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Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester Vorlesung Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion
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Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger aufgestellt.
Für seine Arbeiten zur Quantenmechanik erhielt er 1933 den Nobelpreis.
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Schrödingergleichung
Die Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion zeitliche Änderung Hamiltonoperator oder „Energieoperator“ Die Schrödingergleichung kann nicht hergeleitet werden (genauso wie Newtonsche Bewegungsgleichung, Maxwellgleichungen, …) Zur Lösung der Schrödingergleichung benötigt man den Anfangswert Y(x,0) Die Wellenfunktion ist eine reine Hilfsgröße Die Wellenfunktion muss interpretiert werden (Wahrscheinlichkeitsinterpretation) Die Wellenfunktion ist normiert Das Betragsquadrat der Wellenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte
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Was ist ein „Potential“ V(x) ?
Arbeit, die man verrichten muss, um eine Masse m im Schwerefeld der Erde verschieben Potentielle Energie, die bzgl. eines Referenzpunktes r0 (meist im Undendlichen) gemessen wird Kraft, die auf Teilchen wirkt, erhält man aus der Änderung von V
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Potential versus potentielle Energie
Bemerkung : Potential versus potentielle Energie Potential = potentielle Energie pro Einheitsmasse … Gravitation Potential = potentielle Energie pro Einheitsladung … Elektrostatik i.F. werden wir den Begriff Potential oft an Stelle von potentieller Energie verwenden !!!
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Potentiale Bestimmen Sie die Potentiale für V( x, t ) Freies Teilchen
Teilchen im Schwerefeld Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 , das mit periodischer Kraft F0 cos( w t ) angetrieben wird
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Freies Teilchen Für das freie Teilchen gilt V=0, die Wellenfunktion ist gegeben durch de-Broglie Impuls Beweis (Einsetzen in Schrödingergleichung)
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Freies Teilchen Allgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegung gewinnen Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit
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Zeitentwicklung einer Welle
Monochromatische Welle Dispersionsrelation beschreibt Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge Wellenpaket Zeitentwicklung wird durch Phasenentwicklung bestimmt !
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Zeitentwicklung einer Lichtwelle
Dispersion einer Lichtwelle in Vakuum Zeitentwicklung einer Lichtwelle in Vakuum Welle bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit c entlang der x-Richtung, ändert aber nicht ihre Form
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Lichtpuls in Vakuum Lichtpropagation mit v = c
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Lichtpuls in Vakuum Lichtpropagation mit v = c
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Lichtpuls in Vakuum Lichtpropagation mit v = c
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Snelliussches Brechungsgesetz
Unterschiedliche Phasengeschwindigkeit … Brechung Reflexions- und Brechungswinkel hängen nur von Phasengeschwindigkeit ab
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Lichtdispersion v = c / n(w)
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Lichtpuls in dispersivem Medium
Lichtpropagation mit v = c / n( w )
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Lichtpuls in dispersivem Medium
Lichtpropagation mit v = c / n( w )
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Lichtpuls in dispersivem Medium
Lichtpropagation mit v = c / n( w )
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Lichtpuls in dispersivem Medium
Wellenpaket „läuft auseinander“ Lichtpropagation mit v = c / n( w )
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LäuferInnenfeld „läuft auseinander“
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Freies Teilchen Allgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegung gewinnen Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit Propagation ähnlich wie elektromagnetische Welle in dispersivem Medium
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Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
Materiewelle
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Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
Materiewelle
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Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
Materiewelle
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Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets
Materiewelle
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Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen
Materiewelle
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Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen
Materiewelle
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Bose-Einstein-Kondensat
Rubidium-87 Atome bei Temperaturen unterhalb von ~170 nK
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Bose-Einstein-Kondensat : Interferenz
Atomchip : Schmiedmayer TU Wien Atomwellenfunktion wird räumlich getrennt, danach fallen Atome im Schwerefeld nach unten
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