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Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 4. Vorlesung.

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Präsentation zum Thema: "Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 4. Vorlesung."—  Präsentation transkript:

1 Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 4. Vorlesung

2 Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger aufgestellt. Für seine Arbeiten zur Quantenmechanik erhielt er 1933 den Nobelpreis.

3 Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion zeitliche Änderung Hamiltonoperator oder „Energieoperator“  Die Schrödingergleichung kann nicht hergeleitet werden (genauso wie Newtonsche Bewegungsgleichung, Maxwellgleichungen, …)  Zur Lösung der Schrödingergleichung benötigt man den Anfangswert  (x,0)  Die Wellenfunktion ist eine reine Hilfsgröße  Die Wellenfunktion muss interpretiert werden (Wahrscheinlichkeitsinterpretation)  Die Wellenfunktion ist normiert  Das Betragsquadrat der Wellenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte

4 Was ist ein „Potential“ V(x) ? Arbeit, die man verrichten muss, um eine Masse m im Schwerefeld der Erde verschieben Potentielle Energie, die bzgl. eines Referenzpunktes r 0 (meist im Undendlichen) gemessen wird Kraft, die auf Teilchen wirkt, erhält man aus der Änderung von V

5 Bemerkung : Potentialversus potentielle Energie Potential = potentielle Energie pro Einheitsmasse … Gravitation Potential = potentielle Energie pro Einheitsladung … Elektrostatik i.F. werden wir den Begriff Potential oft an Stelle von potentieller Energie verwenden !!!

6 Bestimmen Sie die Potentiale für V( x, t )  Freies Teilchen  Teilchen im Schwerefeld  Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x 0  Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x 0, das mit periodischer Kraft F 0 cos( w t ) angetrieben wird Potentiale

7 Freies Teilchen Für das freie Teilchen gilt V=0, die Wellenfunktion ist gegeben durch de-Broglie Impuls Beweis (Einsetzen in Schrödingergleichung)

8 Freies Teilchen Allgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegung gewinnen Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit

9 Dispersionsrelation beschreibt Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge Zeitentwicklung einer Welle Monochromatische Welle Wellenpaket Zeitentwicklung wird durch Phasenentwicklung bestimmt !

10 Zeitentwicklung einer Lichtwelle Dispersion einer Lichtwelle in Vakuum Zeitentwicklung einer Lichtwelle in Vakuum Welle bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit c entlang der x-Richtung, ändert aber nicht ihre Form

11 Lichtpropagation mit v = c Lichtpuls in Vakuum

12 Lichtpropagation mit v = c Lichtpuls in Vakuum

13 Lichtpropagation mit v = c Lichtpuls in Vakuum

14 Unterschiedliche Phasengeschwindigkeit … Brechung Reflexions- und Brechungswinkel hängen nur von Phasengeschwindigkeit ab Snelliussches Brechungsgesetz

15 Lichtdispersion v = c / n(  )

16 Lichtpropagation mit v = c / n(  ) Lichtpuls in dispersivem Medium

17 Lichtpropagation mit v = c / n(  ) Lichtpuls in dispersivem Medium

18 Lichtpropagation mit v = c / n(  ) Lichtpuls in dispersivem Medium

19 Lichtpropagation mit v = c / n(  ) Wellenpaket „läuft auseinander“ Lichtpuls in dispersivem Medium

20 LäuferInnenfeld „läuft auseinander“

21 Freies Teilchen Allgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegung gewinnen Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit Propagation ähnlich wie elektromagnetische Welle in dispersivem Medium

22 Materiewelle Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

23 Materiewelle Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

24 Materiewelle Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

25 Materiewelle Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets

26 Materiewelle Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen

27 Materiewelle Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen

28 Bose-Einstein-Kondensat Rubidium-87 Atome bei Temperaturen unterhalb von ~170 nK

29 Bose-Einstein-Kondensat : Interferenz Atomchip : Schmiedmayer TU Wien Atomwellenfunktion wird räumlich getrennt, danach fallen Atome im Schwerefeld nach unten


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