Navier-Stokes Gleichung Hydraulik I W. Kinzelbach Potentialströmung Reale Fluide Navier-Stokes Gleichung

Venturi Rohr 1 2 Gemessen: p1, p2, D, d Rohr horizontal T=20o Gesucht: Q Lösung: Kontinuität und Bernoulli

Geschwindigkeitsmessung

Hydrometrischer Flügel

Tracer Methoden t1 t2 L Verfahren zur Messung von Q: Verdünnungsmethode

Andere Methoden PTV (=particle tracking velocimetry): Zugabe und Verfolgung von Partikeln Hitzdrahtanemometer: Abkühlung eines elektrisch erhitzten Drahtes durch die Strömung t1 t2 + -

Andere Methoden Laserdoppleranemometer: In der Strömung vorhandene Kleinstpartikel durchlaufen ein Interferenzmuster an der Schnittstelle zweier Laserstrahlen. MID (Magnetisches Induktions-Verfahren): In einem durch ein Magnetfeld bewegten Leiter (= Strömung) wird eine Spannung induziert Akustische Laufzeitmessung: Superposition von Schallgeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit

Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=constant): rotationsfrei w=0 deformationsfrei q=0 y x Beispiel: freie Parallelströmung ohne Wandeinfluss

Was ist Rotation? Parallelströmung (vx=f(y): rotationsbehaftet w 0 deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Strömung in der Nähe einer Wand

Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsbehaftet w 0 Ohne Deformation q = 0 Beispiel: Festkörperwirbel

Was ist Rotation? Kreisströmung rotationsfrei w = 0 deformationsbehaftet q 0 Beispiel: Rankine-Wirbel über Bodenöffnung, Aussenströmung 1/r, Kernströmung rotationsbehaftet

Potentialströmung 1 Strömung in der gilt: Strömungen, die sich als Gradient eines skalaren Feldes F, des Potentials, darstellen lassen sind Potentialströmungen

Potentialströmung 2 Kombination von Kontinuität und ergibt Potentialgleichung Ebene Strömung in x-y-Ebene

Ebene Potentialströmung 1 Linien gleichen Werts F heissen Potentiallinien Zu den Potentiallinien kann eine orthogonale Linienschar konstruiert werden, die Stromlinien Stromlinien sind Linien gleichen Werts der Stromfunktion Y Die Stromfunktion erfüllt ebenfalls die Potentialgleichung, lediglich mit anderen Randbedingungen

Ebene Potentialströmung 2 Aus der Bedingung dass die Tangenten von Strom- und Potentiallinien im Schnittpunkt senkrecht stehen gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Ebene Potentialströmung 3 Stromlinien und Potentiallinien bilden das Strömungsnetz (vorteilhaft: Quadrasternetz)

Ebene Potentialströmung 4 Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien mit Stromfunktionswerten Y1 und Y2 Dicke der ebenen Strömung 1 Einheit

Ebene Potentialströmung 5 Undurchlässige Ränder sind Stromlinien Diagonalen (Tangenten) schneiden sich orthogonal In Maschen können Kreise einbeschrieben werden, die alle 4 Seiten tangieren

Anwendungskriterien für Potentialnetze Inkompressibles Fluid Zweidimensionale Strömung Rotationsfreiheit (nur Schwerkraft und Druckkräfte wirksam) Kurze Strömungsabschnitte (damit Reibung klein bleibt, Länge nicht grösser als 5-8 mal Breite) Geringe Zähigkeit des Fluids Strömung ablösungsfrei

Reale Fluide 1 Laminare Strömung (Zähigkeit dominiert) Turbulente Strömung (Trägheit dominiert) Umschlag laminar-turbulent Kriterium Reynoldszahl in Rohrströmung Kritische Reynoldszahl für Umschlag Re=2300

Reale Fluide 2 Euler Zahl Froude Zahl

Reibungskräfte

Reibungskräfte 2

Reibungskräfte 3 Unter Verwendung von

Navier-Stokes Gleichung 1 +A.B +R.B.

