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III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle.

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1 III. Induktive Statistik 1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle 3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

2 Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen Teil I Teil III Wahrscheinlich- keitstheorie Teil II

3 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

4 Die hypergeometrische Verteilung Notation

5 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurück- gegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.

6 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:

7 Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

8 Schätzproblem Schätzer

9 Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung

10 Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung E g

11 Stichprobe (diskreter Fall)

12 Mathematischer Rahmen

13 Stichprobenfunktionen

14 SonntagseinsätzeFeuerwache

15

16 Stichproben (stetiger Fall)

17 Mathematischer Rahmen

18 Statistische Struktur diskret stetig

19 Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

20 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

21 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurück- gegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.

22 ist M-L-Schätzer !

23 Likelihood-Funktion

24 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

25 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

26 Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

27 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung x

28 Maximum-Likelihood-Schätzer (diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

29 Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson- verteilter Stichprobenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

30 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

31 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

32 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

33 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

34 Übersicht

35 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

36 Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

37 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

38 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

39 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

40 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

41 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

42 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

43 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu


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