Data Mining 8.5.2007 Georg Pölzlbauer

Datenmatrix (1) Messungen werden in Tabellenform dargestellt N Zeilen sind gemessene Objekte xi (samples, patterns) D Spalten sind Merkmale (features, variables)

Datenmatrix (2) Beispiel: Umfrage; es werden 100 Personen zu ihrer Einstellung zu 5 politischen Parteien gefragt (Bewertung auf Skala von 0 bis 10) 100 Zeilen, 5 Spalten Es gibt auch andere Arten von Daten (z.B. Zeitreihen, strukturierte Daten, …), diese sind aber nicht Thema dieser Vorlesung

Geometrische Interpretation (1) Samples xi sind Punkte in einem Vektorraum "Datenpunkte" bilden Datenwolke

Geometrische Interpretation (2) 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (m)

Skalentypen (1) Nominalskala Ordinalskala Werte stehen in keiner Ordnung zueinander, unterschiedliche Werte sind sich alle gleich unähnlich z.B. Haarfarbe (blond, brünett, schwarz, …) Ordinalskala numerische Skala, aber Abstände zwischen den Werten haben keine Bedeutung z.B. Noten (ist der Abstand zw. 4 und 5 genau so groß wie der zwischen 2 und 3?)

Skalentypen (2) Intervallskala Verhältnisskala Abstand zwischen 2 Werten kann gemessen und mit anderen Abständen verglichen werden z.B. Temperatur (in Celsius, Fahrenheit) Verhältnisskala wie Intervallskala, man kann aber Verhältnisse berechnen, hat sinnvollen Nullpunkt z.B. Gewicht, Größe (Person A ist 1,2x so groß wie B)

Metriken (1) Welche Datenpunkte sind ähnlich? Euklidische Distanz (L2-Metrik) Manhattan Distanz (L1-Metrik, City-Block)

Metriken (2) Abstand?

Metriken (2) Euklidische Distanz

Metriken (2) City Block

Mittelwert, Varianz (1) Arithmetisches Mittel (Mittelwert, mean) kann pro Merkmal gebildet werden Streuungsmaße wie Varianz bzw. Standardabweichung können ebenfalls für jedes Merkmal berechnet werden

Mittelwert, Varianz (2) 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (m)

Mittelwert, Varianz (2) 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (m) s2 s1

1-zu-N Kodierung (1) Die meisten Data Mining Algorithmen benötigen intervallskalierte Daten Problem v.a. bei kategorischen Daten (nominalskaliert) Lösung: Eine binäre Variable für jede mögliche Ausprägung

1-zu-N Kodierung (2) feature red blue green red blue green 1

Fehlende Werte Oft vorkommendes Problem bei Data Mining Mögliche Lösungen: Verfahren verwenden, die damit umgehen können (Decision Trees, SOMs) Diese Samples weglassen Werte interpolieren (missing value prediction)

Ausreißer Ausreißer können Fehlmessungen oder einfach stark untypische Samples sein Problem bei Berechnung von Varianz, Kovarianz etc. Robuste Statistik: Median, Quartile, etc.

Normalisierung von Daten (1) 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (m) Abstand = sqrt(0,3^2 + 45^2) = sqrt(2025,09) = 45 45 0,3

Normalisierung von Daten (1) 1500 1600 1700 1800 1900 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (mm) Abstand = sqrt(300^2 + 45^2) = sqrt(92025) = 303 45 300

Normalisierung von Daten (2) Die Abstandsmeßung sollte von der Maßeinheit der Merkmale unabhängig gemacht werden Standardisierung (zero-mean-unit-variance):

Normalisierung von Daten (3) 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (m)

Normalisierung von Daten (3) -2 -1 1 2 -3 3 Gewicht Größe 5,5 4,5

Normalisierung von Daten (4) Chebyshevs Ungleichung 75% der standardisierten Werte zwischen -2 und +2 89% der Werte zwischen -3 und +3 94% der Werte zwischen -4 und +4

Dichtefunktion Es wird angenommen, daß den gemessenen Werten (Datenmatrix) eine Dichtefunktion zu Grunde liegt Diese Funktion ist unbekannt, es ist eine unserer Aufgaben sie zu schätzen

Normalverteilung (1) Die Normalverteilung nimmt in der Statistik eine besondere Rolle ein Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt:

Normalverteilung (2)

Multivariate Verteilungen (1) MV Zufallsvariable werden durch mehrdimensionale Dichtefunktionen beschrieben Für MV Normalverteilung schreibt man z.B. Zufallsvektor Vektor von Mittelwerten Kovarianzmatrix

Multivariate Verteilungen (2)

Stichproben (1) Die konkreten Ausprägungen, die gemessen werden, sind Stichproben der Population Die Stichprobe besteht aus N Samples, Population wird durch kontinuierliche Dichtefunktion beschrieben

Stichproben (2)

Population vs. Stichprobe Mittelwert Varianz

Bayes Theorem (1) Oft stehen Zufallsereignisse mit einander in Verbindung Wenn man z.B. die Ereignisse „die Erde ist naß“ (A) und „es regnet“ (B) betrachtet: Wahrscheinlichkeiten P(A) = 0,15 und P(B) = 0,12 Mit der Information, daß der Boden naß ist (also A eingetreten ist), scheint es wahrscheinlicher, daß es regnet

Bayes Theorem (2) Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(B|A) = 0,8 D.h. unter der Voraussetzung, dass der Boden naß ist, regnet es mit W. von 80% (ohne dieser Information: 12%) Das Bayes Theorem erlaubt die Berechnung der W. in die andere Richtung (d.h. wenn man die Bedingung vertauscht)

Bayes Theorem (3) Bayes Theorem: Z.B.: P(A|B)… W. daß der Boden naß ist wenn es regnet P(A|B) = 0,15*0,8/0,12 = 1

Kovarianz Kovarianz mißt die Stärke des linearen Zusammenhangs zweier Variablen 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 40 50 60 70 80 90 100 Gewicht (kg) Größe (m)

Kovarianzmatrix Die Kovarianzmatrix hat die Varianzen der Variablen in der Diagonale, und die Kovarianzen außerhalb der Diagonale Beispiele:

Korrelation Standardisierte Kovarianz (dimensionslos, zwischen -1 und +1, ähnlich Normalisierung) Negative Korrelation: Wenn x1 steigt, sinkt x2 Positive Korrelation: Wenn x1 steigt, steigt auch x2 Korrelation = 0: Kein linearer Zusammenhang

Schiefe (1) Weiteres „statistisches Moment“ (neben Mittelwert, Varianz) Schiefe ist ungleich 0 wenn Verteilung nicht symmetrisch

Schiefe (2)

Informationstheorie: Entropie

Datenanalyse: Scatterplots

Hauptkomponentenanalyse