3. Das Atom 1827 Brown: Existenz von Atomen/Molekülen  Molekularbewegung 1911 Wilson: Erfindung der Nebelkammer Existenz von Atomen, Ionen, Elektronen.

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1 3. Das Atom 1827 Brown: Existenz von Atomen/Molekülen  Molekularbewegung 1911 Wilson: Erfindung der Nebelkammer Existenz von Atomen, Ionen, Elektronen 1937 Ernst Müller: Erfindung des Feldemissionsmikroskops Direkte Beobachtung von Atomen 1932 Ruska: Erfindung des Elektronenmikroskops 1984 Binning, Rohrer: Erfindung des Rastertunnelmikroskops 1912 von Laue: Röntgenbeugung an Kristallen (Nobelpreis 1914) Messung von Atomgrößen (O(1 Å)) und Bindungsabständen Becquerel: Radioaktive Zerfälle (-, -, -Strahlung) M. u. P. Curie Beobachtung von Atomkern-Zerfällen (Nobelpreis 1927) (Nobelpreis 1986) (Nobelpreis 1903) Radioaktive Quelle ⊗   ungeladen   1  negativ geladen   2  positiv geladen

2 Das Feldemissionsmikroskop: Oberflächenstruktur der Wolfram-Spitze
Bild von Bariumatomen auf der Wolframspitze

3  3.1. Die klassische Struktur der Atome
Das Thomsonsche Atommodell Hypothese (Thomson): Ein Atom ist eine homogen geladene Kugel gleich vieler positiver (Protonen) und negativer (Elektronen) Elementarladungen. Streu-Target (10 m dünne Goldfolie) Experimenteller Test: Streuexperiment nach Rutherford Radioaktive -Quelle  E  O(10 MeV) Detektor (drehbar) 

4 Sicht gegen die s-Achse
Abschätzung der Streuwinkelverteilung: me ≪ mp, m  Streuung an Elektronen kann vernachlässigt werden. Atomradius  0,1 nm, Foliendicke  10 m  n  5103 Atomlagen. Streuung nur in durchkreuzten Atomen; die anderen sind zu weit weg und insgesamt neutral. Die Streuwinkel pro durchkreuztem Atom sind extrem klein.  Atom (ortsfest) Z Protonen Streuebene s T (transversal) R Sicht gegen die s-Achse y x b    y   ≪ 1 by x b Stoßparameter bx

5 Sicht gegen die s-Achse
Atom (ortsfest) Z Protonen Streuebene s T (transversal) R b Stoßparameter   ≪ 1 Sicht gegen die s-Achse y x   by bx x y  Ablenkung: Tafelrechnung  Breite der Streuwinkelverteilung:

6 # -Teilchen pro Targetfläche A
Breite der Streuwinkelverteilung: Ablenkung: Beispiel: Gesamtablenkung: Fehlerfortpflanzung: typisch O (1) Zentraler Grenzwertsatz  # -Teilchen pro Targetfläche A

7 Experiment (Geiger, Marsden)
   O ( 1 ) Theorie Experiment (Geiger, Marsden) E MeV 10 20 30   60 fest EKnick  cot Das Thomson-Modell ist unhaltbar

8 3.1.2. Das Rutherfordsche Atommodell
Hypothese (Rutherford): Ein Atom besteht aus einem praktisch punkt-förmigen Kern der Ladung Ze, der praktisch die gesamte Atommasse trägt. Der Kern ist umgeben von einer ausgedehnten Hülle von Z Elektronen ( Atomgröße), die die Kernladung perfekt abschirmt. Streuung von -Teilchen: Streuung nur in unmittelbarer Kernnähe  Mehrfachstreuungen sehr selten  betrachte nur Einfachstreuungen! x y b Stoßparameter   Kern Q  Z e Streuebene Q  z e m Hyperbel E , v v   Streuwinkel: Tafelrechnung 

9 gerechnet für einen Einzelkern als Streutarget
x y b Stoßparameter   Kern Q  Z e Streuebene Q  z e m Hyperbel E , v v  Winkelverteilung: ( Tafelrechnung) gerechnet für einen Einzelkern als Streutarget   Wirkungsquerschnitt der -Kern Streuung (Einheit m2)  differentieller Wirkungsquerschnitt der -Kern Streuung Bezeichnung: Einzelkern

10  E = 10 MeV Theorie experimentell bestätigt, solange nicht zu groß,
0 50 100 E = 10 MeV Theorie Experiment Theorie experimentell bestätigt, solange nicht zu groß, bzw. minimaler Kernabstand nicht zu klein Folgerung: Abschätzung von Kerngrößen aus Abweichungen von Rutherfordscher Streuwinkelverteilung A  # Protonen  # Neutronen  Kernmassenzahl Kerne sind um 5 Größenordnungen kleiner als Atome!

11 Ungeklärte Probleme des Rutherfordschen Atommodells:
Beschleunigte Ladungen strahlen e.m. Energie ab. Warum stürzen die um den Kern kreisenden Hüllenelektronen nicht ins Zentrum des Atoms? Wieso sind Atome also stabil? Atome strahlen elektromagnetische Strahlung u. a. in Form von Linienspektren ab. Was ist deren Ursprung? Wie kommt es zu chemischen Bindungen zwischen Atomen und was ist deren Natur?  Antwort: Die klassische Physik ist auf atomaren Skalen nicht mehr anwendbar. Wir benötigen ein quantenmechanisches Atommodell!

12 Rydbergkonstante des Wasserstoffs
3.2. Die Quantenstruktur der Atome Empirisches Wasserstoff-Linienspektrum Wasserstoff: Kern  1Proton ; Hülle  1 Elektron ; einfachstes Atom Beobachtung (Jakob Balmer, 1885): Ex. Serie von Emissionslinien im sichtbaren Bereich (VIS) mit einfacher geometrischen Systematik: Rydbergkonstante des Wasserstoffs … Entdeckung weiterer Serien (Lyman, Paschen, Bracket, Pfund, …) Interpretation: Dem Hüllenelektron stehen im Potentialtopf des Kern-Coulombfeldes unendlich viele Energieeigenzustände zur Verfügung. Übergänge zwischen Zuständen mit Energiedifferenz E können durch Emission / Absorption von Photonen mit vermittelt werden.

13 E eV 0,9 1,5 3,49 13,6 Energiekontinuum Ionisierungsgrenze n  7 n  6 n  5 Pfund-Serie (IR) n  4 Bracket-Serie (IR) n  3 Paschen- Serie (IR) n  2 Balmer-Serie (UV, VIS) n  1 Lyman-Serie (UV)

14 3.2.2. Das Bohrsche Atommodell (1913, Nobelpreis 1922)
Betrachte wasserstoffartiges Atom: Kern der Ladung Z e mit Masse mK ≫ me, ,,umgeben” von einem einzelnen Hüllenelektron Postulat (1): Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn um den Kern (genauer: um den gemeinsamen Schwerpunkt). Kern e reduzierte Masse: Kräftegleichgewicht: ()  ()

15 Postulat (2):. Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der
Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung). Kern e mathematisch:  für feste Quantenzahl n sind rn und vn festgelegt. ()  Quantisierte Bahnradien: Bohrscher Radius

16 Postulat (3): Die Bahn jeder Quantenzahl n gehört zu einem Energie-Eigenzustand:
Rydbergkonstante Ry hängt über  von Kernmasse mK ab:

17 nur hier ist Ekin  ½ Epot
Bemerkung: Bedeutung des Postulats (3) klassisch E r Es gibt keinen Zustand minimaler Energie. Das Elektron stürzt in den Kern. quantenmechanisch E rn n fest E En rn nur hier ist Ekin  ½ Epot Es gibt einen Zustand minimaler Energie. Die Elektronenbahn ist stabil.

18 Bemerkung: Bedeutung von...
Postulat (2): Die Materiewelle des Elektrons ist stationär, d. h. der Kreisumfang ist ein ganzzahliges Vielfaches der de Broglie-Wellenlänge (periodische Randbedingung). Folgerung: Der ( Bahn- ) Drehimpuls des Elektrons ( relativ zum Kern ) ist in Einheiten von quantisiert.

19   3.2.3. Der Franck-Hertz-Versuch (1913, Nobelpreis 1925) e I
Bekannt: Niveauübergänge  Absorption / Emission von Photonen Frage: Niveauübergänge  Energieübertrag durch Atomstöße ? Experiment: Quecksilberdampf (102 mbar) Glühkathode e I   Röhre Anode Gitter U U Kathode  Gitter: Ee  e U  EStöße Gitter  Anode: Ee  e U Elektronen erreichen Anode (  I ) wenn EeGitter  e U

20 Dioden-Charakteristik
Anodenstrom als Funktion der Beschleunigungsspannung (U fest):  Spektrograph 3 Stoßanregungen 4.9 V I  A  U  V  5 10 15 2 Stoßanregungen 4.9 V 1 Stoßanregung 4.9 V Dioden-Charakteristik

21 3.2.4. Wellenfunktion des Wasserstoffatoms
Statinonäre Schrödingergleichung in Relativkoordinaten: Relativkoordinate Kern  Elektron Coulomb-Zentralpotential: Faktorisierung ( Theorie-VL): Lösungen für beliebige Zentral-Potentiale V(r) in Kugelkoordinaten (r,,) Rn l(r)  Radialfunktion, spezifisch für die Form der Potentialfunktion Yl m(,)  Kugelflächenfunktion, universell für jedes Zentralpotential

22 Die Kugelflächenfunktionen
Legendre-Polynome Grad: ℓ   m  unabhängig von   Rotationssymmetrie um z-Achse (Quantisierungsachse) Yℓ m  Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators In Kugelkoordinaten: Eigenwertgleichungen: ℓ  Drehimpulsquantenzahl m  magnetische Quantenzahl ℓ  0, 1, 2,  m  ℓ, ℓ,  , ℓ , ℓ

23 z y x Das Vektormodell des Drehimpulsoperators Kugelradius
Lx, Ly nicht messbar, Drehimpulsvektor quantenmechanisch über Kegel verschmiert! Klassisches Analogon: Präzession um z-Achse Beispiel: ℓ  3

24 Die Radialfunktion Rn ℓ(r)
klassische Radialgleichung (  Physik 1 ) Quantenmechanisches Analogon effektives Potential (radialer Impuls)2 radiale Schrödingergleichung

25 Laguerre-Polynom (Grad n  ℓ  1) Bohr-Radius r Veff
Lösung: Laguerre-Polynom (Grad n  ℓ  1) Bohr-Radius r Veff Potentialtopf radiale Aufenthalts-Wahrscheinlichkeit radiale Quantenzahl nr  n  ℓ  1  0, 1,  ↳ Zahl der Knoten Folge für die möglichen Werte für die Quantenzahlen (QZ): Haupt-QZ: n  1, 2, 3,  diskretes Energiespektrum Drehimpuls-QZ: ℓ  0, 1,  , n  1 n Drehimpulszustände Magnetische QZ: m  ℓ, ℓ  1,  , ℓ 2 ℓ  1 Drehimpulsrichtungen

26 Die Energieentartung:
Drehimpuls-QZ: ℓ  0, 1,  , n  1 n Drehimpulszustände Magnetische QZ: m  ℓ, ℓ  1,  , ℓ 2 ℓ  1 Drehimpulsrichtungen Haupt-QZ: n  1, 2, 3,  diskretes Energiespektrum unabhängig von m  Rotationssymmetrie unabhängig von ℓ  r 1-Potential Entartungsgrad bei festem n, ℓ (  Zustände mit Energie En und Drehimpuls ): Entartungsgrad zur Haupt-QZ n (  Zustände mit Energie En):

27 Die spektroskopische Nomenklatur:
ℓ Zustand m Zustand 0  1  2  3  4    0 s 1 p 2 d 3 f 4 g   Beispiel: n  4 , ℓ  3 , m    f  - Zustand Bemerkung: ℓ  0  m  Es gilt: Y00  const. Folgerung: s-Zustände sind kugelsymmetrisch.

28 Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte :
Aufenthaltswarscheinlichkeit in Kugelschale (Dicke dr) beim Radius r : 1 Beispiel: Der Grundzustand 1s Beim Bohrschen Radius ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit maximal. Im Mittel befindet sich das Elektron aber im Abstand 1,5 a0 zum Kern.

29 Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der ersten drei Energieniveaus:
nr  0 n  2, ℓ  0 nr  1 n  3, ℓ  0 nr  2 n  3, ℓ  1 nr  1 n  2, ℓ  1 nr  0 n  3, ℓ  2 nr  0 Regeln:  Knoten  nr  Bäuche  nr  1  n  ℓ n ↗   r  ↗ ,  r   n2 ℓ ↗   r  ↗ ,  Bäuche ↘  klassisch: mit ℓ zunehmend exzentrische Ellipsenbahnen (Ausschmierung) n fest  ist kugelsymmetrisch

30 Die Parität der Wellenfunktion (WF):
Definition: Die Wellenfunktion besitzt eine Parität, wenn sie gerade oder ungerade ist. Bezeichnung: gerade:  Parität   bzw. 1 bzw. gerade ungerade:  Parität   bzw. 1 bzw. ungerade Die Parität der WF eines Teilchens im Zentralpotential ist (1)ℓ. Die Parität ist damit durch den Bahndrehimpuls festgelegt.