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Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeine Wellenlehre Wellenfunktion Unter einer Welle versteht man eine Störung, die sich mit der Zeit im Raume.

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1 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeine Wellenlehre Wellenfunktion Unter einer Welle versteht man eine Störung, die sich mit der Zeit im Raume ausbreitet. Mit dem Transport des Bewegungs- zustandes ist ein Transport von Energie verknüpft. Sei x die Ausbreitungsrichtung, und c die Ausbreitungsgeschwin- digkeit. x x0x0 x1x1 ± vt Dann befindet sich die Störung ψ(x 0 ), welche sich zum Zeitpunkt t=0 an der Stelle x 0 befunden hat, nach Ablauf der Zeit t an der Stelle x 1 = x 0 ± ct. Die Form der Auslenkung bleibt erhalten. (fortschreitende Welle)

2 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeine Wellenlehre Eigenschaften der Wellenfunktion ψ(x,t) hängt nicht in unabhängiger Weise von x und t ab, sondern nur in der Kombination Tt T t T t t Jede Welle, unabhängig von ihrer Form, muß diese Gleichung erfüllen

3 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Harmonische Wellen Sie lassen sich als harmonische Schwingungen auffassen, die sich mit der Geschwindigkeit ausbreiten Rückschreitende harmonische Welle: Fortschreitende harmonische Welle: tx Bewegung des Punktes xMomentanaufnahme zur Zeit t tx Periode TWellenlänge λ Kreisfrequenz: Wellenzahl: Auslenkung erfolgt in Ausbreitungsgeschwindigkeit Longitudinalwellen Transversalwellen Auslenkung erfolgt senbkrecht zur Ausbreitungsgeschwindigkeit

4 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Beispiele für Wellen 1. Harmonische Oszillatorkette Die Wellengleichung lautet: Die Störung ψ breitet sich mit der Phasengeschwindigkeit v aus: k = Federkonstante m = Masse des Oszillators a = Oszillatorabstand Ist die Störung harmonisch, lautet die Welle: (x = Ausbreitungsrichtung) Phase: Phasengeschwindigkeit:

5 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Beispiele für Wellen Periodische Druckschwankungen breiten sich in festen, flüssigen und gasförmigen Körpern als Schallwellen aus. Der Druck an der Stelle x sei p(x), an der Stelle x+dx p(x+dx): Betrachten wir die Bewegung des Volumen- elementes dV =A dx an der Stelle x. Die Druckdifferenz führt einerseits zu einer Verschiebung ξ von dV aus seiner Ruhelage gemäß der Gleichung andererseits nach dem Hook schen Gesetz zu einer Kompression: Longitudinale Wellen: z.B. Schallwellen

6 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Schallwellen Wellengleichung : adiabatische Zustandsänderung ist die Kompressibilität bestimmt durch den statischen Druck P st : In Gasen: Longitudunalwellen Isotherme ZustandsänderungMetallstab Saite der Spannung T Beispiel: Luft

7 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Beispiele für Wellen Transversale Wellen: z. elektromagnetische Wellen Ein einfacher Schwingkreis bestehe aus einem Kondensator C, dessen Platten über einen kreisförmigen Leiter miteinander verbunden seinen. Der Leiter besitzt auf diese Weise eine Induktivität L. Die Eigenfre- quenz beträgt auf diese Weise. Man kann den Draht so verbiegen, dass die Eigenfrequenz erhalten bleibt. Im Grenzfall erhält man einen linearen Oszillator, den soge- nannten Hertz´schen Dipol. Legt man an ihm eine Wechselspannung mit der Frequenz ω 0, werden die elektrischen Ladungen zu Schwingungen angeregt. Dabei strahlen sie elektromagnetische Wellen ab. (A = Leiterquerschnitt n = Elektronendichte q = Ladung) mit:findet man:

8 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Der Hertz sche Dipol L C

9 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Die Hertzsche Dipolstrahlung

10 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Strahlung eines schwingenden Dipols + - Phasengeschwindigkeit im Vakuum: Phasengeschwindigkeit im Medium: Berechungsindex n:

11 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Beispiele für Wellen Materiewellen Nach Louis de Broglie läßt sich jedem Teilchen mit dem Impuls p eine Welle der Wellenlänge λ ( de Broglie Wellenlänge) zuschreiben: Sei U das von den Teilchen durchlaufene Beschleunigungspotential. Dann gilt wegen der Energieerhaltung: Elektronen: thermische Neutronen:

12 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Reflexion und Transmission Trifft eine Welle auf die Grenzfläche zweier Medien, mit unterschied- licher Ausbreitungsgeschwindigkeit, wird ein Teil der Welle reflektiert (Reflexion), ein Teil der Welle wird durchgelassen (Transmission). an der Grenzfläche gelten folgende Bedingungen: 1. gleiche Kräfte auf beiden Seiten: 2. Energieerhaltung :1. Harmonische Oszillatorkette x = 0 Mm Amplitudentransmis- sionskoeffizient Amplitudenreflexions -koeffizient

