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Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zufallsprozesse Einleitung Stochastische Prozesse Empirische Schätzung stochastischer Prozesse.

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Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zufallsprozesse Einleitung Stochastische Prozesse Empirische Schätzung stochastischer Prozesse."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zufallsprozesse Einleitung Stochastische Prozesse Empirische Schätzung stochastischer Prozesse

2 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Einleitung Bisher: zeitliche Komponente irrelevant Untersuchung dynamischer Systeme benötigt Auswertemodelle, die den Faktor Zeit berücksichtigen Ausgangspunkt: Messwerte in enger zeitlicher Abfolge Zeitreihe Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende Realisierungen sind nicht voneinander unabhängig

3 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastische Prozesse (1) Stochastischer Prozess = Menge von Zufallsgrößen, die durch Parameter geordnet sind: {X(t)} t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater stochastischer Prozess oder stochas- tischer Prozess im engeren Sinne Stochastische Prozesse mit räumlicher Struktur: Geostatistik

4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

5 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastische Prozesse (2) Sind theoretische Größen ähnlich Grundgesamtheit Können zu jedem Zeitpunkt unendlich viele Werte annehmen Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche Menge davon beobachtet werden Stichprobe = Zeitreihe Registrierte Messungen bilden Funktion des Parameters t – eine Realisierung

6 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastische Prozesse (3) Mehrere Messwerte je Zeitpunkt: verschiedene Realisierungen Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller Realisierungen In der Praxis notwendig: Konstante Schrittweite t Fehlende Daten: Interpolation Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von Realisierungen (>50)

7 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastische Prozesse (4) Modellierung meist kontinuierlich Vereinfacht graphische Darstellung Hinweis darauf, dass beobachtetes Phänomen auch zwischen den Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat

8 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Parameter Erwartungswert Varianz Kovarianz Korrelation

9 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Erwartungswert Messwerte zum Zeitpunkt t i : Realisierungen einer Zufallsgröße X i Somit Erwartungswert definiert Erwartungswert des Prozesses: Wert an der Stelle t i : Definiert eine mittlere Funktion – i.A. keine Gerade

10 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianz Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von X i Diagramm mit Mittelwert und Standard- abweichungen gibt das Streuungsband

11 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kovarianzfunktion Stochastischer Prozess zu den Zeit- punkten t 1 und t 2 : Zufallsgrößen X(t 1 ) und X(t 2 ) Lineare stochastische Abhängigkeit 2-dimensionale Autokovarianzfunktion

12 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Korrelationsfunktion Normierung der Autokovarianzfunktion Korrelation der Zufallsgrößen zu verschie- denen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell abfallend: short memory-Effekt

13 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation Betrachtung zweier Prozesse, neuer zwei- dimensionaler Prozess Kreuzkovarianzfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Informationen über Wechselbeziehungen zweier Prozesse

14 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stationäre Prozesse (1) Verteilungsparameter invariant gegenüber zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess Gültig für alle Parameter: starke Stationarität Nur Erwartungswert und Varianz: schwache Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von Zeitdifferenz abhängig Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren, Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme unter konstanten Bedingungen

15 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stationäre Prozesse (2) Möglicher Grund für Instationarität: Trend (unperiodische zeitliche Veränderung) oder periodische Komponente Trend und Periode sind deterministische Größen – oft aus physikalischen Modellen bestimmt – entspricht Signal

16 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Prüfung auf Instationarität Möglichkeiten: –Zufallskriterium von Cornu mit –Kriterium von Abbe frei von syst. Einflüssen bei A/B=2 Prüfung auf systematische Einflüsse In der Praxis oft nur Augenschein

17 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gaußsche/Ergodische Prozesse Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind normalverteilt – die ersten beiden Momente reichen zur Beschreibung aus keine Unterscheidung zwischen starker und schwacher Stationarität nötig Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung für die Beschreibung ausreicht: –Erwartungswert und Varianz konstant –Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz abhängig –Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung ableitbar

18 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Empirische Schätzung (1) Allgemeiner stochastischer Prozess (1) Voraussetzung: Hinreichend große Anzahl n unabhängiger Realisierungen Wahl des Anfangspunktes t 0 = 0, davon gleich lange Intervalle t abgetragen In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte Annäherung der Werte durch geeignete Funktion Mittelwertfunktion

19 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Empirische Schätzung (2) Allgemeiner stochastischer Prozess (2) Kovarianzfunktion: Schätzwert über mit den Werten der j -ten Realisierung x j Durchläuft t 1, t 2 alle Werte: Reihe von Schätzwerten Annäherung durch ge- eignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion Kreuzkovarianzfunktion analog

20 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Empirische Schätzung (3) Ergodischer stochastischer Prozess (1) Anfangspunkt t 0 = 0, gleich lange Intervalle t abgetragen Erwartungswert: arithmetisches Mittel der Klassenmittel Autokovarianzfunktion: Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse

21 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Empirische Schätzung (4) Ergodischer stochastischer Prozess (2) Zugehöriger zeitlicher Abstand = k t Gesamter Verlauf der Autokovarianz- funktion: geeignete Funktion durch Stützwerte gelegt Kreuzkovarianzfunktion analog

22 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Empirische Schätzung (5) Ergodischer stochastischer Prozess (3) Stützwerte der Korrelationsfunktion durch Normierung Autokorrelationsfunktion Kreuzkorrelationsfunktion


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