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ARCH- und GARCH Modelle Cristina Dette. Einführung ARCH-Prozesse wurden 1982 von Robert F. Engle eingeführt, der hierfür den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaft.

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1 ARCH- und GARCH Modelle Cristina Dette

2 Einführung ARCH-Prozesse wurden 1982 von Robert F. Engle eingeführt, der hierfür den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaft bekommen hat. ARCH bedeutet autoregressiv bedingt heteroskedastisch. Diese Modelle spiegeln die wichtigsten Stylized Facts des Finanzmarktes wider; Heteroskedastizität bedeutet, dass die Volatilität (bzw. Varianz) einer Finanzmarktreihe in der Zeit stark schwankt (Volatility Clustering); Die Finanzzeitreihen sind bedingt heteroskedastisch, weil die Quadrate bzw. die Beträge der Renditen positiv korreliert sind. ARCH-Modelle werden in der Praxis z.B. bei der Optionsbewertung oder bei der Varianzprognose eingesetzt.

3 ARCH(1) I Definition: Ein stationärer Prozess heißt ARCH Prozess der Ordnung 1, falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σ ε ² = 1 sowie reelle Zahlen α 0 > 0, α 1 0 gibt, so dass mit σ t ²:= α 0 + α 1 X ² t-1 gilt: X t = σ t ε t. - σ t wird als Volatilität und ε t als Innovation bezeichnet (jeweils bezogen auf den Zeitpunkt t); - σ t und ε t sind stochastisch unabhängig. Bemerkungen: 1. Man kann Annahmen treffen über die Verteilung der Innovationen ε t. Häufig geht man von standardnormalverteilten Innovationen aus; in diesem Fall ist ε ein Gaußsches Weißes Rauschen. Man ist jedoch an Verteilungen von ε t mit schweren Tails interessiert; in diesem Fall kommt meist eine t υ -Verteilung mit υ > 2 zum Einsatz: ε t ~ υ-2/υ· t υ.

4 ARCH(1) II 2. Für einen ARCH(1)- Prozess X t gilt: E(X t |X t-1,X t-2,...) = 0 und Var(X t |X t-1,X t-2,...) = σ t ² = α 0 + α 1 X ² t-1. Hieraus leitet sich der Name des Prozesses ab. 3. Die Varianz von X t ist genau dann endlich wenn α 1 < 1; 4. Ein ARCH(1)– Prozess X t ist ein Weißes Rauschen mit Varianz σ x ² = α 0 / (1- α 1 ). 5.Unter geeigneten Voraussetzungen ist das Quadrat X t ² eines ARCH(1) Prozesses ein AR(1)- Prozess.

5 ARCH(1) III 6. Das vierte Moment eines ARCH(1)- Prozesses mit normalverteilten Innovationen ε t existiert genau dann, wenn α 1 < 3/3 gilt. In diesem Fall gilt für die Kurtosis κ X von X: κ X = 3(1- α² 1 )/(1-3α² 1 ) 7. ARCH(1)- Prozesse haben schwere Tails, auch wenn die Innovationen ε t keine schweren Tails besitzen.

6 ARCH(q) I Definition: Ein stationärer Prozess X t heißt ARCH- Prozess der Ordnung q, falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σ ε ² = 1 sowie reelle Zahlen α 0 > 0, α 1 0,..., α q 0, gibt, so dass mit σ t ² := α 0 + α 1 X ² t α q X ² t-q gilt: X = σ t ε t. Bemerkungen: 1. Die Annahmen über die Verteilungen der Innovationen ε t gelten analog zum ARCH(1)-Prozess.

7 ARCH(q) II 2. Die Varianz von X t ist genau dann endlich, wenn α α q < 1; 3. Ein ARCH(q)- Prozess X t ist ein Weißes Rauschen mit Varianz σ x ² = α 0 / (1- α α q ). 4. Analog zu ARCH(1)- Prozessen gilt: die bedingte Varianz gegeben die Prozessvergangenheit ist gerade gleich σ t ² = α 0 + α 1 X ² t α q X ² t-q. 5. Unter geeigneten Voraussetzungen ist das Quadrat X t ² eines ARCH(q) Prozesses ein AR(q)- Prozess. 6. Falls das vierte Moment eines ARCH q)- Prozesses mit normalverteilten Innovationen ε t existiert, so muss α α q < gelten.

8 GARCH(1,1)-Modell I Wurde erstmals unter anderem Namen von Taylor vorgeschlagen. Der Durchbruch gelang jedoch 1986 Bollerslev, der diese Namensgebung eingeführt hatte. Ein GARCH-Prozess ist ein um autoregressive Terme erweiterter ARCH- Prozess. Definition: Ein stationärer Prozess X heißt GARCH-Prozess der Ordnung (1,1), falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σ ε ² = 1 sowie reelle Zahlen α 0 > 0,α 1 0, ß 1 0 gibt, so dass es einen stochastischen Prozess σ t gibt mit σ t ² = α 0 + α 1 X ² t-1 + ß 1 σ² t-1 und X t = σ t ε t.

9 GARCH(1,1)-Modell II Bemerkungen: 1. Bezüglich der Verteilung der Innovationen gilt wie beim ARCH-Prozess: man geht häufig von standardnormalverteilten Innovationen aus. Man ist jedoch an Verteilungen von ε t mit schweren Tails interessiert; in diesem Fall kommt meist eine t υ -Verteilung mit υ > 2 zum Einsatz: ε t ~ υ-2/υ· t υ. 1. Die Varianz von X t ist genau dann endlich wenn α 1 + ß 1 < 1 ist; 2.Ein GARCH(1,1)-Prozess ist ein Weißes Rauschen mit Varianz σ x ² = α 0 / (1- α 1 - ß 1 ). 3.Für GARCH(1,1)-Prozesse gilt E(X t |X t-1,X t-2,...) = 0 und Var(X t |X t-1,X t-2,...) = σ t ².

