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Ausgleichungsrechnung II

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Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung II"—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung II
Zufallsprozesse Einleitung Stochastische Prozesse Empirische Schätzung stochastischer Prozesse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

2 Ausgleichungsrechnung II
Einleitung Bisher: zeitliche Komponente irrelevant Untersuchung dynamischer Systeme benötigt Auswertemodelle, die den Faktor Zeit berücksichtigen Ausgangspunkt: Messwerte in enger zeitlicher Abfolge  Zeitreihe Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende Realisierungen sind nicht voneinander unabhängig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 Stochastische Prozesse (1)
Stochastischer Prozess = Menge von Zufallsgrößen, die durch Parameter geordnet sind: {X(t)} t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater stochastischer Prozess oder stochas-tischer Prozess im engeren Sinne Stochastische Prozesse mit räumlicher Struktur: Geostatistik Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

4 Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil

5 Stochastische Prozesse (2)
Sind theoretische Größen ähnlich Grundgesamtheit Können zu jedem Zeitpunkt unendlich viele Werte annehmen Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche Menge davon beobachtet werden  Stichprobe = Zeitreihe Registrierte Messungen bilden Funktion des Parameters t – eine Realisierung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

6 Stochastische Prozesse (3)
Mehrere Messwerte je Zeitpunkt: verschiedene Realisierungen Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller Realisierungen In der Praxis notwendig: Konstante Schrittweite Dt Fehlende Daten: Interpolation Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von Realisierungen (>50) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

7 Stochastische Prozesse (4)
Modellierung meist kontinuierlich Vereinfacht graphische Darstellung Hinweis darauf, dass beobachtetes Phänomen auch zwischen den Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

8 Ausgleichungsrechnung II
Parameter Erwartungswert Varianz Kovarianz Korrelation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

9 Ausgleichungsrechnung II
Erwartungswert Messwerte zum Zeitpunkt ti: Realisierungen einer Zufallsgröße Xi Somit Erwartungswert definiert Erwartungswert des Prozesses: Wert an der Stelle ti: Definiert eine mittlere Funktion – i.A. keine Gerade Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

10 Ausgleichungsrechnung II
Varianz Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von Xi Diagramm mit Mittelwert und Standard-abweichungen gibt das Streuungsband Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

11 Ausgleichungsrechnung II
Kovarianzfunktion Stochastischer Prozess zu den Zeit-punkten t1 und t2: Zufallsgrößen X(t1) und X(t2) Lineare stochastische Abhängigkeit 2-dimensionale Autokovarianzfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

12 Korrelationsfunktion
Normierung der Autokovarianzfunktion Korrelation der Zufallsgrößen zu verschie-denen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell abfallend: „short memory“-Effekt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

13 Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation
Betrachtung zweier Prozesse, neuer zwei-dimensionaler Prozess Kreuzkovarianzfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Informationen über Wechselbeziehungen zweier Prozesse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

14 Stationäre Prozesse (1)
Verteilungsparameter invariant gegenüber zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess Gültig für alle Parameter: starke Stationarität Nur Erwartungswert und Varianz: schwache Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von Zeitdifferenz abhängig Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren, Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme unter konstanten Bedingungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

15 Stationäre Prozesse (2)
Möglicher Grund für Instationarität: Trend (unperiodische zeitliche Veränderung) oder periodische Komponente Trend und Periode sind deterministische Größen – oft aus physikalischen Modellen bestimmt – entspricht Signal Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

16 Prüfung auf Instationarität
Möglichkeiten: Zufallskriterium von Cornu mit Kriterium von Abbe frei von syst. Einflüssen bei A/B=2 Prüfung auf systematische Einflüsse In der Praxis oft nur Augenschein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

17 Gaußsche/Ergodische Prozesse
Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind normalverteilt – die ersten beiden Momente reichen zur Beschreibung aus  keine Unterscheidung zwischen starker und schwacher Stationarität nötig Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung für die Beschreibung ausreicht: Erwartungswert und Varianz konstant Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz abhängig Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung ableitbar Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

18 Empirische Schätzung (1)
Allgemeiner stochastischer Prozess (1) Voraussetzung: Hinreichend große Anzahl n unabhängiger Realisierungen Wahl des Anfangspunktes t0 = 0, davon gleich lange Intervalle Dt abgetragen In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte Annäherung der Werte durch geeignete Funktion  Mittelwertfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

19 Empirische Schätzung (2)
Allgemeiner stochastischer Prozess (2) Kovarianzfunktion: Schätzwert über mit den Werten der j-ten Realisierung xj Durchläuft t1, t2 alle Werte: Reihe von Schätzwerten  Annäherung durch ge-eignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion Kreuzkovarianzfunktion analog Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

20 Empirische Schätzung (3)
Ergodischer stochastischer Prozess (1) Anfangspunkt t0 = 0, gleich lange Intervalle Dt abgetragen Erwartungswert: arithmetisches Mittel der Klassenmittel Autokovarianzfunktion: Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

21 Empirische Schätzung (4)
Ergodischer stochastischer Prozess (2) Zugehöriger zeitlicher Abstand t = k Dt Gesamter Verlauf der Autokovarianz-funktion: geeignete Funktion durch Stützwerte gelegt Kreuzkovarianzfunktion analog Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

22 Empirische Schätzung (5)
Ergodischer stochastischer Prozess (3) Stützwerte der Korrelationsfunktion durch Normierung Autokorrelationsfunktion Kreuzkorrelationsfunktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil


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