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Kapitel 3 Lineare Regression: Schätzverfahren. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR.

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1 Kapitel 3 Lineare Regression: Schätzverfahren

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Einkommen und Konsum, Forts. PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Konsumfunktion AWM-Datenbasis C: Privater Konsum (PCR) Y: Verfügbares Einkommen der Haushalte (PYR) OLS-Schätzer: bei einfacher Regression Anstieg Interzept bei multipler Regression Y t = x t + u t b = (XX) -1 Xy

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 OLS-Schätzer OLS-Schätzer b des k-Vektors von ergab sich zu OLS-Schätzer sind Linearkombinationen der Y t, somit Zufallsvariable

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer b für Parameter ist erwartungstreu, wenn E{b} = Effizienz: Schätzer b für Parameter ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; b ist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist Konsistenz: Schätzer b n für Parameter ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von b n für n-> im Punkt kollabiert

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 OLS-Schätzer: Erwartungstreue OLS-Schätzer sind Linearkombinationen der Y t, somit Zufallsvariable Seien Elemente der Matrix X der Regressoren nicht- stochastische (fixe) Größen; dann gilt wegen E{u} = 0. Die OLS-Schätzer sind erwartungstreu: E{b} = Die Verteilung der u t muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt.

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Varianz der OLS-Schätzer wegen Var{a+Au} = A Var(u) A, wenn Var(u) = 2 I vorausgesetzt wird.

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Beispiel: Einfache Regression Y t = + X t + u t Dafür ergibt sich Die Varianzen sind

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 EViews: Standard-Output Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:06 Sample(adjusted): 1971:1 2003:4 Included observations: 132 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 OLS-Schätzer: Effizienz Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern Achtung! Die Annahme Var(u) = 2 I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Gauss-Markov Theorem Sei b* = Cy ein erwartungstreuer Schätzer: b* CX +Cu CX also gilt: CX=I; wir erhalten Var{b*} = Var{CX +Cu} = C 2 IC = CC 2 Sei C = (XX) -1 X+D; wegen CX=I gilt DX=0; wir erhalten CC = (XX) -1 +DD und CC - (XX) -1 0 b hat minimale Varianz

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 OLS-Schätzer: Konsistenz hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{b n } = für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (X n X n /n)

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Beispiel: Einfache Regression Y t = + X t + u t Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss X t 2 /n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten!

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 ML-Schätzer Annahme: normalverteilte Störgrößen, u ~ N(0, 2 I) Dichtefunktion der Beobachtungen (X 1,Y 1 ), …, (X n,Y n ) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 ML-Schätzer, Forts. Ableitungen: Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für sind identisch mit OLS-Schätzern (wenn Störgrößen normalverteilt sind)

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für erwartungstreu effizient konsistent Schätzer für 2 nicht erwartungstreu! konsistent

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 OLS-Schätzer: Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt OLS- und ML-Schätzer für sind ident; daher sind auch die OLS- Schätzer asymptotisch normalverteilt Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Konfidenzintervall für Y t = + X t + u t 95%-iges Konfidenzintervall für : b ± 2 s b mit Beispiel: AWM-Konsumfunktion 95%-iges KI für : ± 0.092; oder


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