Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen: 11.5.1. Alpha Zerfall von Kernen 11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop

11.5.1. Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> a + 208Pb + 8.78 MeV He 208Pb Coulombabstossung 1012 Tunnel- wahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten! Kernkräfte http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/alptun2.html#c1

11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3.4. Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei x a Spitze Substrat Zwischenraum Wand: Potentialstufe Zwischenraum: Potentialbarriere Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

11.5.2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3.4. Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/index.html

11.6. Der Harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Enn2 E(x) E0

11.6. Der Harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Substituiere: Y(x) |Y(x)|2 Lösung für C=1 E=1/2 ~ w Gausskurve: Tunnels in den klassich verbotenen Bereich Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

11.6. Der Harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ w Hermitesche Polynome

Kastenpotential: En n2 Harmonischer Oszillator: Energieniveus äquidistant (~w) Nullpunkstenergie 1/2 (~w) Bohrsche Atom: En 1/n2

Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt                            Plancksches Strahlungsgesetz Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh  diskret

Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Überlagerung von Zuständen 0,1 Ort Impuls Merke: Grosse Auslenkung Kleiner Impuls!

Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum

Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen 12. Das Wasserstoff Atom 12.1. Bewegung im Zentralfeld Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen D „Breitengrade“ (x,y,z) ! ( R,q,f ) Sphärische Polarkoordinaten Kugelkoordinaten: x=r sinq cosf y= r sinq sinf Z=r cosq

Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f) Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f) Hängt nur von r,q ab Hängt nur von f ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C1 Lösung: Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f + np) Teilen durch Ganzzahlig (m) m 2 Z

Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f) Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f) C1 = ml2 Hängt nur von r,q ab Hängt nur von f ab umsortieren, nach r und q ) Beide Seiten müssen konstant sein C1 hängt nur von r ab hängt nur von q ab Lösung: ) Beide Seiten müssen konstant sein C2 Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f + np) Legendresche Differentialgleichung substituiere x=cosq ! Teilen durch Ganzzahlig (m) Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm T=Plm (cos(q)) C2 = l(l+1), l 2 N T(q) P(f) = Plm (cos(q)) eimf = Ylm(q,f) Kugelflächenfunktionen m e Z

Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

D lz D lx > ~ D lz D ly > ~ D lx D lx > ~ l = 0,1,2,3 .... Drehimpulsquantenzahl -l<ml<l Magnetische Quantenzahl Unschärferelation im Drehimpuls: D lz D lx > ~ D lz D ly > ~ D lx D lx > ~ Beispiel l=2 m=-2,-1,0,1,2 x,y Komponente unbestimmt m~ z 2 dimensionale Welt?

Was ist die z (Quantisierungsachse)? Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert! kann nicht beliebig im Raum stehen: Richtung ist quantisiert! Was ist die z (Quantisierungsachse)?

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Y(r,q,f)= R(r) T(q) P(f) C1 = ml2 Hängt nur von r,q ab Hängt nur von f ab umsortieren, nach r und q C2 = l (l+1) ) Beide Seiten müssen konstant sein C1 hängt nur von r ab hängt nur von q ab Lösung: ) Beide Seiten müssen konstant sein C2 Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f + np) Legendresche Differentialgleichung substituiere x=cosq ! Teilen durch Ganzzahlig (m) Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm T=Plm (cos(q)) C2 = l(l+1), l 2 N T(q) P(f) = Plm (cos(q)) eimf = Ylm(q,f) Kugelflächenfunktionen m e Z

Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r2 auflösen negativ Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r2 Vollständige Lösung (Laguerre Polynome): hängen von n&l ab Wie Bohrmodel! hängt NICHT von l ab Beschränkung für l l<0,1,2,... n

Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Quantenzahlen: Symbol Hauptquantenzahl n = 1,2,... Drehimpuls l = 0,1,2,3,4... (n-1) n2 Möglichkeiten s,p,d,f magnetisch (Projektion des Drehimpulses) -l · m · l Grundzustand n=1 l=0 m=0 keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls. n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1 “Entartet” (gleiche Energie)

Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Höchste Dichte am Kern! |Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden Maximum beim Bohrschen Radius r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden

Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden 1 Knoten! r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden

Fragen: Wie kommen die e wieder zurück? Sind sie dort schnell oder langsam? klassisch verbotener Bereich Tunneln

Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Z-Achse (Quantizierungsachse) Y00 = C1 Y10= C2 cosq Y11= C3 sinq eif Y20=C4(2cos2q –sin2q) Y21=C5(cosq –sinq eif Y22=C6 sin2q e2if Polardarstellung: Abstand von (0,0) ist Funktionswert

Ynlm(r,q,f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Z-Achse (Quantizierungsachse) Y00 = C1 Y10= C2 cosq Y11= C3 sinq eif Y20=C4(2cos2q –sin2q) Y21=C5(cosq –sinq eif Y22=C6 sin2q e2if Polardarstellung: Abstand von (0,0) ist Funktionswert

Verbreitete Darstellung: Sind nicht gleichzeitig messbar Verbreitete Darstellung: Form nur „Stilisiert“

Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik r-Abhängigkeit verschmiert Planetenbahnen rn Radius rn=a0/Z n2 Dichte kann bei r=0 maximal sein 0 bei r=0 L=n~ Drehimpuls