8 Das Bohrsche Atommodell

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1 8 Das Bohrsche Atommodell
Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick Kann man Atome sehen? Größe des Atoms Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment Das Photon: Welle und Teilchen Teilchen als Welle (de Broglie) Heisenbergsche Unschärferelation Das Bohrsche Atommodell 8.1. Experimenteller Befund 1: Diskrete Spektren 8.2. Experimenteller Befund 2: Franck Hertz Versuch 8.3. Model: Die Bohrschen Postulate 8.4. Veranschaulichung des Models 1: Rydbergatome 8.5. Korrektur durch endliche Kernmasse 8.6. Veranschaulichung des Models 2: Myonische Atome 8.7. Veranschaulichung des Models 3: Positronium, Antiwasserstoff 8.8. Weitere Korrektur: Sommerfeld 8.9. Bohrmodell und DeBroglie Wellen Die Grenzen des Bohrmodells 9. Grundlagen der Quantenmechanik

2 9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

3 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Prinzip 1: Klassische Mechanik Quantenmechanik Jeder physikalischen Größe A(r, p) (“Observable“), die eine Funktion von Ort r und Impuls p eines Teilchens ist, entspricht ein Differentialoperator Â, den man erhält, indem man p durch -iħ  ersetzt: Punkt im Phasenraum Wellenfunktion komplexwertig Y(r,t) normierbar s 2(x) dx =1 stetig differenzierbar Teilchen Evolutions gleichung Hamilton Gleichungen Schrödingergleichung Wellengleichung für ein Teilchen im Potentzial V(r) Zeitabhängige SG daraus folgt mit (r),t)=(r) eiE/~ t die stationäre SG, siehe extra slide Prinzip 2: Messung: Jede Einzelmessung kann als Zahlenwert nur die Eigenwerte des Operators liefern. Beispiel 1: Impuls Eigewertgleichung: Beispiel 2: Energie: H (x) = E (x) Mess grössen Funktionen von r,p Operatoren Ort: x(t) Impuls mv(t)=m dx(t)/dt Drehimpuls L= X (Multiplikation mit x) Basis Drehimpulsoperator Abgeleitet, allgemein: ersetzt x,p durch Operatoren Energie (Hamilton-Funktion) Hamiltonoperator Energieeigenwerte (Diskrete Energien) Energieoperator

4 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Wie kommt man drauf? Geraten, aber naheliegend! Wieso ist das die Energie? Zunächst nur Konstante die E heisst Dimension Energie: ~ == Energie*Zeit Gesamtenergie klärt sich bei Anwendung

5 wenn a(x) und b(x) Lösungen sind Löst auch
9. Grundlagen der Quantenmechanik Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Linear: wenn a(x) und b(x) Lösungen sind Löst auch (x) = A * a(x) + B * b(x) Bsp: Überlagerungen von Ebenen Wellen zu Wellenpaketen

6 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Y(x)=Aeikx + B e-ikx Kinetische Energie löst: Konstante E Ist die Energie des Systems (da V(x)=0 nur kinetische Energie)

7 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A0 cos(kx - t) Komplexwertige Wellenfunktion Y(x,t) Zeitabhängige Schrödingergleichung: Für zeitunabhängiges Potential Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 1: V(x)=0 Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: Y(x)=Aeikx + B e-ikx Allgemeiner Ansatz: Y(x)=Aeikx + B e-ikx löst: löst: Mit Zeitabhängigkeit:

8 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten V(x)= 0 für 0·x¸L 1 sonst Y(x)=Aeikx + B e-ikx Y(x·0)=Y(x¸L)=0 Randbedingung 1 Rand- bedingung 2 Y(x=0) = 0 ) A+B=0 ) Y(x)=A(eikx - e-ikx)=2iA sin(kx) Y(x=L) = 2iA sin(kL) = 0 ) kL= np (n=1,2,3 ...) Quantenzahlen n N ist nicht Anzahl der Knoten N=0 ist psi=o kein Teilchen fehlte Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

9 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: Nur feste Impulse Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) Woher kommt die Quantisierung?? Zeitentwicklung der Zustände? hängt von En (n2) ab! Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

10 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: Nur feste Impulse Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) Woher kommt die Quantisierung?? Zeitentwicklung der Zustände? hängt von En (n2) ab! Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

11 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Visualisierung der Zeitabhängikeit der Zustände: a) Eigenzustände haben keine Zeitabhängikkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Real Imaginärteil Aufenthaltswahrscheinlichkeit

12 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: Nur feste Impulse Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) Woher kommt die Quantisierung?? Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.B. Barriere aufziehen? Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

13 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero WAS PASSIERT??

