Mechanische Oszillatoren Das Fadenpendel

Inhalt Modellsystem: Masse an einem „Faden“ im Gravitationsfeld Details zu den Kräften Aufbau der Bewegungsgleichung und ihre Lösung

Details zu den Kräften: Modellsystem: Masse an einem „Faden“ 1.) Ein Massenpunkt liefert die Trägheitskraft, nach Newton und d‘Alembert 2.) Die Gravitationskraft sorgt für eine „rücktreibende Kraft“, die für kleine Auslenkungen annähernd proportional zur Auslenkung ist. Es gilt daher annähernd das „Hookesche Gesetz“ Auch zu diesen Schwingungen tragen mechanische und elektromagnetische Kräfte bei Die Stabilität des „Fadens“ beruht auf zwischenatomaren Bindungskräften

Versuche zur periodischen Bewegung „Fadenpendel“

Das Fadenpendel (lang)

Auslenkung des Fadenpendels φ Pendel-Länge l Auslenkung l·φ

Kräfte am Fadenpendel φ(t) Zugkraftkraft am Faden FZ=m·g·cosφ φ(t) Zugkraftkraft am Faden FZ=m·g·cosφ φ(t) Schwerkraft FS=m·g Rücktreibende Kraft FR=m·g·sinφ

Auslenkung des Fadenpendels, Kräfte Einheit s(t) = l·φ(t) 1 m Auslenkung des Fadenpendels FS=m·g 1 N Schwerkraft auf das Pendel FR=m·g·sinφ(t) Rücktreibende Kraft FR=m·g·φ(t) Bei nicht zu großen Auslenkungen kann der Sinus durch sein Argument (im Bogenmaß) ersetzt werden FT=m·l·φ̈(t) Trägheitskraft Die Masse des Fadens sei „Null“, d. h. viel kleiner als die daran hängende Masse

Bewegungsgleichung des Fadenpendels Einheit FR= - FT 1 N Kräftesumme mit Trägheitskraft m·g·φ(t) = - m·l·φ̈(t) Bewegungsgleichung für den Auslenkungswinkel φ(t) = φ0 ·sinωt Ansatz für den Auslenkungswinkel als Funktion der Zeit m·φ0·g·sinωt= -m·φ0·l·(-ω2) ·sinωt Bewegungsgleichung mit Auslenkungswinkel ω2 = g/l 1/s2 Quadrat der Winkelgeschwindigkeit 1 s Gravitation und Pendellänge bestimmen die Periode der Schwingung

Das Fadenpendel (kurz)

Eigenschaften von Oszillatoren und ihren Schwingungen Sinusförmige Variation des „Signals“ Die Verkleinerung der Bauteile erhöht die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

Zusammenfassung Modellsystem: Massenpunkt und Faden Details zu den Kräften: Der Massenpunkt liefert die Trägheitskraft F = m · ̈s [N] Die Komponente der Gravitationskraft in zur Auslenkung entgegengesetzer Richtung wirkt als „rücktreibende Kraft“ für kleine Auslenkungen proportional zur Auslenkung („Hookesches Gesetz“) F = m·g·φ [N] Einzig mögliche Bewegung des Systems nach einer Auslenkung: Harmonische Schwingung Auslenkung des Winkels φ(t) = φ0 · sinωt [rad] Es folgt das Quadrat der Kreisfrequenz ω2 = g / l [1/s2] , Erdbeschleunigung g [m/s2] , Länge des Pendels l [m] Kürzere Pendel schwingen mit höherer Frequenz

finis