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Kapitel 15 Instrumentvariablen- Schätzung. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Der Sachverhalt t-te Realisation des Modell y = X + u (Ordnung von X:

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1 Kapitel 15 Instrumentvariablen- Schätzung

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Der Sachverhalt t-te Realisation des Modell y = X + u (Ordnung von X: n x k) wird geschrieben als Y t = x t + u t Annahme A4: Die Regressoren X i, i = 2,…,k sind exogen d.h., dass alle X ti für alle t unkorreliert sind mit der aktuellen Störgröße u t (keine kontemporäre Korrelation) und mit allen vergangenen und künftigen u s, s t (keine intertemporäre Korrelation) In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; siehe die folgenden Beispiele

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Beispiel: Konsumfunktion C = β 1 + β 2 Y + u Y: Einkommen mit Komponenten Konsum Investitionen Ausgaben der Öffentlichen Hand etc. Y = C + R (R umfasst alle Einkommenskomponenten außer Konsum) Cov{Y,u} = Cov{C,u} + Cov{R,u} = Cov{(β 1 + β 2 Y + u),u} = β 2 Cov{Y,u} + σ 2 wenn R mit u unkorreliert ist; Y und u sind kontemporär korreliert

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Beispiel: Regressor mit Messfehler Y = β 1 + β 2 X + u Wenn Regressor X nur mit Messfehler beobachtet werden kann: X* = X + ε mit Weißem Rauschen ε mit Varianz σ e 2 Statt Y = β 1 + β 2 X + u wird analysiert Y = β 1 + β 2 X* + v mit v = u + β 2 ε; es gilt Cov{X*,v} = Cov{X*,u} - β 2 Cov{X*, ε} 0 tatsächlich verwendeter Regressor X* ist mit der effektiven Störgröße v kontemporär korreliert

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Beispiel: Dynamische Regression Y wird durch eigene Vergangenheit beschrieben: Y t = α + φY t-1 + u t Y t-1 ist unkorreliert mit u t keine kontemporäre, aber intertemporäre Korrelation: Y t-1 ist mit u t-1 korreliert wenn u kein Weißes Rauschen ist, sondern eine Abhängigkeitsstruktur hat, z.B. ein AR(1)-Prozess, ist Y t-1 auch mit u t-1 korreliert: ein Fall von kontemporärer und intertemporärer Korrelation

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Beispiel: Mehrgleichungs-Modell Ökonomische Phänomene werden meist durch das Verhalten von mehr als nur einer abhängigen Variablen charakterisiert. Zur Beschreibung werden mehr als eine Modellgleichung – mit je einer Störgröße – benötigt Typischerweise sind die Störgröße der verschiedenen Gleichungen kontemporär korreliert werden abhängige Variable als Regressoren verwendet Daher gibt es typischerweise Regressoren, die mit den Störgröße korreliert sind Enthält das Modell auch dynamische Komponenten: kontemporäre Korrelation

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Fragestellungen Annahme A4: Die Regressoren X i, i = 2,…,k sind exogen Wenn die Annahme A4 nicht zutrifft: Was sind die Konsequenzen Wie kann herausgefunden werden, dass die Annahme A4 verletzt ist? Wie können nachteilige Konsequenzen vermieden werden? Instrumentvariablen-Schätzung, ist ein Verfahren zum Vermeiden der Konsequenzen von nicht zutreffender Exogenität

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Nicht-exogene Regressoren: Konsequenzen Modell y = Xβ+ u mit Weißem Rauschen u OLS-Schätzer b = β + (XX) -1 Xu E{b} = β + E{(XX) -1 Xu} Bei zutreffender Annahme 4 ist E{(XX) -1 Xu} ein Null-Vektor Trifft Annahme 4 nicht zu, dann ist E{(XX) -1 Xu} von einem Null-Vektor verschieden, OLS-Schätzer b sind verzerrt Bias von b beträgt E{(XX) -1 Xu}; seine Komponenten sind schwer abzuschätzen

