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Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,

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Präsentation zum Thema: "Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,"—  Präsentation transkript:

1 Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

2 Zeitreihenmodellierung exogene vs. endogene Modellierung (selbsterklärende Zeitreihenmodellierung) linear vs. nichtlinear stationär vs. nichtstationär; schwache Stationarität deterministisch vs. stochastisch chaotisch vs. regulär Reaktion auf Störungen stabil vs. instabil Gleichgewichtszustand? Intermittenz? Mögliche Ziele und Arten:

3 Exogene vs. endogene Modellierung Exogen: die abhängigen Variablen werden von aussen gesteuert Endogen: die Zeitreihe wird aus ihrer eigenen Geschichte modelliert

4 Woldsches Theorem Zerlegungstheorem (stationäre Variante): Jede linear instationäre Zeitreihe kann als Summe von vier Termen geschrieben werden: Zerlegungstheorem (instationäre Variante): Jede stationäre Zeitreihe kann als Summe einer deterministischen und einer unkorrelierten stochastischen Komponente geschrieben werden: L – linearer Trend P – periodischer Trend(Wold 1938)

5 Lineare Relationen und Filter Endogene Modellierung: Vergleich von beobachteten Werten mit Modellierungsversuchen und/oder früheren Beobachtungen. Dazu filtert man die Werte. Definition: Rückwärtsschiebeoperator Def.: Allgemeiner linearer Filter: mit Operatorpolynom

6 Beispiele für Filter NameBedingungBeispiel/Aussehen Endlicher F. Kausaler F. Vorhersage F.

7 Autoregressive Modelle Idee: Der aktuelle Wert einer Zeitreihe ist durch die Werte in der Vergangenheit deterministisch bestimmt. Dazu kommt ein jeweils unvorhersehbares Rauschen (Innovation) Autoregressives Modell p-ter Ordnung AR(p)-Modell

8 Bedingungen an AR(p)-Modelle d.h. das Rauschen ist unabhängig identisch verteilt (i.i.d.). Häufigste Wahl: Gaußsches Rauschen Deterministischer Anteil:

9 Bestimmung der Koeffizienten Der deterministische Anteil soll maximal viel erklären. soll möglichst wenig erklären! Einsetzen der AR(p)-Formel, Ableiten nach Autokovarianz: Autokorrelation:

10 Partielle Autokorrelationsfunktion Allgemeines Regressionsproblem: Lineares Gleichungssystem für die PACF Interpretation: PACF verschwindet für größere Lags Abweichung zwischen ACF und PACF deutet auf ungenügendes Modell (z.B. k zu klein)

11 Yule-Walker Gleichung Einsetzen der Minimalbedingung: (Yule und Walker 1927) Matrixinversion:

12 Explizites Beispiel I: AR(1) In der Hydrologie auch: Thomas-Fiering-Modell erhält erstes und zweites Moment geeignet für kurzfristige (operationelle) Vorhersage Generierung synthetischer Abflussganglinien ACF des AR(1)-Prozesses: Exponentieller Abfall!

13 Explizites Beispiel II: AR(2) Bestimmungsstücke: Daraus folgt (Übungsaufgabe!)

14 Vergleich ACF - PACF Optimale AR(20)-Modellierung für Lehstenbach

15 Defizite der AR-Modellierung Kurzzeitbereich: Glättung der Extrema, Verpassen von Spitzen Verzögerung von Wendepunkten Langzeitbereich: exponentieller Abfall der ACF keine Instationaritäten

16 MA(q)-Modelle Auch Rauschen kann Gedächtnis haben! Moving-Average-Modell Koeffizientenbestimmung wieder aus ACF: Lösung i.d.R. numerisch (nichtlinears Gl.-Sys.)

17 MA(1) und MA(2) explizit MA(1): ACF von MA(q) verschwindet exakt für k > q MA(2):

18 Aufgabe 1.Führen Sie eine Fourieranalyse des Niederschlags-Temperatur- Abfluss-Datensatzes durch. 2.Rekonstruieren Sie die Zeitreihen; führen Sie dabei eine Bandpassfilterung durch, indem Sie nur die vorherrschenden Frequenzen berücksichtigen. 3.Erstellen Sie das Powerspektrum der Niederschlags-, Temperatur- und Abflussdaten, und bestimmen Sie die Steigung β der Regressionsgeraden im doppelt-logarithmischen Plot. 4.Suchen Sie Modelle AR(p) mit 0

19 Anwendungsbereich der MA(q)-Modelle Test der Autokorrelation: ist nach einem endlichen (kleinen) Lag die ACF nicht mehr signifikant von Null verschieden? Fehlen Trends und Periodizitäten? Dann ist eine MA(q)-Modellierung vielversprechend In den Geowissenschaften: im Wesentlichen keine Anwendung reiner MA(q)-Modelle

20 ARMA(p,q)-Modelle Kombination beider Modelltypen: Auto Regressive Moving Average Modell der Ordnungen p und q Operatorschreibweise:

21 Koeffizienten des ARMA(p,q)-Modells In aller Regel wird das folgende Gleichungssystem numerisch gelöst: Explizit: ARMA(1,1)

22 Prinzipielle Anforderungen an ARMA(p,q)-Modelle Kausalität: hängt glatt von Vorgängern ab, wächst nicht über alle Grenzen Invertierbarkeit: aus den modellierten Werten soll man das Rauschen zurückrechnen können Stationarität

23 Zusammenfassung: ARMA-Modelle AR(p)-Modell kompakt: ARMA(p,q)-Modell MA(q)-Modell

24 Kausalität bei ARMA(p,q)-Modellen Def.: Charakteristische Polynome des B -Operators Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen Nullstellen und liegen alle Nullstellen von außerhalb des Einheitskreises: dann ist der ARMA(p,q)-Prozess kausal.

25 Motivation zur Kausalität: AR(1)-Modell mit formaler Umkehrung: Divergenz für (d.h. ) Widerspruch zu Kausalität, Stationarität (aus endlichen Ursachen entwickeln sich unbegrenzte Wirkungen)

26 Kausalität, ARMA und MA Satz: Liegt ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess vor, kann man auch äquivalent schreiben Dabei erhält man die Koeffizienten durch Auswertung von und es gilt Ein kausaler ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent zu einem Prozess

27 Invertierbarkeit von ARMA(p,q)-Modellen Satz: Haben die beiden Polynome keine gemeinsamen Nullstellen und liegen alle Nullstellen von außerhalb des Einheitskreises: dann ist der ARMA(p,q)-Prozess invertierbar.

28 Motivation zur Invertierbarkeit: MA(1)- Modell mit formaler Umkehrung: Divergenz für (d.h. ) Widerspruch zu Invertierbarkeit, Stationarität (aus der Zeitreihe kann nicht auf das Rauschen geschlossen werden)

29 Invertierbarkeit, ARMA und AR Satz: Liegt ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess vor, kann man auch äquivalent schreiben Dabei erhält man die Koeffizienten durch Auswertung von und es gilt Ein invertierbarer ARMA(p,q)-Prozess ist äquivalent zu einem Prozess

30 Stationarität von ARMA(p,q)-Modellen Satz: Ist ein ARMA(p,q)-Prozess kausal und invertierbar, dann ist er stationär. Stationaritätstests für ARMA(p,q)-Modelle aus zwei Kriterien Achtung: Wenn das ARMA-Modell einer Zeitreihe stationär ist, muss es die Zeitreihe selber nicht sein!

31 Zusammenfassung: ARMA-Modelle AR(p)-Modell kompakt: ARMA(p,q)-Modell MA(q)-Modell


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