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Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,

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Präsentation zum Thema: "Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,"—  Präsentation transkript:

1 Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

2 Trendanalyse Zugrundeliegendes Modell (additives Komponentenmodell): Globaler monotoner Trend: "im Mittel wächst X(t) an / fällt ab" => Trend des Mittelwerts (= 1. Moment der Verteilung)

3 Der Mann-Kendall Test Anwendung des Kendall-Tests auf Zeitreihen (d.h., sortiert nach Zeit, ohne doppelte Einträge) => Trendtest: Für die H 0 -Hypothese (= "es gibt keinen Trend") gilt dann: => normalverteilt => Ableitung der Testgröße: Abweichung der beobachteten (normierten) S von den laut H 0 erwarteten

4 beachte: Korrektur für verbundene Ränge (Ranggleichheit) notwendig => statt wobei t j = Anzahl der verbundenen Ränge (ties) => Teststatistik:, wobei D = maximal mögliche Anzahl der Konkordanzen: Der Mann-Kendall Test

5 Erweiterung auf saisonale Daten: saisonaler Mann-Kendall Test n Beobachtungen pro Saisonteil (z.B. fester Tag im Jahr), m Saisonteile pro Saison (z.B. 365 Tage/Jahr) i-te Beobachtung im g-ten Saisonteil Entmaskierung von Gesamttrends Trends in einzelnen Saisonteilen (z.B. Monaten)

6 Regressionsanalyse zur Trendbeseitigung beliebig, aber bekannt (z.B. ) Methode der kleinsten Quadrate:minimieren! Normalgleichungen Fehler der Schätzwerte:

7 Desaisonalisierung Vermutet wird eine (natürliche) Periode s in den Daten. Unnormierte Desaisonalisierung: r -te Messung der m -ten Stelle Normierte Desaisonalisierung:

8 Additive Modelle zur Darstellung einer Zeitreihe Zugrundeliegendes Modell (additives Komponentenmodell): Globaler monotoner Trend: im Mittel wächst X(t) an / fällt ab

9 Frequenzraumdarstellung von Zeitreihen bisher: Zeitreihen wurden durch ihre Werte dargestellt (Zeitdomäne): x = x(t) alternativ: Darstellung in einem Funktionenraum - möglich für jede Funktion in einem n-dimensionalen Vektorraum: : Koeffizienten : Basisfunktionen sinnvolle Wahl des Funktionenraums: additiv (Superposition) => orthogonale Funktionen

10 Zwei Vektoren und heißen orthogonal wenn: Orthogonalsysteme vergleiche: Orthogonalität = "Unabhängigkeit", "Unkorreliertheit" im statistischen Sinne => Veränderung eines Vektor hat keine Auswirkungen auf den anderen Vektor: Superposition (kontinuierlicher Fall) (diskreter Fall)

12 Wiederholung: Komplexe Zahlen alternative Darstellung in Polarkoordinaten (φ, ρ): Eulersche Gleichung:

13 generell: für f(x) = e x und a = 0 : analog für f(x) = e ix : für a = 0 : => Taylorreihendarstellung der trigonometrischen Funktionen => Exponent n i n = 1 i -1 -i 1 i -1 -i 1

14 Eine äquidistante Zeitreihe mit Messintervall (Zeitauflösung) und N Werten Länge der Messperiode Anzahl der Perioden im Datensatz Periodenlänge Frequenz Kreisfrequenz harmonische Frequenz Grundfrequenz, Frequenzauflösung Nyquist-Theorem, Abtasttheorem Frequenzen, Zeiten, Längen, Perioden,... P

15 Eine äquidistante Zeitreihe mit Messintervall (Zeitauflösung) und N Werten Länge der Messperiode Anzahl der Perioden im Datensatz Periodenlänge Frequenz Kreisfrequenz harmonische Frequenz Grundfrequenz, Frequenzauflösung Nyquist-Theorem, Abtasttheorem Frequenzen, Zeiten, Längen, Perioden,...

16 Fourieranalyse = harmonische Analyse J.B.J. Fourier (1807): Jede stetige und periodische Funktion kann (beliebig genau) dargestellt werden als Superposition einer Serie harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen. => Entwicklung in eine unendliche trigonometrische Reihe: Voraussetzungen (= Dirichletsche Bedingungen): 1.Die Funktion muss sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen lassen können, in denen jeweils x stetig und monoton ist. 2.In den Unstetigkeitsstellen (Sprungstellen) existiert jeweils der links- und der rechtsseitige Grenzwert.

17 Fourierkoeffizienten hier: für periodische, diskrete, äquidistante Zeitreihen mit N Werten Schätzung der Koeffizienten für die k te harmonische Frequenz: Ausnahme für k = N/2 :

18 Fouriertransformation Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen Merkmale: umkehrbar existiert für absolut integrierbare Funktionen zeitglobal Stationarität prinzipiell erforderlich Spektrum von

19 Beispiel für eine Fourierapproximation

20 1 Term: Mittelwert

21 2 Terme

22 3 Terme

23 5 Terme

24 10 Terme

25 100 Terme

26 Aliasing = "Frequenzmissdeutung" = "Einstrahlen" höherer Frequenzen in den niedrigen Bereich aufgrund der endlichen Länge/Auflösung des Datensatzes:

27 Parsevalsches Theorem Die totale Varianz der Werte ist gleich der Summe der Varianzen der einzelnen Frequenzen: Energie ist im Zeit- und Frequenzraum gleich Def.: Energie eines Signals:

28 Periodogramm Aufteilung der Varianz auf die einzelnen Frequenzen: s 2 (k) (= spektrale Varianz) gegen k aufgetragen Berechnung anhand der Fourier-Koeffizienten:

29 Periodogramm = Darstellung der Varianzanteile für die einzelnen Frequenzen bzw. Phasenlängen

30 Aufgabe 1.Berechnen Sie in Excel die Fourierkoeffizienten für den Datensatz in Aufgabe_Fourieranalyse.xls. 2.Erstellen Sie anhand der Fourierkoeffizienten ein Periodogramm. 3.Rekonstruieren Sie die Zeitreihe als Superposition der entsprechenden sin- und cos- Funktionen. 4.Führen Sie mit den Daten eine Fourieranalyse in Statistica durch und vergleichen Sie die Ergebnisse.


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