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Nicht-exogene Regressoren: Konsequenzen, Forts. Asymptotisches Verhalten: Annahme A3 sei erfüllt: plim (n -1 XX) -1 = Q, mit nicht-singulärer Matrix Q plim{b} = β + plim(n -1 XX) -1 plim(n -1 Xu) Konsistenz hängt ab von Vektor q = plim(n -1 Xu): Gilt q = 0 (sind Regressoren X und u asymptotisch unkorreliert): sind OLS-Schätzer b auch bei nicht-exogenen Regressoren konsistent Gilt q 0 (sind die Störgrößen mit mindestens einem Regressor asymptotisch korreliert): plim{b} β, die OLS-Schätzer b sind nicht konsistent

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Nicht-exogene Regressoren: Konsequenzen, Forts. Trifft die Annahme A4 nicht zu: es muss mit verzerrten OLS-Schätzern gerechnet werden der Bias ist auch bei großem Umfang der verfügbaren Daten nur dann vernachlässigbar, wenn die Korrelation zwischen den Regressoren und den Störgrößen asymptotisch gegen Null geht

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Konsumfunktion Daten: Jahresdifferenzen der logarithmierten Zeitreihen PCR (Privater Konsum) und PYR (Verfügbares Einkommen der Haushalte) aus der AWM-Datenbasis (1970:1 bis 2003:4) Angepasstes Modell Ĉ = Y mit t = 15.55, R 2 = 0.65, DW = 0.50 Achtung! Das Einkommen Y in C = β 1 + β 2 Y + u ist wegen Y = C + R (R umfasst alle Einkommenskomponenten außer Konsum) möglicherweise mit den Störgrößen korreliert

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Konsumfunktion, Forts. Alternativer Regressor: Anstelle Y t wird das Einkommen Y t-1 der Vorperiode verwendet Y t-1 und u t sind mit Sicherheit unkorreliert: Die beiden Größen werden in unterschiedlichen Perioden realisiert Y t-1 wird mit Y t sicherlich sehr hoch korreliert sein, ist ein fast so guter Regressor wie Y t Angepasstes Modell Ĉ = Y -1 mit t = 12.86, R 2 = 0.56, DW = 0.79 Verschlechterungen von t und R 2 sind Preis für mögliche Verbesserung des Schätzers

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 IV-Schätzer: Die Idee Instrumentvariablen-Schätzer (IV-Schätzer): Ersetzen von mit den Störgrößen korrelierten Regressoren durch andere Regressoren, die mit den Störgrößen nicht korreliert sind mit den zu ersetzenden Regressoren hoch korreliert sind (andernfalls werden sie nicht zur Erklärung beitragen) Man hofft, dass der IV-Schätzer nicht oder weniger verzerrt ist als der OLS-Schätzer Preis: schlechtere Modellanpassung (z.B. t –Statistiken, R 2 )

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 Instrumente Modell y = Xβ+ u mit Weißem Rauschen u, X: n x k Matrix W: n x k Matrix mit k erzeugenden Variablen oder Instrumenten; Eigenschaften: 1.plim(n -1 Wu) = 0 2.plim(n -1 WX) = Q wx, r(Q wx ) = k 3.plim(n -1 WW) = Q w, r(Q w ) = k D.h., die Variablen aus W sind 1.asymptotisch unkorreliert mit u, 2.asymptotisch korreliert mit den Regressoren in X; 3.für Variablen aus W gilt eine Bedingung analog zu Annahme A3 für X

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 IV-Schätzer: Notation Instrumentvariablen-Schätzer (IV-Schätzer): Ersetzen von mit den Störgrößen korrelierten Regressoren durch andere Regressoren, die mit den Störgrößen nicht korreliert sind mit den zu ersetzenden Regressoren hoch korreliert sind (andernfalls werden sie nicht zur Erklärung beitragen) Man hofft, dass der IV-Schätzer nicht oder weniger verzerrt ist als der OLS-Schätzer Preis: schlechtere Modellanpassung (z.B. t –Statistiken, R 2 )

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 IV-Schätzer auch Instrumentvariablen- oder Hilfsvariablen-Schätzer für β aus y = Xβ + u mit Weißem Rauschen u: Verallgemeinerter IV-Schätzer (GIV-Schätzer) Matrix W der Instrumente hat Ordnung n x p, p k OLS-Schätzer für X aus Regression der Spalten von X auf W: mit Projektionsmatrix P w GIV-Schätzer GIV- und IV-Schätzer sind ident, wenn p = k

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 IV-Schätzer: Eigenschaften IV-Schätzer sind konsistent Kovarianzmatrix ist bei großem n näherungsweise die geschätzte Varianz der Störgrößen wird bestimmt auf Basis der IV-Residuen IV-Schätzer sind nicht effizient IV-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt; bei großem n ist die näherungsweise Verteilung

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 IV-Schätzer: Berechnung 2-stufiges Verfahren 1.Berechnung der Instrumente durch Regression jeder Spalte aus X auf W 2.Regression von y auf gibt die GIV- oder IV-Schätzer durch OLS-Anpassung Voraussetzung ist, dass der Rang p von W mindestens den Wert k hat (Ordnungsbedingung) Konstruktion von W: Wahl (1) Instrumente für jeden nicht-exogenen Regressor Ergänzen der Spalten von X mit exogenen Regressoren

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 IV-Residuen Definiert als Davon zu unterscheiden sind die Residuen der 2. Stufe zum Berechnen der IV-Schätzer: Achtung! Zum Beurteilen der Modellanpassung (t-Statistik, R 2, etc.) sind die IV-Residuen zu verwenden!

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 Konsumfunktion, Forts. Das Ausgangs-Modell ist Ĉ = Y mit t = 15.55, R 2 = 0.65, DW = 0.50; alternativ erhält man Ĉ = Y -1 mit t = 12.86, R 2 = 0.56, DW = Mit dem Instrument Y -1 ergibt sich (erste Stufe) Ŷ = Y -1 mit t = 22.62, R 2 = 0.80, DW = 2.03 Die zweite Stufe gibt Ĉ = Ŷ mit t = 14.22, R 2 = 0.64, DW = 0.51; diese Statistiken ergeben sich nicht bei OLS-Anpassung dieses Modells!

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 21 Praxis der IV-Schätzung Welche Instrumente sollen gewählt werden? Variable, welche die ökonomische Theorie nahe legt die verzögerte, abhängige Variable Y -1, wenn die Störgrößen nicht seriell korreliert sind an Stelle einer bestimmten Variablen die Ränge ihrer nach steigenden Werten sortierten Beobachtungen oder die Variable mit dem Wert -1 für Beobachtungen mit Werten kleiner als der Median und mit +1 für Werte größer als der Median Preis für die Konsistenz des IV-Schätzers ist seine geringere Effizienz

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 22 Bewertung von Regressoren Tests zum Beurteilen der Voraussetzungen der IV-Schätzung Hausman-Wu-Test: zum Prüfen der Exogenität von Regressoren Sargan-Test: zum Prüfen der Eignung von Variablen als Instrumente

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 23 Hausman-Wu-Test Im Modell y = Y 1 α + Zβ + u mit Weißem Rauschen u soll geprüft werden, ob die r Regressoren aus Y 1 exogen sind (H 0 ) Teststatistik: mit S 0 : Summe der quadrierten OLS-Residuen S 1 : Summe der quadrierten IV-Residuen der Regression, bei der das Modell um die Spalten der Hilfsvariablen Ŷ 1 erweitert ist Unter H 0 folgt T HW näherungsweise der χ 2 (r)-Verteilung

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 24 Konsumfunktion, Forts. Das Ausgangs-Modell ist Ĉ = Y mit t = 15.55, R 2 = 0.65, DW = 0.50; die Summe der quadrierten Residuen ist S 0 = und die geschätzte Varianz der Störgrößen ist Das Erweitern des Modells um die Instrumentvariable Ŷ aus Ŷ = Y -1 gibt Ĉ = Y Ŷ mit S 1 = Hausman-Wu-Test T HW = ( )/ = 2.32 der p-Wert beträgt 0.13; Y kann als exogen angesehen werden

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 25 Sargan-Test Damit kann überprüft werden, ob die Variablen aus W mit den Störgrößen (asymptotisch) unkorreliert mit den nicht-exogenen Regressoren (asymptotisch) korreliert sind Teststatistik: mit der Projektionsmatrix P w = W(W W) -1 W; unter H 0 folgt T S näherungsweise der χ 2 (p-k)-Verteilung


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