asteroids (gray) up to Jupiter's orbit at January 1, 2005. Fig. 1. The Hildas Triangle against a background of all known asteroids up to Jupiter's orbit. Fig. 2. Schematic illustration of the motion of one Hilda (green) relative to Jupiter (red). Each of the Hilda objects moves along its own elliptic orbit. However, at any moment the Hildas together constitute this triangular configuration, and all the orbits together form a quite predictable ring. For the majority of these asteroids their position in orbit may be arbitrary except for the external parts of the apexes (the objects near aphelion) and the middles of the sides (the objects near perihelion). The Hildas Triangle has proven to be dynamically stable for a long time span. The typical Hilda object has a retrograde perihelion motion. On average the velocity of perihelion motion is greater as the orbital eccentricity is lesser, while the nodes move more slowly. All typical objects in aphelion would seemingly approach closely to Jupiter, which should be disstabilising for them. But the adjustment of orbital elements over time helps to avoid this, and conjunctions with Jupiter occur only near the perihelion of Hilda asteroids. Moreover the apsidal line oscillates near the line of conjunction with different amplitude and a period of 2.5 to 3.0 centuries. In addition to the fact that the Hildas triangle revolves in connection to Jupiter the quasi-periodical waves of the stream density of asteroids in every point are noticed, as if the triangle "breathes". At any time the density of objects in the triangle's apexes is more than twice the density within the sides. The Hildas rest at their aphelia in the apexes for an average of years whereas they move along the sides more quickly for 2.5 to 3.0 years. The orbital periods of these asteroids are approximately 7.9 years, or 2/3 that of Jupiter. Although the triangle is nearly equilateral some asymmetry exists. Due to the eccentricity of Jupiter's orbit the side L4-L5 slightly differs from the two other sides. When Jupiter is in aphelion the mean velocity of the objects moving along this side is somewhat smaller than that of the objects related to the other sides. When Jupiter is in perihelion the picture is reverse. Fig. 3. The Hildas and the Trojans visible in ecliptic plane At the apexes of the triangle corresponding to the points L4 and L5 of Jupiter's orbit the Hildas approach the Trojans. At the mid-sides of the triangle they are close to the asteroids of the external part of the Main Belt. The velocity dispersion of Hildas is more evident than that of Trojans in the regions where they intersect. It should also be noted that the dispersion of Trojans in inclination is twice that of the Hildas. Due to this as much as one quarter of the Trojans cannot intersect with the Hildas, and at all times a great deal of other Trojans are located outside Jupiter's orbit. Therefore the regions of intersection are limited. This is illustrated by Figure 3 that along with Jupiter in the foreground shows the Hildas (black) and the Trojans (gray) along the ecliptic plane with the longitude near 190 degrees at January 1, One can see the spherical form of the Trojan swarms. When moving along each side of the triangle the Hildas travel slower than the Trojans but encounter a more dense neighborhood of asteroids of the outer Main Belt. But here the velocity dispersion is much smaller. [edit] Research The observed peculiarities in the Hildas' motion are based on data for a few hundred objects known to date and generate still more questions. Further observations are needed to expand on the list of Hildas. Such observations are most favorable when the Earth is near conjunction with the mid-sides of the Hildas Triangle. These moments occur each 4 and 1/3 months. In these circumstances the brilliance of objects of similar size could run up to 2.5 magnitudes as compared to the apexes. The Hildas explore regions of the Solar system from approximately 2 AU up to Jupiter's orbit. This entails a variety of physical conditions and the neighborhood of various groups of asteroids. On further observation some theories on the Hildas may have to be revised. Peter H. Richter