13 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Reflexion und Transmission Im allgemeinen wird von einer Welle Energie transportiert. Diese ist stets proportional zum Quadrat der Amplitude. Der relative Energie- anteil der reflektierten Welle wird durch den Reflexionsgrad R, der der transmittierten Welle durch den Transmissionsgrad T beschrie- ben: Spezialfälle: mM 1 < t < 2 0 < r < 1

14 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Der Wellenwiderstand Analog zum Ladungstransport im Leiter, der durch den Widerstand bestimmt ist, läßt sich die Ausbreitung von Wellen beschreiben durch den Wellenwiderstand Z des Mediums. Dann gilt an der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Wellenwiderstand: Beispiel: Schallwelle Beispiel: elektromagnetische Welle

15 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Interferenz von Wellen Zwei Wellen treffen sich zur Zeit t im Punkte P. Sie sollen bis dahin verschie- dene Wege zurückgelegt haben Amplitude: Phase: konstruktive Interferenz:destruktive Interferenz:

16 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Wellengruppe Wir haben bisher nur Wellenzüge unendlicher Länge behandelt. Im allgemeinen hat man es aber nur mit endlichen Wellenzügen zu tun. Beispiel:Ein angeregtes Atom sendet Strahlung aus. Dauer Länge des Wellenzuges: Man kann einen endlichen Wellenzug sich vorstellen als Überlagerung zweier oder mehrerer unendlicher Wellenzüge benachbarter Frequen- zen. x(t) Gruppe Schwingung

17 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Dispersion x(t) Gruppengeschwindigkeit v gr Phasengeschwindigkeit v ph Gruppengeschwindigkeit Phasengeschwindigkeit Ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge abhängig, spricht man von Dispersion. in dispersiven Medien ist Im allgemeinen ist Es liegt anormale Dispersion vor. Es liegt normale Dispersion vor.

18 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Stehende Wellen Sie entstehen bei der Überlagerung von fortschreitenden und rücklau- fenden Wellen. Reflexion am festen Ende (M>>m) Reflexion am losen Ende (m>>M) Es entsteht eine Entkopplung der zeitlichen u. räumlicher Variablen. Ergebnis: Die einzelnen Massenpunkte schwingen mit konstanter Amplitude, die allerdings vom Ort abhängt. Es findet somit auch kein Transport der Energie statt! Ist der Reflexionskoeffizient r<1 erhält man stattdessen:

19 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Stehende Wellen auf einer schwingenden Saite Bei einer Saite sind die beiden Enden fest eingespannt. Wird eine Schwingung erzeugt, breitet sie sich wellenartig aus. Am Ende wird die Welle reflektiert. Die reflektierte Welle läuft zurück und wird am anderen Ende ihrerseits reflektiert. Es kommt dabei zur Überlage- rung der fortschreitenden und der rücklaufenden Welle. Es entstehen stehende Wellen, wenn die Randbedingungen erfüllt sind: Knoten: bezeichnet einen Punkt mit der Schwingungsamplitude Null Bauch: bezeichnet einen Punkt mit maximaler Schwingungsamplitude Grundschwingung: n=1 wird festgelegt durch die Länge der Saite 2L=λ n= 1,2,3,4…

20 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Stehende Welle in einem Rohr Eine Druckschwankung breitet sich in einem Rohr, wo das Gas nicht ausweichen kann, anders aus als im freien Raum. Dies führt dazu, daß die Schallwelle an einem offenen Ende frei schwingen kann. Sie wird dort so reflektiert, als sei M = 0. Der Reflexionskoeffizient ist positiv. Man beobachtet dann stehende Wellen, wenn gilt: n= 1,2,3,4… n= 0,1,2,3,4…

21 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Dopplereffekt Tritt eine relative Bewegung zwischen dem Erreger der Welle und dem Beobachter auf, mißt man eine Frequenzverschiebungt, die mit zunehmender Geschwindigkeit wächst. Man bezeichnet dieses Phäno- men als den Doppler Effekt (siehe Christian Doppler( )). Bisher sind wir stillschweigend davon ausgegangen, daß der Erreger der Störung (Sender) und der Beobachter (Detektor) in Ruhe sind. Bewegte Quelle Sei 0 Ausgestrahlte Frequenz, v die Geschwindigkeit. Dann mißt der ruhende Beobachter die Frequenz Beobachter Q Flächen gleicher Phase Bewegter Beobachter Q Beobachter Q Der bewegte Beobachter misst

22 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Allgemeines über Wellen Der Mach sche Kegel Bewegte Quelle mit v > v ph Mach scher Kegel R

23 Experimentalphysik II L.. Paul, SS 03 Leitbilder der Physik Christian Doppler ( ) 1803 Geboren am in Salzburg Studium der Mathematik und Physik 1835 Physikprofessor in Prag 1848 Professor Polytechnik Wien 1853 Gestorben in Venedig an Lungenerkrankung Ausbreitung akustischer und optischer Wellen, Entdeckung des Doppler-Effektes : Veröffentlichung des Buches "Über das farbige Licht der Doppelsterne" Experimentalphysik II, M. Hein, SS 02 Die lohnendsten Forschungen sind diejenigen, welche, indem sie den Denker erfreu'n, zugleich der Menschheit nützen.


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