Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Kapitel 7 Lineare Restriktionen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K, L) = A K L Q: Output (value added) K:

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Kapitel 7 Lineare Restriktionen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K, L) = A K L Q: Output (value added) K:"—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 7 Lineare Restriktionen

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K, L) = A K L Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock) L: geleistete Arbeit (labor input) Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px) = p r f(x) Produktion mit konstanten Skalenerträgen Q(pK, pL) = A (pK) (pL) = p Q(K, L) = p Q(K, L) d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1 Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion) + = 1

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 3 Produktionsfunktion: Daten Nach Hildebrand & Liu (1957), Aigner et al. (1977) LOGQ: log(Q) LOGK: log(K) LOGL: log(L)

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 4 Lineare Restriktionen: Fragen Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine Restriktion, beispielsweise + = 1, zutrifft, wie können wir die Koeffizienten, und, schätzen, so dass auch die Schätzer diese Restriktion erfüllen? Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete Restriktion auch tatsächlich zutrifft?

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 5 Produktionsfunktion, Forts. OLS-Anpassung von Q * = log Q = + log K + log L + u (mit = log A) gibt Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich a + b = = %-iges Konfidenzintervall: Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge!

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 6 Produktionsfunktion, Forts. Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:09 Sample(adjusted): 1 27 Included observations: 27 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C L K R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 7 Lineare Restriktionen: Notation Spezifiziertes Modell: y = X + u g lineare Restriktion: H = h Die Matrix H hat Ordnung g x k, h ist g -Vektor

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 8 Beispiel Die Koeffizienten sollen erfüllen = 0 3 = 1 Matrixform: Hß = h mit

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 9 Beispiel Vergleich von [X: n x (k-g), Z: n x g ] y = X + u und y = X + Z + v Restriktion = 0 oder mit

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 10 Restringierte Schätzer Restringierte Schätzer erfüllen die Restriktionen Methoden: 1. Substitutionsmethode: Berücksichtigen der Restriktionen durch Eliminieren von Regressionskoeffizienten 2. Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion, Minimieren der Lagrange-Funktion

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 11 Produktionsfunktion, Forts. Berücksichtigen der Restriktion + = 1 durch Eliminieren von : Einsetzen von = 1 – gibt Anpassen von Q * = log Q – log L = + (logK-logL) + u Restringierte Schätzer a R = (vergl.: a = 0.376) und b R = = (vergl.: b = 0.603)

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 12 Produktionsfunktion, Forts. Dependent Variable: Q_ST Method: Least Squares Date: 02/03/05 Time: 18:17 Sample(adjusted): 1 27 Included observations: 27 VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C K_ST R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 13 Lagrange-Methode Gesucht sind Schätzer für aus y = X + u mit H = h Minimieren der Lagrange-Funktion liefert die restringierten OLS-Schätzer Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung zwischen dem nicht-restringierten und dem restringierten Schätzer (die Korrektur)!

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 14 Konsequenzen von Restriktionen Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer Schätzer verzerrt Minimale Varianz des Schätzers Überschätzte Varianz der Störgrößen Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer Schätzer unverzerrt Varianz des Schätzers zu groß

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 15 Test von Restriktionen Prüft, ob eine vermutete Restriktion auch zutrifft; Test von H 0 : H = h 1. Waldsche Teststatistik: auf Basis von d = Hb-h mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H 0 sollte einen kleinen Wert haben; unter H 0 gilt näherungsweise: d ~ N[0, 2 H(XX) -1 H] 2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe Kapitel 6: Variablenauswahl und Missspezifikation)

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 16 Wald-Test Test von H 0 : H = h mittels Waldscher Teststatistik Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H 0 näherungsweise (großes n) Wegen kann W auch geschrieben werden als Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g und n-k Freiheitsgraden

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 17 Modellvergleich Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem nicht- restringierten Modell Die F-Verteilung gilt unter H 0 näherungsweise (großes n) Ausführen der Tests: 1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e 2. Berechnung der restringierten Schätzer b R und Ermitteln von S R = e R 'e R 3. Einsetzen in F Waldsche Teststatistik kann man berechnen als W = gF

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 18 Berechnung von W und F Berechnen von 1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e 2. Berechnung der restringierten Schätzer b R und Ermitteln von S R = e R 'e R 3. Einsetzen in F Waldsche Teststatistik wird berechnet nach W = gF Beispiel Produktionsfunktion:

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 19 Asymptotische Tests 1. Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen 2. Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion), an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe bei Null hat 3. Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die sich an der Stelle der restringierten und der nicht-restringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H 0 näherungsweise (großes n) der Chi-Quadrat-Verteilung mit g Freiheitsgraden

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 20 Asymptotische Tests g() = 0: Restriktion logL: Log-likelihood

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 21 Asymptotische Tests: Berechnung 1. Wald-Test: W = gF (siehe oben) 2. Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): R e 2 : Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen e R auf X 3. Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test):

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 22 Lagrange-Multiplier-Test Teststatistik des LM-Tests R e 2 : Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen e R auf X 1. Berechnung der restringierten Schätzer b R und Ermitteln der Residuen e R 2. Regression der Residuen e R auf die Regressoren des nicht- restringierten Problems, Ermitteln von R e 2 3. Einsetzen in LM

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 23 Likelihood-Quotienten-Test Teststatistik des LR-Tests 1. Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von e'e 2. Berechnung der restringierten Schätzer b R und Ermitteln von e R 'e R 3. Einsetzen in LR

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 24 Produktionsfunktion, Forts. Asymptotische Tests von H 0 : + = 1 Wald-Test p-Wert: Lagrange-Multiplier-Test R e 2 = , LM = 27 x = , p-Wert: Likelihood-Quotienten-Test LR = 27 x log( / ) = , p-Wert: 0.812


Herunterladen ppt "Kapitel 7 Lineare Restriktionen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (7) 2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K, L) = A K L Q: Output (value added) K:"

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen