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Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-26.

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Präsentation zum Thema: "Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-26."—  Präsentation transkript:

1 Forschungsstatistik II Prof. Dr. G. Meinhardt SS 2005 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz KLW-26

2 2 Thema der Stunde I. t- Test für abhängige Stichproben II. Wilcoxon - Test III. Chi-Quadrat Test für a) Unabhängigkeit von Merkmalen b) Die Güte der Anpassung einer empirischen Verteilung an eine theoretische Verteilung

3 3 Abhängige Stichproben Eine Gruppe von Schülern wird trainiert. Vorher und nachher wird ein Leistungstest gemacht. Sind die Schüler nach dem Training besser als vorher? Frage Nr Test 1 Test 2 Testung der H0: (Messwertpaare)

4 4 Verteilung der Mittelwerte von Differenzen Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) 3 Festlegungen für die Verteilung: 2. Die sind normalverteilt (für N 30) 1. Sie hat den Mittelwert 0 3. Sie hat eine Standardabweichung (Standardfehler) Standardfehlermuss bestimmt werden

5 5 Schätzung des Standardfehlers Es gilt: Aus Stichprobendaten: Standardfehler aus Stichprobendaten: Wobei N die Anzahl der Messwertpaare ist.

6 6 Prüfgröße und Entscheidung Gilt die Nullhypothese 2 = 1 (bzw. = 0) so ist t - verteilt mit N - 1 Freiheitsgraden. Interpretation wie im Fall des t – Tests für unabhängige Stichproben

7 7 Die t- Verteilung Kritische Werte sind bei der t- Verteilung im Vergleich zur N- Verteilung größer Normalverteilung t- Verteilung mit df = 9 Ablehnung der H0 erst bei größeren Werten der Prüfgröße

8 8 Voraussetzungen des t- Tests für abhängige Stichproben 1.Für N < 30 müssen die Werte aus normalverteilten Populationen stammen (Prüfung der Stichprobenwerte auf Normalverteilung) 2.Die Populationsvarianzen, die beiden Stichproben zugrundeliegen müssen nicht gleich (homogen) sein. (Allerdings verliert der Test an Teststärke für stark verschiedene Varianzen) 3.Bei hohen Korrelationen der beiden Stichproben und gleichen Varianzen ist der t- Test für abhängige Stichproben weit mehr teststark als der t- Test für unabhängige Stichproben. [Tafelbeispiel für 2 und 3]

9 9 Der Wilcoxon - Test Man hat ordinalskalierte Daten (Rangdaten) und testet, ob sich die Meßobjekte in 2 abhängigen Gruppen in ihren Rängen unterscheiden. Beispiel: wie t- Test abhängig Unterscheiden sich die Rangsummen der Differenzen mit positivem und negativem Vorzeichen? Ranking von | | Nr Test 1 Test 2

10 10 Der Wilcoxon - Test Man hat ordinalskalierte Daten (Rangdaten) und testet, ob sich die Meßobjekte in 2 abhängigen Gruppen in ihren Rängen unterscheiden. Fall NrTest1Test2 | Rang (-) (-) TT' 36 Prüfe Rangsummen T und T 9 5

11 11 Rang TT' 369 Der Wilcoxon - Test Rangsummen Es gilt: Man kann die Teststatistik alternativ über T oder T berechnen. (Wird um Anzahl der Null- Differenzen reduziert) TT

12 12 Der Wilcoxon - Test Berechnung der Prüfgrüße: mit T bzw. T sind normalverteilt für N > 25: Unter H0 gilt: Prüfung in Standardnormalverteilung [Rechenbeispiel] Rang TT' 369 Rangsummen TT [für N 25 gesonderte Tabelle (Bortz, Tab. G)]

13 13 Chi-Quadrat Tests für Häufigkeiten 1.Zur Prüfung von Häufigkeitsunterschieden 2.Zur Prüfung der Unabhängigkeit zweier nominalskalierter Variablen 3.Zur Prüfung der Übereinstimmung einer empirischen mit einer theoretischen Verteilung

14 14 Chi - Quadrat Die generelle Form des Chi – Quadrat für Häufigkeiten ist: mit: Dieses Schema wird flexibel auf die jeweilige Fragestellung angewandt. Die Frage ist, nach welchem Kriterium sich die erwarteten Häufigkeiten ergeben ! Das einache 2 hat k-1 Freiheitsgrade, die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die 2 Verteilung.

15 15 Chi – Quadrat Test auf Unabhängigkeit Man hat eine l k Kreuztabelle: Merkmal B +- +o 11 o 12 B+ -o 21 o 22 B- A+ A- Merkmal A Erwartete Häufigkeit e ij : Ferner gilt:

16 16 Chi – Quadrat Test: Verteilungsanpassung Sind die Abweichungen von empirischer und theoretischer Verteilung nur zufällig oder systematisch?

17 17 Chi – Quadrat Test: Verteilungsanpassung 1.Die erwarteten relativen Häufigkeiten berechnet man aus der Differenz der Werte der Verteilungsfunktion für die exakten Intervallgrenzen 2.Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich durch Multiplikation mit der Anzahl der Beobachtungen N. [Tafelbeispiel]

18 18 Häufigkeitsverteilungen zu Aufgabe 3 beobachtet erwartet als Normalverteilung Vergleich: h(x)h(x) h(x)h(x) h(x)h(x) x x x


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