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Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-24.

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Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2006 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-18.

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1 Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-24

2 Inhalte Inferenzstatistik (SS2005) 1.Grundlagen des inferenzstatistischen Schliessens (Stichprobe & Grundgesamtheit, Signifikanz) 2.Inferenzstatistische Verfahren (t-Test, Tests für Häufigkeitsunterschiede etc.) 3.Versuchsplanung & Varianzanalyse (Experimentelle Designs & Datenanalyse)

3 Problemstellung Wie hängt die AV von den Stufen der UVn ab ? Anzahl aggressiver Akte (verhältnisskaliert) Unabhängige Variablen (UVn)Abhängige Variable (AV) 1. Geschlecht 2. Alkohol 1 Limo1 Bier [Statistica Beispiel]

4 Problemstellung Bestehen wirkliche Unterschiede für die Stufen von 1. Geschlecht 2. Alkohol 3. Geschlecht Alkohol Alkohol - + Geschlecht JM Wir untersuchen 12 Jungen und 12 Mädchen und berechnen Mittelwerte

5 Probleme des statistischen Schliessens Prüfung von (3) über eine statistische Modellvorstellung 1. Von der konkreten Personenstichprobe auf die angezielte Population (Repräsentativitätsproblem, Randomisierung, Schichtung) 2. Von den realisierten Stufen der UVn auf die UVn selbst (feste und zufällige Stufung) 3. Von den gefundenen Stichprobenunterschieden in der AV auf Unterschiede der zugrundeliegenden Populationen (Stichprobenmittelwert Populationsmittelwert, Effekt, Signifikanz)

6 Logik des Testens Ausgangspunkt: Man hat nur eine Differenz von 2 Mittelwerten vorliegen Aus diesen Daten selbst kann keine Wahrscheinlichkeitsangabe gewonnen werden. a)Betrachtung eines Modells als ein was wäre wenn Szenario b)Herleitung der Größen (Parameter) des Modells und eine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung c)Aufstellen von Entscheidungsregeln für die Messung im Rahmen des Modells d)Bestimmung der Prüfgröße e)Entscheidung über die Prüfgröße mit den Entscheidungsregeln Vorgehen

7 Modellvorstellung Population der Jungen Stichprobe des Umfangs N Population der Mädchen Stichprobe des Umfangs N Bilde Mittelwertsdifferenz Tue dies k - mal: Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

8 Modellvorstellung Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Annahme: Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich Der Mittelwert aller Differenzen von Mittelwerten ist Null (Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null)

9 Idee der Testung Wir nehmen an: Wir haben gemessen: Einen bestimmten Mittelwertsunterschied Wir fragen: Wie wahrscheinlich ist der gefundene Mittelswertsunterschied, wenn in der Population kein Unterschied besteht? Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich (Nullhypothese) Testung der Gültigkeit der Nullhypothese

10 Regel für die Entscheidung Als sehr unwahrscheinlich sehen wir Werte von kleiner als 5% an. Ab welcher Wahrscheinlichkeit verwerfen wir die Nullhypothese? (Nullhypothese) Signifikanz: Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese 5% unter dieser Annahme sehr unwahrscheinlich ist. Wir verwerfen die Nullhypothese, wenn der gemessene Unterschied Ergebnisse, auf die das zutrifft, bezeichnen wir als signifikant.

11 Prinzip der Testung Testung als Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit Testung der Gültigkeit der Nullhypothese über die Bestimmung der Auftretenswahrscheinlichkeit von in der theoretischen Verteilung der Differenzen von Mittelwerten mit dem Erwartungswert Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) (gemessene Differenz)

12 Verteilung der Differenzen von Mittelwerten Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) 3 Festlegungen für die Verteilung: 1. Die sind normalverteilt (für N 30) 2. Sie hat den Mittelwert 0 3. Sie hat eine Standardabweichung (Standardfehler) Wir können die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vornehmen, wenn der Standardfehler bekannt ist

13 Bestimmung des Standardfehlers Die Stichproben, aus denen die Mittelwerte stammen, haben alle den Umfang N. wenn alle Stichproben vom Umfang N, die man aus Jungen und Mädchen zieht, unabhängig sind. Dann gilt für die Varianz der Differenzen : Den Standardfehler der Mittelwertedifferenz erhält man aus den Standardfehlern der Mittelwerte der Einzelstichproben

14 Bestimmung des Standardfehlers Mit gleichem Standardfehler in beiden Gruppen: wobei pop die Standardabweichung der Messwerte in der Population ist. Ist sie nicht bekannt, kann der Standardfehler direkt aus den Daten beider Stichproben geschätzt werden:

15 Prüfgröße Der Quotient ist eine z - standardisierte Variable und standardnormalverteilt, da ja die normalverteilt sind. Nach der Nullhypothese gilt: ist die standardnormalverteilte Prüfgröße. Der Mittelwertsvergleich läuft auf die Bestimmung des Standardfehlers und anschliessender z- Wertberechnung hinaus.

16 Entscheidung 1. Berechne Vergleich mit kritischem Wert liefert Entscheidung nach Massgabe der Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%. B. GiltBeibehalten von H0 (die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich nur zufällig) 2. Entscheide: A. GiltAblehnung von H0 (die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden)

17 Hypothesen Wissenschaftliche Vermutung über einen Sachverhalt Hypothesen als Aussagen über Populationsparameter Aussage Gegenaussage (komplementär) A: Neue Unterrichtsmethode ist besser als die alte A: Neue Unterrichtsmethode ist schlechter oder gleich gut Statistisch: (gerichtet) (ungerichtet)

18 Entscheidungsregeln (ungerichtet) Sei ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wennverwerfe H 0 Regel 2 (Kritischer Wert z 1- /2 ): Wennverwerfe H 0 Grundlage:

19 Entscheidungsregeln (gerichtet) Sei ein vorgegebenes Signifikanzniveau (Konvention: = 0.05) und z 0 der beobachtete z- Wert. Vergleich mit kritischem Wert oder Signifikanzniveau Regel 1 (Überschreitungswahrscheinlichkeit): Wennverwerfe H 0 Regel 2 (Kritischer Wert z 1- ): Wennverwerfe H 0 Grundlage:

20 Fehler 1. und 2. Art In der Population gilt Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit H0H0 H1H1 H0H0 H1H1 Entscheidung für [Entscheidungsaufgabe]


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