15 Gemeinsame Entfaltung von Ordnung und Chaos
Wachsendes E (und wachsendes m) verstärken Chaos und Ordnung Chaos bedeutet: Stoß mit Jupiter oder Ejektion, jedenfalls Putzen Ordnung bedeutet: Nähe zu einer stabilen Resonanz oder kontrolliert „irrationales“ Verhalten Keplers harmonische Welt erscheint nun als Resultat einer Evolution Vergleich zweier Energien, wobei rechts (höhere Energie) die Tendenz zum Chaos größer geworden ist – aber auch die Hauptresonanzen. Beide zusammen schlucken offenbar die „kleinen Resonanzen“ und die „schwach irrationalen“ Orbits. Am Ende ergibt sich ein recht klares Bild. Dies gilt auch, wenn man das Massenverhältnis erhöht. Darum suggiert diese Studie ein Szenario, das in gewissen Stadien der Planetenentstehung sicher eine Rolle spielte: die großen Brocken wachsen (auf Kosten der kleinen, die sie schlucken), und heraus kommt ein System, bei dem die Planeten in Resonanz sind und der Raum dazwischen relativ leer. Das sind dann Keplers Harmonien. Im Fall der Asteroiden scheint es so zu sein, dass die dort vorhandene Materie (noch) keine Gelegenheit zur Kondensation als eigener Planet fand. Mittlerweile reicht auch die Masse dafür nicht mehr aus. Statt dessen gibt es eine gewisse Gefahr, dass aufgrund der Störungen durch Jupiter und Mars Staub aus der Gegend herausgeschleudert wird und womöglich sogar die Erde trifft. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist extrem niedrig. Darüber hat um 1810 unser Olbers vor der Gesellschaft Museum vorgetragen und hat beruhigt: nur alle vier Millionen Jahre oder seltener wird sich ein katastrophales Ereignis dieser Art erwarten lassen. Peter H. Richter

16 Poincaré-Schnitte in Polarkoordinaten
zeigen schön die Abhängigkeit von Jupiters Masse und der Energie zeigen, welches Schicksal chaotische Bahnen früher oder später erleiden: Absturz oder Auswurf Peter H. Richter

17 Chaos schafft Ordnung: Keplers Harmonien?
Peter H. Richter

18 Das ganze Sonnensystem incl. Dissipation
alle 10 Körper Gezeitenkräfte und –reibung Eigenrotation der Planeten Monde Stabile Resonanzen Resonanz-Katastrophen J. Wisdom J. Laskar Fehler verzehnfachen sich etwa alle 10 Millionen Jahre Gezeitenreibung führte Merkur und die meisten Monde in stabile Resonanzen Viel kleinskaliges Chaos im Verhalten von Exzentrizitäten und Bahnneigungen Letzter Hit: parametrische Resonanz zwischen Jupiter und Merkur Peter H. Richter

19 Laskar & Gastineau: mögliche Katastrophen
201 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang (ohne Mond und relativistische Effekte): 34 Kollisionen mit Sonne, 86 mit Venus 2501 Merkur-Orbits 5 Mrd. Jahre lang (mit Mond und relativistischen Effekten): 3 Kollisionen mit Sonne, 1 mit Venus 1 Orbit mit 201 Variationen induziert nach 3.3 Mrd Jahren 33 Kollisionen Sonne-Merkur, 48 Sonne-Mars, 43 Merkur-Venus, je 1 Merkur-Erde/Mars, 18 Venus-Erde, 23 Venus-Mars, 29 Erde-Mars Peter H. Richter

20 Zusammenfassung Die mechanische Stabilität des Sonnensystems bleibt ungeklärt Die Blätterung des hochdimensionalen Phasenraums in invariante Mengen, die unter dem Einfluss von Dissipation langsam evolvieren, ist ein hochkomplexes Gewebe regulärer und chaotischer Teile Das Studium des eingeschränkten Dreikörperproblems mit nur 2 Freiheitsgraden gibt allenfalls eine Ahnung von dieser Komplexität Es erlaubt immerhin das Studium interessanter Teilprobleme (Asteroidenverteilung, gebundene Rotation von Monden, parametrische Resonanz) Extrasolare Planeten sind das nächste Anwendungsfeld Peter H. Richter

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22 Stabile und instabile Orbits
Demo-Programm E = E = Demo-Programm mit dem realistischen mu für Jupiter. Energie so, dass Wechsel zwischen den Bassins möglich ist, nicht aber nach außen. Zeige periodisches und quasiperiodisches Verhalten. Diskutiere die Haupt-Resonanzen. Erkläre elliptische und hyperbolische Orbits. Peter H. Richter