Rechenregeln für Mittelwert, Varianz und Streuung

Berechnung von Streuungsparametern an einem einfachen Beispiel

Konzentrationsmaße (Gini-Koeffizient, Lorenz-Kurve) Konzentrationsmaße Kennwert für die wirtschaftliche Konzentration Typische Beispiele: Verteilung des Geldvermögens unter den einzelnen Bevölkerungsgruppen Verteilung von Marktanteilen Aufteilung der landwirtschaftlichen Nutzflächen in einer Region

Ein Markt wird von 5 Unternehmen beliefert. Die folgende Tabelle beschreibt die Aufteilung der Marktanteile:

Daraus ergeben sich die folgenden Werte für die Punkte auf der Lorenz-Kurve:

Dazu die Lorenz-Kurve:

Berechnung des Gini-Koeffizienten

Aufgabe 5

Die Punkte auf der Lorenz-Kurve sind (0,2;0,04), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,05), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,40) (0,2;0,04), (0,4;0,10), (0,6;0,20),(0,8;0,45) (0,2;0,04), (0,4;0,15), (0,6;0,20),(0,8;0,40)

Der Gini-Koeffizient in (a) beträgt G = 0,496 G = 0,604 G = 0,304 G = 0,504

Aufgabe 6

Die Punkte auf der Lorenz-Kurve (gerundet) sind (0,1667;0,3278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,1667); (0,6667;0,3982), (0,9333;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,2667); (0,6667;0,4982), (0,8533;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,3333;0,0741), (0,5;0,1667); (0,6667;0,3982), (0,8333;0,6297) (0,1667;0,0278), (0,5333;0,0741), (0,5;0,3667); (0,6667;0,3982), (0,8333;0,7297)

Der Gini-Koeffizient beträgt rund G = 0,600 G = 0,841 G = 0,401 G = 0,499

Landwirtschaftlich genutzte Fläche einer Region

Dazu die Lorenz-Kurve:

Datenmatrix

Datentabelle für 2 Merkmale

Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten

Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten

X: Art des Betriebes 1 = Handelsbetriebe 2 = Freie Berufe (Leistungsbetriebe) 3 = Fertigungsbetriebe Y: Art der hinterzogenen Steuer 1 = Lohnsteuer 2 = Einkommenssteuer 3 = Umsatzsteuer 4 = Sonstiges Betriebe und hinterzogene Steuer Kontingenztabelle

Kovarianz Merkmal Datensatz Merkmal Datensatz

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Kovarianz (X,Y) (Streuung X) (Streuung Y)

Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson Eigenschaften X und Y unabhängig

X größerY größer X größerY kleiner

Positiver strikter Zusammenhang Negativer strikter Zusammenhang

Korrelationskoeffizient bei verschiedenen Konstellationen von Ausprägungen

Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: 1.00

Korrelationskoeffizient: 0.19 Korrelationskoeffizient: 0.52

Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: 0.00

Korrelationskoeffizient: Korrelationskoeffizient: -0.62

Aufgabe 7

Es ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von rund r = 0,978 r = 0,987 r = 0,879 r = 0,798

Aufgabe 8

Es ergibt sich ein Korrelationskoeffizient von ? ? ? ?

Mögliche Funktionenklassen für die Regressionsrechnung

Lineare Funktionen Polynome Exponentialfunktionen ( Exponentielles Wachstum; x ist die Zeit ) Gompertz-Kurven Logistische Funktionen

Prinzip der kleinsten Quadrate (Kleinst-Quadrat-Schätzung) Man sucht in der betrachteten Klasse diejenige Funktion f, so dass die Summe der Abweichungsquadrate minimiert wird: Bestimme f, so dass minimal !!

Aufgaben der Regressionsrechnung Stellt man sich für den Moment x als die Zeit vor, so möchte man die beobachteten Werte auf die Zukunft extrapolieren. Man erstellt eine Prognose. Dazu bedient man sich der gefundenen Funktion f, um für eine Zeit x der Zukunft den Wert y = f(x) zu schätzen. 1. Extrapolation

2. Interpolation Man interessiert sich für den Wert von y = f(x) Für Zwischenwerte von x, d. h. für Werte x, die zwischen 2 beobachteten Werten liegen: Wieder bedient man sich der Funktion f, um eine Interpolation der Werte durchzuführen.

Lineare Regression Finde reelle Zahlen a und b, so dass der Wert von minimal wird! Mit anderen Worten: Finde den Punkt (a,b), an dem die Funktion ihr Minimum annimmt!

Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung der Daten an die Regressionsfunktion Dabei ist

Im Falle linearer Regression ist das Bestimmtheitsmaß gleich dem Quadrat des Korrelationskoeffizienten nach Bravais-Pearson!

In einem Kaufhauskonzern mit 10 Filialen soll die Wirkung von Werbeausgaben auf die Umsatzsteigerung untersucht werden. Die Daten sind: X: Werbeausgaben in 1000 Euro Y: Umsatzsteigerung in Euro

Demonstrationsbeispiel Lineare Regression Mittelwerte Varianzen Kovarianz

Steigung der Regressionsgeraden Schnitt der Regressionsgeraden mit der y-Achse bei

Aufgabe 9

Die Regressinsgerade wird durch die folgende Geradengleichung wiedergegeben y = 3,45 x + 4,7 y = 2,3 x + 2,6 y = 0,651 x + 62,66 y = 2,422 x + 7,67

Das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression ergibt sich zu ca. 0,48 1,67 0,89 0,21

Aufgabe 10

Die Regressinsgerade wird durch die folgende Geradengleichung wiedergegeben ? ? ? ?

Das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression ergibt sich zu ? ? ? ?

Statistische Maßzahlen Bisher : Lagemaße Mittelwert Median Quantile (Quartile) Streuungsmaße Varianz Standardabweichung Kovarianz Korrelation KonzentrationsmaßeGini-Koeffizient

Verhältniszahlen Beziehungs- zahlen Gliederungs- zahlen Index- zahlen

Warenkorb N Güter (Mengen und Preise) in der Basisperiode 0 Berichtsperiode t

Preise in der Basisperiode 0 Preise in der Berichtsperiode t Mengen in der Basisperiode 0 Mengen in der Berichtsperiode t

Preisindex nach Laspeyres Preisindex nach Paasche Laspeyres: Bezug auf den alten Warenkorb Paasche: Bezug auf den neuen Warenkorb

Formeln für die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche

Aggregatform

Wegen der besseren Übersichtlichkeitdefinieren wir uns einen sehr kleinen Warenkorb bestehend aus: In den Jahren 1950 bis 1953 werden für den Jahres- verbrauch pro Einwohner und für die Preise die folgenden Daten zu Grunde gelegt: Zigaretten Bier Kaffee

Index 0 Index 1 Index 2 Index

Aufgabe 11

Die Preisindizes nach Laspeyres und Paasche ergeben sich zu ca. 1,16 und 1,20 0,98 und 1,20 1,37 und 1,20 1,22 und 1,20