14 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Teilchen mit Anfangsimpuls in 2 dim Potentialtopf (kx , ky) = (0.86 , 0.5) (sx , sy) = (2l , 2l)       

15 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Wichtigste Lehre aus dem Beispiel unendlicher Potentialtopf: Quantenzahlen, und die Quantisierung einer Größe sind Folge der Randbedingungen und der Forderung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit Am Beispiel der Potentialtopf ist dies ohne explizites Lösen der Schrödingergleichung ersichtlich, bei „echten“ Potentialen ist dies etwas versteckter, das Prinzip ist aber gleich. Ausblick: Die Quantisierung des Drehimpulses wird sich auch herausstellen als Folge von Randbedingungen, allerdings nicht des Potentials, sondern aus der Rotation Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Wellenfunktionen in der Box:

16 9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

17 Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
Stationäre Schrödingergleichung x E(x) (II) Bereich (II): (I) Bereich (I): V(x)=0 ) 11.4. Potentialstufe YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 a2 YII(x)=C eax + D e-ax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=a(C-D) (ii)

18 9. Grundlagen der Quantenmechanik
(II) (I) Stationäre Schrödingergleichung 11.4. Potentialstufe x E(x) E0 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): a2 YII(x)=C eax + D e-ax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=a(C-D) (ii) Fall a) E<E0 9. Grundlagen der Quantenmechanik ik+a ik-a a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=a (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

19 Stationäre Schrödingergleichung
x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 Bereich (II): a2 YII(x)=C eax + D e-ax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) Potentialwall reflektiert vollständig Wellenfunktion dringt in den klassisch verbotenen Bereich ein YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) Energieerhaltung??? D E D t > ~ ) ik(A-B)=a(C-D) (ii) Fall a) E<E0 ik+a ik-a a reel ) C=0 weil sonst YII(x!1) divergiert C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=a (A+B) ) Verhältnis von Ein- und Auslaufenden Teilchen:

20 Stationäre Schrödingergleichung
x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx E0 Bereich (II): a2 YII(x)=C eax + D e-ax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

21 Stationäre Schrödingergleichung
(II) (I) Stationäre Schrödingergleichung 11.4. Potentialstufe x E(x) E0 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx Bereich (II): a2 YII(x)=C eax + D e-ax Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 YII(x)=C eik‘x + D e-ik‘x D=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen D=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

22 Stationäre Schrödingergleichung
x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) |D|2 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx |A|2 E0 Bereich (II): a2 |B|2 YII(x)=C eax + D e-ax Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) Wellenfunktion YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii) Fall b) E>E0 YII(x)=C e-ik‘x + D eik‘x C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k‘ (A+B) )

23 Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) )
Stationäre Schrödingergleichung x E(x) 11.4. Potentialstufe (I) (II) |D|2 Bereich (I): V(x)=0 ) YI(x)=A eikx + B e-ikx |A|2 E0 Bereich (II): a2 |B|2 YII(x)=C eax + D e-ax Auch wenn E>E0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_0) Wellenfunktion Y(x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) YI(x=0)=YII(x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=-a(C-D) (ii)

24 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft mit doppelter Energie der Stufe auf die Stufe zu ein klassisches Teilchen würde mit 1/2Ekin weiterlaufen! Ort E = ½ Ekin Impuls + auf Stufe zu - reflektiert

25 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft “bergab”: klassisch würde es beschleunigt weiterlaufen

26 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude

27 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt
x E(x) (I) (II) E0 Idee: kann man die Welle “freisetzen”??

28 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt
(I) (II) (III) x a E0 YI(x)=A eikx + B e-ikx YII(x)=C eax + D e-ax YIII(x)=A‘ eikx Randbedingungen: YI(0)=YII(0) , YII(a)=YIII(a) Höhe 0.3eV, Breite 1nm Transmissionskoeffizient (E<E0) für aa >>1 (dicke Barriere)

29 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt
Transmission hängt ab von: Barrierenhöhe (Exponentiell) Barrierenbreite a Masse Makroskopisch irrelevant

30 9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.6. Der Tunneleffekt Ekin<E Fragen: Energieerhaltung ??? Wie lange braucht das Teilchen?

31 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt
Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Alpha Zerfall: Pollonium 212Po -> a + 208Pb MeV He Coulombabstossung 208Pb 1012 Tunnel- wahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten! Kernkräfte

32 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei x a Spitze Substrat Zwischenraum Wand: Potentialstufe Zwischenraum: Potentialbarriere

33 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)

34 9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Enn2 E(x) E0

35 9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Y(x) |Y(x)|2 Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ w Gausskurve: Tunnels in den klassich verbotenen Bereich Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

36 9. Grundlagen der Quantenmechanik
9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Y(x) |Y(x)|2 Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ w Hermitesche Polynome

37 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Kastenpotential: En n2 Harmonischer Oszillator: Energieniveus äquidistant (~w) Nullpunkstenergie 1/2 (~w) Bohrsche Atom: En 1/n2

38 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt                            9. Grundlagen der Quantenmechanik Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh  diskret

39 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit n=20 n=4 n=0

40 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Überlagerung von Zuständen 0,1 Ort Impuls Merke: Grosse Auslenkung Kleiner mittleren Impuls!

41 9. Grundlagen der Quantenmechanik
Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden n Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum