III. Induktive Statistik

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1 III. Induktive Statistik
1. Schätztheorie 1.1. Grundbegriffe, Stichproben 1.2. Maximum-Likelihood-Schätzer 1.3. Erwartungstreue Schätzer 1.4. Konfidenzintervalle 1.5. Spezialfall Binomial-Verteilung 2. Spezialfall Normalverteilung 2.1. Student- und Chi-Quadrat-Verteilung 2.2. Konfidenzintervalle 3. Tests 3.1. Grundbergriffe 3.2. Tests einfacher Hypothesen (Neyman-Pearson-Test) 3.3. Tests zusammengesetzter Hypothesen 3.4. Vergleich zweier unabhängiger Stichproben 3.5. Chi-Quadrat-Tests 3.6. Kolmogorov-Smirnov-Test 3.7. Einfache Varianzanalyse

2 Wahrscheinlich- keitstheorie Beschreibende Statistik
(= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Teil I Wahrscheinlich- keitstheorie Teil II Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen Teil III

3 Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

4 Die hypergeometrische Verteilung
Notation

5 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg
N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurück- gegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.

6 Schätzung für die Gesamtzahl
der Fische im See:

7 Statistische Struktur
(diskreter Fall) Dabei sind:

8 Schätzproblem Schätzer

9 (mögliche Beobachtungen)
Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell Θ

10 (mögliche Beobachtungen)
Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Ω Beobachtung (Stichprobe) Schätzung Modell g Θ E

11 Stichprobe (diskreter Fall)

12 Mathematischer Rahmen

13 Stichprobenfunktionen

14 Sonntagseinsätze Feuerwache

15

16 Stichproben (stetiger Fall)

17 Mathematischer Rahmen

18 Statistische Struktur
diskret stetig

19 Maximum-Likelihood-Schätzer
(diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

20 ist die beste Erklärung
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung 

21 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg
N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurück- gegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fängt m Fische. Von diesen seien k markiert.

22 ist M-L-Schätzer !

23 Likelihood-Funktion

24 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

25 Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

26 Maximum-Likelihood-Schätzer
(stetiger Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

27 ist die beste Erklärung
Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung x

28 Maximum-Likelihood-Schätzer
(diskreter Fall) Likelihood-Funktion M-L-Schätzer mit oder

29 Beispiel Poisson-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Poisson- verteilter Stichprobenvariablen (Intensität:  ) M-L-Schätzer für  oder

30 Beispiel Bernoulli-Verteilung
Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

31 M-L-Schätzer Erwarungswert
Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwarungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

32 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  bekannt

33 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz  unbekannt

34 Übersicht

35 Beispiel Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange
aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

36 Erwartungstreue Schätzer
Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index  , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter  genommen wird.

37 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X
Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

38 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert bekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

39 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X
Erwartungswert unbekannt Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

40 Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert
Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: ist erwartungstreu

41 Erwartungstreuer Schätzer
Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz  bekannt ist erwartungstreu

42 Erwartungstreuer Schätzer
Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz  unbekannt ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

43 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu