Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird verlegt. Der Nachholtermin wird noch bekannt gegeben.

Präsentation zum Thema: "Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird verlegt. Der Nachholtermin wird noch bekannt gegeben."—  Präsentation transkript:

1 Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird verlegt. Der Nachholtermin wird noch bekannt gegeben.

2 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

3 Die hypergeometrische Verteilung Notation

4 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

5 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See:

6 http://www.math-inf.uni-greifswald.de/algebra/

7 Statistische Struktur (diskreter Fall) Dabei sind:

8 Schätzproblem Schätzer

9 Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung

10 Ω Θ Modell Beobachtung (Stichprobe) Grundgesamtheit (mögliche Beobachtungen) Schätzung E g

11 Stichprobe (diskreter Fall)

12 Mathematischer Rahmen

13 Stichprobenfunktionen (Beispiele)

14 Stichprobenfunktionen Beispiel Taxifahrer

15 SonntagseinsätzeFeuerwache

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17 Mittlerer quadratischer Fehler Gegeben sind: Statistische Struktur Schätzproblem Als mittleren quadratischen Fehler bezeichnet man die Größe Schätzer

18 Feuerwache Angepasste Poisson-Verteilungen

19 Stichproben (stetiger Fall)

20 Mathematischer Rahmen

21 Statistische Struktur diskret stetig

22

23 Maximum-Likelihood-Schätzer ( diskreter Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

24 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

25 Schätzung der Zahl der Fische in einem See in Mecklenburg N Fische werden gefangen und markiert Die Fische werden in den See zurückgegeben. Man wartet, bis die markierten Fische sich (möglichst gleichmäßig) im See verteilt haben. Man geht erneut auf Fischzug und fäng m Fische. Von diesen seien k markiert.

26 Schätzung für die Gesamtzahl der Fische im See: ist M-L-Schätzer !

27 Die hypergeometrische Verteilung Notation

28 Likelihood-Funktion

29 Der Logharithmus ln x ist streng monoton wachsend

30 Beispiel Poisson-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Poisson-verteilter Stich- Probenvariablen (Intensität: ) M-L-Schätzer für oder

31 Beispiel Bernoulli-Verteilung Stichprobe vom Umfang n mit Bernoulli- verteilter Stichprobenvariablen (p: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses) M-L-Schätzer für p wieder gegeben durch:

32 Maximum-Likelihood-Schätzer (stetiger Fall) Likelihood-Funktion mit oder M-L-Schätzer

33 Der Parameter ist die beste Erklärung für die Beobachtung

34 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Erwartungswert Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

35 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz bekannt

36 Normalverteilte Stichprobenvariable M-L-Schätzer Varianz unb ekannt

37 Übersicht

38 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

39 Erwartungstreue Schätzer Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll: Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt: Dabei bedeutet der Index, dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

40 Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer:

41 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert bekannt

42 Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X Statistisches Problem gegeben durch: Erwartungstreuer Schätzer: Erwartungswert unbekannt

43 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für den Erwarungswert Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt: erwartungstreu ist erwartungstreu

44 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz bekannt erwartungstreu ist erwartungstreu

45 Normalverteilte Stichprobenvariable Erwartungstreuer Schätzer für die Varianz unb ekannt erwartungstreu ist erwartungstreu Kein M-L-Schätzer!!

46 Übersicht erwartungstreu erwartungstreu erwartungstreu nicht erwartungstreu

47 Statistische Struktur diskret stetig