Aufgaben zum Lernen Lernen Spuren legen und Spuren lesen Seminar zum fachdidaktischen semesterbegleitenden Praktikum im Fach Mathematik WS 2008/2009 Sitzung vom Dozentin: Frau Homberg-Halter Referentin: Lisa Fabiana Kage

1)Metakognition 2)Der dialogische Mathematikunterricht 3)Arbeitsphase „CaSSiS“ 4)Schriftliche Äußerungen der Lernenden im Mathematikunterricht aus didaktischer Sicht 5)Beispielaufgabe mit Einordnung in die Bildungsstandards und den Lehrplan 6)Kognitive Mathematik vs. die „etwas andere Aufgabe“ 7)ResümeeSitzungsfahrplan:

Station 1: Metakognition

Bewusste Methoden, d.h. gesammelte Regeln und reflektierte Einsicht in den Prozess des Erarbeitens von Wissen, subsummiert man heute unter dem Begriff „Metakognition“. Eine allgemeine Definition:

„Metakognition (engl. „metacognition“) ist der seit Mitte der 70er Jahre verwendete Sammelbegriff für eine Reihe von Phänomenen, Aktivitäten und Erfahrungen, die mit dem Wissen und der Kontrolle über eigene Kognitive Funktionen (z.B. Lernen, Gedächtnis, Verstehen, Denken) zu tun haben. […] „Bewusstheit“ ist […] ein wesentliches Bestimmungsstück von Metakognition. Die Fähigkeit, über eigene Gedanken und eigenes Verhalten zu reflektieren, spielt eine wichtige Rolle für planvolles und selbstregulatives Lernen.“ (Hasselhorn 2001, 466) Definition nach Hasselhorn:

Station 2: Der dialogische Mathematikunterricht nach GALLIN&RUF (1999)

„Wenn niemand da ist, der auf mich eingeht und mir antwortet, wenn niemand da ist, der zu verstehen versucht, was ich gemacht habe, und es in Verbindung bringt mit dem, was für ihn wichtig ist, verliere ich das Gefühl, jemand zu sein und etwas zu können, und lenke meine produktiven Energien in andere Bahnen.“ (Gallin&Ruf 1999, 7-8)

Kernidee des dialogischen Unterrichts Spuren legen – Spuren lesen Was Schüler in der Schule lernen, wird auch bedeutsam für ihr Leben.

Lernen als Dialog Singuläre Seh- und Denkweisen werden immer wieder mit regulären Normen und Verfahren konfrontiert, wenn man immer wieder fragt: „ Wie würde ich das denn anpacken? Und wie macht es mein Nachbar?“

Gesprächsteilnehmer:

Das Kreislaufmodell des dialogischen Lehrens und Lernens Kernidee RückmeldungReisetagebuch Auftrag

Instrument: Kernidee „Die Herausforderung zum Produzieren“ Sie bietet einem Neuling… …eine Vorschau auf ein noch unbekanntes Handlungsfeld Und… …lenkt seinen Blick auf den Witz der Sache, ohne ihn mit Informationen zu überschütten und sein Gedächtnis unnötig zu überlasten

Drei Merkmale einer Kernidee biographischICH provokativDU sachzentriertWIR + =

Wo sind Kernideen zu finden? …auf der Suche nach authentischen Begegnungen und Schlüsselerlebnissen in der eigenen Lernbiographie Wichtige Hinweise liefern oft Gespräche mit Partnern aus anderen Disziplinen

Instrument: Auftrag Ermöglicht den Lernenden… …auf unterschiedlichem fachlichem Niveau und unter unterschiedlichen Aspekten der Handlungskompetenz originell und eigenständig zu handeln… …und gute oder sehr gute Leistungen zu erbringen. Leitmotiv: „Ich sehe das so!“

Drei Merkmale des Auftrags erfüllbarICH anspruchsvollDU offenWIR + =

Instrument: Lernjournal „Aufschlussreiche Spuren persönlicher Erkundungen“ Dokumentation der Wege und Irrwege ihrer Erkundungen durch die Lernenden 3 wichtige Anforderungen: ausformuliert DU chronologisch ICH unzensiert WIR

Schema eines Lerntagebucheintrags:

Instrument: Rückmeldung „Perspektivenwechsel im Handlungsfeld des Auftrags“ Eintrag im Lernjournal durch den Lehrenden 3 Merkmale von Rückmeldungen: verstärkend DU persönlich ICH konkret WIR

Beurteilung der Einträge im Lernjournal ! WICHTIG: Qualitäten stehen im Vordergrund der Beurteilung und nicht Defizite Häklein statt Bewertung durch Schulnoten