Navier-Stokes Gleichung 2 Dimensionslose Form mit Massstäben L, T, U=L/T t = Tt* x = Lx* u = Uu* p = rU2p* Zwei Invarianten Re = UL/n Fr2 = U2/(gL)

Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung Nur für einfache Konfigurationen und laminare Strömung möglich Beispiel: Strömung zwischen zwei festen Platten z vx(z) d x

Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (2) Parabolisches Profil

Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3) Beispiel: Laminare Rohrströmung r f vz(r) z Lösung: Mit Navier-Gleichung und Kontinuitätsgleichung in Zylinderkoordinaten: Kontinuitätsgleichung:

Geschlossene Lösungen der Navier-Stokes Gleichung (3) Selber aus- probieren!!

Laminare Rohrströmung(1) (auf andere Art) Kräftegleichgewicht an Zylinder mit Radius r in Achsenrichtung: Komponente des Gewichts +Kraft aus Druckdifferenz- Kraft aus Reibung = 0 (Impulskräfte heben sich auf, wegen Kontinuität v1=v2)

Laminare Rohrströmung (2) Komponente des Gewichts Kraft aus Druckdifferenz Kraft über Zylindermantel mit

Laminare Rohrströmung (3) Mit Newton‘schem Gesetz ergibt sich daraus: und nach Integration: C folgt aus Haft- bedingung v(r0)=0

Laminare Rohrströmung (4) Damit folgt das Gesetz: Die Geschwindigkeitsverteilung ist ein Rotationsparaboloid. mit Rohrdurchmesser d Da vm=vmax/2 gilt damit das Hagen-Poiseuille‘sche Gesetz: Lineares Energieverlustgesetz in der laminaren Strömung

Laminare Rohrströmung (5) Verallgemeinerung Für die Wandschubspannung (r=d/2) im Rohr gilt Mit wird ein dimensionsloser Reibungsbeiwert definiert Für ein Rohr der Länge L und mit Durchmesser d gilt dann: Darcy-Weisbach-Gesetz

Laminare Rohrströmung (6) Verallgemeinerung Vergleicht man das Darcy-Weisbach Gesetz Bei konstantem Q folgt: mit dem Hagen-Poiseuille-Gesetz Wichtig für Blut- Hochdruck bei Arterienverkalkung!! so folgt ein Reibungsbeiwert:

Rohrströmung allgemein Darcy-Weisbach Gesetz wird als universal gültig angenommen mit einem Reibungsbeiwert, der allgemein eine Funktion der Reynoldszahl und der Rohreigenschaften ist. Bei laminarer Strömung Bei stark turbulenter Strömung und rauhem Rohr

Widerstandskoeffizient Analog! Widerstandskoeffizient Bei grossen Re: CD konstant, FD prop. zu V2 Bei kleinen Re: CD=24/Re, FD prop. zu V

Reynoldsgleichungen 1 Reynoldszerlegung: Mittlere Schwankung Turbulenzintensität

Reynoldsgleichungen 2 Dabei ist Einfachstes Turbulenzmodell zur Schliessung der Gleichungen mit Wirbelzähigkeit nWirbel

Turbulente Schubspannungen (1) Turbulenter Impulstransport durch Fläche A im Abstand y von Wand

Turbulente Schubspannungen (2) Gesamtschubspannung: Definition der Schubspannungsgeschwindigkeit Prandtl‘sche Mischwegtheorie: Weg L über den Wirbel sein Identität verliert

Logarithmisches Geschwindigkeitsprofil Gesetz der Wand: L=ky Karmankonstante k=0.4 Durch Integration folgt das logarithmische Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Wandströmung wobei dw die Dicke der viskosen Unterschicht ist. In der viskosen Unterschicht ist das Geschwindigkeitsprofil linear:

Grenzschichtströmung Grenzschichtdicke=Wandabstand bei dem 99% von erreicht.

Wandrauheit Äquivalente Sandrauheit k Rohrmaterial Rauheit k (mm) Gusseisen mit Bitumenanstrich 0.12 Betonrohre roh 1.0 bis 3.0 Gezogene Glasrohre glatt Gezogene Stahlrohre 0.03 bis 0.1

Geschwindigkeitsprofile (1) Laminar A=

Geschwindigkeitsprofile (2) Hydraulisch glatt: ku*/n<5 Übergangsbereich: 5<ku*/n<70 Hydraulisch rauh: ku*/n<5

Geschwindigkeitsprofile (3) Korrektur für Profil in Energiesatz Korrektur für Profil in Impulssatz 1<b<a