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Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 1 Eigenschaften der OLS-Schätzer a Erinnerung: OLS-Schätzer a und b werden anhand der Zufallsvariable.

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1 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 1 Eigenschaften der OLS-Schätzer a Erinnerung: OLS-Schätzer a und b werden anhand der Zufallsvariable y ermittelt (Ann.: u und y normalverteilt) a und b sind ebenfalls Zufallsvariablen und unterliegen dann ebenfalls Normalverteilung mit Erwartungswert und Varianz Was sagen Erwartungswert und Varianz von a und b aus? Man kann zeigen, dass E(a) = und E(b) = ß, d.h. dass die OLS-Schätzer erwartungstreu (unverzerrt) sind, was bedeutet, dass der Durchschnittswert der Schätzer beim wahren Wert und liegt

2 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 2 Eigenschaften der OLS-Schätzer Systematische Unterschätzung (biased estimator), wobei der wahre Wert und b der Schätzer sind Wahrscheinlichkeit b Verteilung des Schätzers b Erwartungstreuer OLS-Schätzer (unbiased estimator) bb Wahrscheinlichkeit b

3 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 3 Eigenschaften der OLS-Schätzer Wahrscheinlichkeit b bb Inefficient Estimator Weiterhin kann man zeigen, dass gilt: Der OLS-Schätzer ist ein effizienter Schätzer = varianzminimaler Schätzer Efficient Estimator Quelle: Pindyck; Rubinfeld

4 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 4 Gauss-Markov Theorem (BLUE) Unter OLS-Annahmen sind OLS-Schätzer a und b beste, lineare, unverzerrte Schätzer Best: Minimum-Varianz = effizienter Schätzer Linear: a und b sind Linearkombinationen aus x und y Unbiased:unverzerrt E(B) = ß, E(a) = Estimator:Schätzer

5 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 5 4. Sitzung: Hypothesentest Schätzgleichung : y= + ßx+u Wahre Parameter und ß sind unbekannt, wie kann von Schätzwerten a und b auf wahre Parameter geschlossen werden? H 0 : Nullhypothese H 1 : Alternativhypothese H 0 : ß = ß 0 H 1 : ß ß 0 ß 0 kann hierbei beliebigen Wert annehmen (wichtiger Fall: ß 0 = 0)

6 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 6 Type I Error ( -Fehler) Definition:Wahre Nullhypothese wird verworfen. Die Wahrscheinlichkeit P für diesen Fehler soll üblicherweise minimiert werden. Beispiel: P = 0,05 Gesucht: Verteilung für Schätzer b unter der Annahme, dass Nullhypothese wahr ist, also ß = ß 0 b normalverteilt, bei bekannter Varianz Var(b) kann b derart normiert werden, so dass auf tabellierte Standard-Normalverteilung N(0,1) zurückgegriffen werden kann Problem: Var(b) nicht bekannt, sondern muss geschätzt werden!

7 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 7 t-Test (zweiseitig oder two-tailed) Man kann zeigen, dass folgender Ausdruck t-(oder student)-verteilt ist: wobei s.e.(b) = geschätzte Standardabweichung vom Schätzer b Wie kommen Werte t 0,025 = - 2 und t 0,975 = 2 zustande? Quantile hängen normalerweise von der Anzahl der Beobachtungen und der erklärenden Variablen ab: -2 und 2 gelten approximativ für großes n (Stichprobengröße). Faustregel: H 0 wird abgelehnt, wenn | t | > 2. t

8 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 8 t-Test (zweiseitig oder two-tailed) Intuition: bedeutet, dass Differenz zwischen Schätzwert b und ß 0 relativ groß ist, je größer diese Differenz, desto eher wird natürlich H 0 abgelehnt s.e.(b), d.h. geschätzte Standardabweichung von b relativ klein ist: Je genauer der Schätzwert b, desto weniger wird Abweichung zwischen b und ß 0 toleriert und desto eher wird H 0 abgelehnt t

9 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 9 t-Test Beispiel: H 0 : ß = 0 H 1 : ß 0 Dieser Wert wird üblicherweise von Standard-Statistik-Software im Regressionsoutput automatisch ausgegeben. H 0 (Schulbildung hat keinen Einfluss auf Lohn) wird abgelehnt

10 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung Sitzung: Hypothesentest

11 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 11 t-Test Anderes Beispiel: H 0 : = 1 H 1 : 1 H 0 wird nicht verworfen

12 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 12 Type I Error ( -Fehler) Definition:Wahre Nullhypothese wird verworfen. Intuition:Je geringer das Signifikanzniveau, desto unwahrscheinlicher ist das Risiko eines Typ I Fehlers. Also ist z.B ein 0.1%-iges Signifikanzniveau sicherer in bezug auf den Typ I Fehler. Interpretation für ß 0 = 0: Wenn wahres ß = 0 ist, dann wird mit nur 0,1%-iger Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise geschlossen, dass ß von Null verschieden ist

13 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 13 Signifikanzniveau Intuition:Je geringer das Signifikanzniveau, desto höher ist die Hürde, die Nullhypothese zu verwerfen. 0.1%Extrem hohe Hürde 1%Verschärfung 5%Standard Signifikanzniveau - Wahrscheinlichkeit

14 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 14 Type II Error ( -Fehler) Definition:Falsche Nullhypothese wird nicht verworfen. Intuition:Je geringer das Signifikanzniveau, desto wahrscheinlicher ist das Risiko eines Typ II Fehlers, weil die Anforderungen an das Verwerfen der Nullhypothese steigen. trade-off zwischen Typ I und Typ II Fehler Graphische Intuition: je geringer das Signifikanzniveau, desto größer ist die Akzeptanzregion für die Nullhypothese, desto wahrscheinlicher ist ein Typ II Fehler Quelle: Pindyck, Rubinfeld t

15 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 15 Einseitiger Test (one-tailed test) Hypothesen: H 0 : ß ) ß 0 H 1 : ß > (<) ß 0 Faustregel: H 0 : ß < ß 0 wird abgelehnt, wenn (siehe Grafik) H 0 : ß >ß 0 wird abgelehnt, wenn Quelle: Pindyck, Rubinfeld t

16 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 16 Einseitiger Test (one-tailed test) z.B. Hypothese: H 0 : ß < 0 H 1 : ß > 0 Ökonomische Begründung:negative Werte des Regressionskoeffizienten machen ökonomisch keinen Sinn. Vorteil:Bei gleichem Signifikanzniveau sinkt der kritische Wert t crit. Das heißt, die Nullhypothese wird eher verworfen als bei einem zweiseitigem Test. Achtung:Das Risiko eines Typ I Fehlers bleibt gleich, nämlich 5%, weil das Signifikanzniveau unverändert bleibt. Aber das Risiko eines Typ II Fehlers sinkt, weil die Nullhypothese eher verworfen wird als beim two-tailed test. Quelle: Pindyck, Rubinfeld t

17 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 17 Konfidenzintervall Konfidenzintervall : Gegenstück zum Hypothesentest P [-2 < t < 2] = P [-2 < < 2] = 0.95 P [b - 2· s.e.(b) < ß 0 < b + 2 ·s.e.(b)] = 0.95 t t

18 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 18 Berechnung des Konfidenzintervalls untere Grenze: obere Grenze: Bei Signifikanzniveau von 5%: Konfidenzintervall: [0,060 ; 0,092] Wert ß 0 = 0 nicht enthalten

19 Alexander Spermann Universität Freiburg 3. Sitzung 19 Konfidenzintervall Das Konfidenzintervall ist durch das gewählte Signifikanzniveau festgelegt. Beispiel: Die Endpunkte des Konfidenzintervalls werden durch den Schätzer b und seine Standardabweichung bestimmt untere und obere Konfidenzintervallgrenzen sind Zufallsvariablen Richtige Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Konfidenzintervall den wahren Wert 0 enthält, ist 95 %. Falsche Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit ist 95 %, dass der wahre Wert in diesem Intervall liegt. Nein, diese Wahrscheinlichkeit ist entweder 0 oder 1. 99,9 %0,1 % 99 %1 % 95 %5 % Signifikanzniveau Konfidenzintervall P 1- P


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