Anleitung zur Beurteilung von Spuren im Lernjournal genügende Leistung erbracht Gelungenes (Qualität subjektiv begründen) Minimale Anforderungen erfüllt, jedoch eine Überarbeitung nötig eine Überraschung (mit Kommentar hervorheben)

Ziel Erlangen einer Fachkompetenz, die es erlaubt, verfügbares Wissen und automatisiertes Können im Umgang mit neuen Problemen zweckmäßig und erfolgreich einzusetzen

Das dialogische Prinzip „Ich bin jemand und kann etwas, und zwar nicht nur so im allgemeinen, sondern ganz konkret: in der täglichen Arbeit an den Stoffen.“ (Gallin&Ruf 1999, 7)

Frage: Welche persönlichen Erfahrungen habt ihr selbst im Mathematikunterricht gemacht? Inwiefern lassen sich diese mit dem „Dialogischen Mathematikunterricht“ von GALLIN&RUF vergleichen?

Station 3: Arbeitsphase „CaSSiS“

Arbeitsauftrag: Kommentiert und beurteilt die Schüleraufsätze aus dem CaSSiS- Projekt. Beachtet dabei insbesondere das Instrument der Rückmeldung nach GALLIN&RUF (1999).

Aufgabenstellung: Quelle: LAMBERT & PETERS (Hrsg.): CaSSiS-Projekt. Aufgaben für den Taschencomputer. Softfrutti 2004, S.3

Aufgabenstellung: Quelle: LAMBERT & PETERS (Hrsg.): CaSSiS-Projekt. Aufgaben für den Taschencomputer. Softfrutti 2004, S.3

Zur Erinnerung: Anleitung zur Beurteilung von Spuren im Lernjournal genügende Leistung erbracht Gelungenes (Qualität subjektiv begründen) Minimale Anforderungen erfüllt, jedoch eine Überarbeitung nötig eine Überraschung (mit Kommentar hervorheben)

Station 4: Schriftliche Äußerungen im Mathematikunterricht (didaktische Sicht)

Welche Formen textlicher Eigenproduktionen gibt es im Mathematikunterricht?  Rekonstruktion von Gehörtem, Gesehenem oder Gelesenem  Problemlöse- oder Untersuchungsberichte  Begriffs- und Verfahrensbeschreibung  Definieren, Hypothesen formulieren, argumentieren und beweisen  Führen eines Lernjournals, Reisetagebuchs, Forschungshefts, etc.

Konsequenz für den Schüler Nicht die richtige Antwort steht im Zentrum der pädagogischen Reflexion …sondern das, was der Schüler tatsächlich denkt, fühlt und sagt. Konsequenz für alle Alle haben eine Chance – alle Schüler denken, fühlen, sagen und tun etwas im Unterricht!

Didaktischer Gewinn durch schriftsprachliche Äußerungen der Lernenden Anregung, Inhalte zu verinnerlichen, zu analysieren und verstehend zu durchdringen Fassbarer Ausdruck des Denkens durch genaue Darstellung der Ideen mehr Zeit für die Strukturierung von Gedanken und Darstellungen Gründliche Information über das Wissen und Verstehen der Schüler

Station 5: Beispielaufgabe mit Einordnung in die Bildungsstandards und den Lehrplan

Beispielaufgabe: Beim umwandeln von 1/19 stöhnt Peter: „Ich glaube, diese Rechnung nimmt nie ein Ende. Die Periode hat mindestens 50 Stellen.“ Petra: „Bisher war die Periodenlänge immer kleiner als der Nenner der umzuwandelnden Bruchzahl. Ich vermute, dass das kein Zufall ist!“ a)Überprüfe Petras Behauptung. b)Nimm Stellung zu Petras Vermutung. Quelle: COHORS-FRESENBORG, KAUNE&GRIEP: Mathematik in Klasse 9. Schriftenreihe des FMD Nr.27, S.13

Einordnung in die Bildungsstandards  Kompetenzen: - (K1) Mathematisch argumentieren - (K2) Probleme mathematisch lösen - (K4) Mathematische Darstellungen verwenden - (K6) Kommunizieren  Leitidee: - (L1) Leitidee Zahl Einordnung in den Lehrplan  Klassenstufe 6: Zahlbereichserweiterung (Bruchteile von Größen)

Station 6: Kognitive Mathematik vs. die „etwas andere Aufgabe“

Teil 1: kognitive Mathematik

Kognitive Mathematik: prädikatives& Denken funktionales Fassen von Strukturen und Begriffen in Form von Prädikaten / Relationen zwischen verschiedenen (mathematischen) Gegenständen Fassen von Strukturen und Begriffen in Form von Funktionen / Operationen zwischen verschiedenen (mathematischen) Gegenständen Denken in Beziehungen Ausbau einer statisch greifenden internen begrifflichen Repräsentationen Denken in Wirkungsweisen Ausbau einer dynamisch greifenden internen begrifflichen Repräsentationen

Prädikative oder funktionale Lösung? ? (Schwank 1998)

Lösung Prädikative oder funktionale Lösung??? ANTWORT: Beide Denkweisen sind möglich!

Teil 2: Die „etwas andere Aufgabe“ nach HERGET

Die Genese der „etwas anderen Aufgabe“ Die Genese der „etwas anderen Aufgabe“ Eigentliches Ziel des Mathematikunterrichts: „ein richtiges, ausgewogenes Bild von Mathematik zu vermitteln und dabei nicht nur den Umgang mit Mathematik zuüben…“ (Herget 1991, 147) Entwicklung von neuen Aufgabentypen als eine Variable zur Qualitätsverbesserung des Mathematikunterrichts Verschiebung der Schwerpunkte im Unterricht: „weniger Einüben von Rechentechniken, sondern stärkere Betonung eher schöpferischer Fähigkeiten.“ (Herget 1991)

Aufgabentypen der „etwas anderen Aufgabe“ Typ 1: Aufgaben, die von den Schülern eine geschickte Übersetzung von außermathematischen Anwendungssituationen in ein passendes Modell erfordern Typ 2: Aufgaben, zu deren Lösung die Schüler mathematische Begriffe und Verfahren kreativ entwickeln und sachgerecht beurteilen müssen Divergente Aufgaben und mathematischer Aufsatz als Aufgabenformat

Eine „etwas andere Aufgabe“: Gibt es einen Kreis, bei dem der Zahlenwert des in cm² gemessenen Flächeninhalts genau so groß ist wie der Zahlenwert des in cm gemessenen Umfangs? Gib gegebenenfalls den Radius an oder begründe, weshalb ein solcher Kreis nicht existiert. Frage: Worin besteht der didaktische Kern dieser Aufgabe?

Worum geht es bei dieser „etwas anderen Aufgabe“? Basiswissen als Grundlage für......verständnisvolles Weiterlernen,...verstehendes Einordnen,...Wiedererkennen und...Problemlösen Quelle: BARZEL, BRUDER, HERGET, HOFE, JAHNKE, MALLE & WEIGAND: Mathematik lehren. Zeitschrift für den Unterricht in allen Schulstufen. Friedrich Verlag 2004, S.66

Übrigens: Die Wahl der richtigen Formel ist nicht selbstverständlich!

Ist die kognitionsorientierte Aufgabe mehr als die „etwas andere Aufgabe“???

Zur Erinnerung: Kognitive Mathematik prädikatives& Denken funktionales Fassen von Strukturen und Begriffen in Form von Prädikaten / Relationen zwischen verschiedenen (mathematischen) Gegenständen Fassen von Strukturen und Begriffen in Form von Funktionen / Operationen zwischen verschiedenen (mathematischen) Gegenständen Denken in Beziehungen Ausbau einer statisch greifenden internen begrifflichen Repräsentationen Denken in Wirkungsweisen Ausbau einer dynamisch greifenden internen begrifflichen Repräsentationen

Station 7: Resümee

Was zählt beim Lernen wirklich? Schnelligkeit und Fehlerlosigkeit bei der Anwendung fachlicher Algorithmen zählen NICHT, sondern… Intensität und Eigenständigkeit beim Einsatz persönlicher Kompetenzen das Ringen mit Entscheidungen, die zu treffen sind, wenn man ein Objekt fachlich und kompetent behandeln will die Fähigkeit der Einfühlung und Einordnung die Fähigkeit, Abstand zu gewinnen und Widerspruch anzumelden

Prämissen bei dialogischen Unterricht  wirksame Instruktion entspringt und mündet im Zuhören  Motivation entsteht und entwickelt sich mit der Erfahrung, etwas ausrichten zu können und Fortschritte zu machen  Lernen bedeutet Umbau und Erweiterung, nicht Neubau  Ohne Erfolg keine Anstrengung – ohne Anstrengung kein Erfolg

Kompromissbeispiel Beispiel: Forschungsheft FORSCHUNGSHEFT Max Mustermann Klasse 8s

Vereinbarung der Form: Gliederung im Forschungsheft: Datum Thema Arbeitsauftrag Lösungsversuche Ergebnis/Auswertung Was alles im Forschungsheft stehen kann: Was ich herausfinden will Welche Ideen ich habe Wie ich vorgehen will Was ich versucht habe Was ich herausgefunden habe Welche Fehler ich erkannt habe

Beispiel:

ENDE