Harmonische Schwingungen
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt.
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren.
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0)
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist.
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz: F = -D s
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz: F = -D s genauer: F = -D1s - D2s2 - D3s3 - ...
Harmonische Schwingungen Systeme, die beim Verlassen der Ruhelage eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft aufbringen, sind zu harmonischen Schwingungen befähigt. Man nennt sie harmonische Oszillatoren. d2f Jede DGL der Form + K f = 0 (wobei K > 0) dt2 ^ führt auf eine harmonische Schwingung f(t) = f sin w(t - t0) mit w = ÖK Sehr viele Systeme in Natur und Technik führen harmonische Schwingungen aus, wenn die Amplitude nicht zu groß ist. Hookesches Gesetz: F = -D s genauer: F = -D1s - D2s2 - D3s3 - ... Dn enthält den Faktor 1/In, sodaß für s << l alle höheren Potenzen von s vernachlässigt werden können.
Mathematisches Pendel
Mathematisches Pendel j s m mg j F
Mathematisches Pendel d2s l F = m dt2 j s m mg j F
Mathematisches Pendel d2s l F = m dt2 s = lj j s m mg j F
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 s = lj j s m mg j F
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 s = lj j F = -mg sin j s m mg j F
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 s = lj j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j F
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j = s/l j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml sin j » j dt2 mg j
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml sin j » j dt2 mg j d2j l + g j = 0 dt2 F
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml sin j » j dt2 mg j d2j l + g j = 0 dt2 F d2j g + j = 0 dt2 l
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l + g j = 0 dt2 F d2j g + j = 0 dt2 l ^ j(t) = j sin w(t - t0)
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l + g j = 0 g dt2 F w = l d2j g + j = 0 dt2 l ^ j(t) = j sin w(t - t0)
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l + g j = 0 g dt2 F w = l d2j g + j = 0 dt2 l l T = 2p g ^ j(t) = j sin w(t - t0)
Mathematisches Pendel d2s d2j l F = m = ml dt2 dt2 j F = -mg sin j s m d2j -mg sin j = ml dt2 mg j d2j l + g j = 0 g dt2 F w = l d2j g + j = 0 dt2 l l T = 2p g ^ j(t) = j sin w(t - t0) Sekundenpendel: l = 25 cm
Flüssigkeitspendel
Flüssigkeitspendel A
Flüssigkeitspendel A d2s F = m dt2
Flüssigkeitspendel A d2s F = m dt2 m = rlA
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s rlA = -rg 2s A dt2
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s dt2 d2s dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s rlA = -rg 2s A dt2 d2s 2g + s = 0 dt2 l
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g w = dt2 l d2s dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g + s = 0 dt2 l
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule.
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Übersteuertes Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Übersteuertes Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A F = -mg d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Übersteuertes Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A F = -mg = -rg l A (unabhängig von s) d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Flüssigkeitspendel d2s F = m dt2 d2s 2g dt2 w = l d2s l T = 2p dt2 2g m = rlA p = rgh F = pA = -rg 2s A gilt nicht überall! d2s 2g rlA = -rg 2s A dt2 w = l d2s 2g l + s = 0 T = 2p dt2 l 2g Eine Quecksilbersäule schwingt genau so schnell wie eine Wassersäule. Ein Fadenpendel der halben Säulenlänge, l/2, schwingt ebenso schnell.
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels Wpot = òFadx
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels Wpot = òFadx = òDxdx
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels Wpot = òFadx = òDxdx = s2 2
Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 2 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s = s sin wt = w s cos wt dt
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 2 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws m ^ W = v 2 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws m ^ W = v 2 2
( )2 Energie des harmonischen Oszillators am Beispiel des Federpendels ( )2 ds Wpot = òFadx = òDxdx = s2 Wkin = v 2 = 2 2 2 dt ^ ds ^ s(t) = s sin wt = w s cos wt dt D ^ m ^ W = Wpot + Wkin = s2 sin2wt + w2 s2 cos2wt 2 2 D = mw2 mw2 mw2 D ^ ^ ^ W = s2 (sin2wt + cos2wt) = s2 = s2 2 2 2 ^ ^ oder mit der Schnelle v = ws m ^ W = v 2 2 Potentielle und kinetische Energie sind gleichverteilt.