10 GARCH(1,1)-Modell III 4. Das vierte Moment eines GARCH(1,1)-Prozesses X t mit normalverteilten Innovationen ε t existiert genau dann, wenn 3α² 1 +2α ß 1 + ß² 1 < 1 gilt. Für die Kurtosis κ X von X gilt: κ X = 3[1- (α 1 + ß 1 )²]/(1- 3α² 1 -2α ß 1 -ß² 1 ). 5. GARCH(1,1) -Prozesse haben i.a. schwere Tails, auch wenn die Innovationen ε t keine schweren Tails besitzen.

11 GARCH(p,q)-Modell I Definition: Ein stationärer Prozess X heißt GARCH-Prozess der Ordnung (p,q,) falls es ein unabhängiges Weißes Rauschen ε der Varianz σ ε ² = 1 sowie reelle Zahlen α 0 > 0,α 1 0,..., α q 0, ß 1 0,..., ß p 0 gibt, so dass es einen stochastischen Prozess σ t gibt mit σ t ² = α 0 + α 1 X ² t α q X ² t-q + ß 1 σ² t ß p σ² t-p und X t = σ t ε t. Bemerkungen: 1. Man geht bei GARCH(p,q)-Prozessen davon aus, dass wenigstens einer der Koeffizienten α 1,..., α q echt größer als 0 ist, da andernfalls keine Kopplung von σ t ² an X ² t vorliegt.

12 GARCH(p,q)-Modell II 2. Die Annahmen über die Verteilungen der Innovationen ε t gelten analog zum GARCH(1,1)-Prozess. 3. Die Varianz eines GARCH(p,q)-Prozesses ist genau dann endlich wenn α α q + ß ß p < 1 gilt. 4.Ein GARCH(p,q)-Prozess ist ein Weißes Rauschen mitVarianz σ x ² = α 0 / (1- α α q -ß 1 -…- ß p ) 5. Analog zu den GARCH(1,1)-Prozessen gilt E(X t |X t-1,X t-2,...) = 0 und Var(X t |X t-1,X t-2,...) = σ t ². 6. Wenn das vierte Moment von X t existiert, so ist das Quadrat X ² t eines GARCH(p,q)-Prozesses ein ARMA(max(p,q),p)-Prozess.

13 Erweiterte GARCH-Modelle I IGARCH : integrierte GARCH-Prozesse sind GARCH(p,q)-Prozesse, für die gilt: α α q + ß ß p = 1. Die Erwartungen für die Zuwächse der Volatilität sind zu jedem Zeitpunkt positiv, d.h. die unbedingte Varianz ist nicht mehr endlich. Diese GARCH-Prozesse sind nicht mehr schwach stationär, allerdings können sie unter bestimmten Bedingungen strikt stationär sein.

14 Erweiterte GARCH-Modelle II GARCH-M: GARCH in mean ist ein GARCH-Prozess, bei dem der Volatilitätsterm den bedingten Erwartungswert beeinflusst, z.B. bei der Risikoprämie: wenn die Volatilität einer Anlage hoch ist, erwartet man eine höhere Rendite im Mittel. Ein GARCH-M-Prozess ist kein Weißes Rauschen mehr, sondern weist im allgemeinen Autokorrelation auf. Darstellung: X t = θσ t + u t, wobei u t ein GARCH-Prozess ist: u t = σ t ε t, σ t ² = α 0 + α 1 u ² t α q u ² t-q + ß 1 σ² t ß p σ² t-p, θ Element R. -Die Mittelwertfunktion μ t wird als θσ t angesetzt. -In manchen Fällen wird mit dem Vielfachen der Varianz modelliert: X t = θσ² t + u t

15 Erweiterte GARCH-Modelle III Aktienrenditen weisen den so genannten Leverage-Effekt (Englisch für Hebelwirkung) auf. Man hat beobachtet, dass negative Renditen (fallende Aktienkurse) mit höhere Volatilität einhergehen als steigende. Die herkömmlichen GARCH-Modelle berücksichtigen diesen Effekt nicht. Nelson hat 1991 ein Modell vorgeschlagen, das diesen Effekt abbildet: Exponential GARCH (EGARCH). Darstellung: log σ t ² = μ logσ²t +Δ(log σ t - 1 ² - μ logσ²t ) +g(X t - 1 ), mit g(X t-1 ) = θX t-1 + γ (| X t-1 | - E | X t-1 |); X t ist eine Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen.

16 Erweiterte GARCH-Modelle IV μ logσ²t ist der Erwartungswert von log σ t ² und Δ ist der Parameter für den autoregressiven Teil Der Term θX t-1 in g(X t - 1 ) bestimmt den Vorzeicheneffekt von Schocks auf die Volatilität (spiegelt den Leverage Effekt wider). Der Parameter θ ist typischerweise negativ. Der Term γ (| X t-1 | - E | X t-1 |) bestimmt den Größeneffekt von Schocks auf die Volatilität. Der Parameter γ ist typischerweise positiv. Der EGARCH bietet einerseits den Vorteil, dass die Parameter nicht auf positive Werte restringiert sind, und andererseits werden die Asymmetrien in der Volatilität erfasst.

17 Erweiterte GARCH-Modelle V GJR GARCH(1,1)-Modell wurde 1993 von Glosten, Jagannathan und Runkle vorgeschlagen; Darstellung: σ t ² = α 0 + w (X t - 1 ) X² t – 1 + ßσ² t-1, α + αˉ für X t – 1 < 0 mit w (X t - 1 ) = α für X t – 1 0


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