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Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer.

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Präsentation zum Thema: "Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer."—  Präsentation transkript:

1 Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

2 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

3 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.

4 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See: ist M-L-Schätzer !

5 Likelihood-Funktion

6 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

7 Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

8 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

9 Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

10 Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

11 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

12 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

13 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

14 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

15 Übersicht

16 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

17 Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

18 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

19 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

20 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

21 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

22 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

23 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

24 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu

25 Äpfeln Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet


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