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Massehafte Teilchen1 Hauptseminar WS2002/2003 Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik Wellenpakete und Einzelphotoneninterferenz Michael Grupp 7.Januar.

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1 Massehafte Teilchen1 Hauptseminar WS2002/2003 Schlüsselexperimente zur Quantenmechanik Wellenpakete und Einzelphotoneninterferenz Michael Grupp 7.Januar 2003

2 Einführung 2/34 Einführung Doppelspaltexperimente, Photoeffekt,... Unter welchen Bedingungen zeigen Quantenobjekte Wellen- oder Teilchencharakter? Interpretation von Max Born und Welle-Teilchen-Dualismus Darstellung der Konsequenzen der dualistischen Beschreibung durch Wellenpakete Einzelphotoneninterferenz: vom Gedankenexperiment zum Realexperiment

3 Gliederung 3/34 Gliederung Allgemeine Betrachtungen zu Wellenpaketen Wellenpakete massenhafter Teilchen Wellenpakete masseloser Teilchen Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) Messpostulat der Quantenmechanik Zusammenfassung Quellverzeichnis

4 Allgemeine Betrachtungen 4/34 Allgemeine Betrachtungen Für Photonen gilt im Vakuum die freie Maxwellgleichung Wellengleichung für Photonen Verallgemeinerung Klein-Gordon-Gleichung Nichtrelativistischer Grenzfall freie Schrödingergleichung

5 Allgemeine Betrachtungen 5/34 Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen Diese partiellen Differentialgleichungen sind linear es gilt das Superpositionsprinzip Die Lösung dieser Gleichungen können durch folgende kontinuierliche Fourierentwicklung dargestellt werden:

6 Allgemeine Betrachtungen 6/34 Eigenschaften, Lösung und Dispersionsrelationen Die Lösungen unterscheiden sich in den Dispersionsrelationen Freie Maxwellgleichung Klein-Gordon-Gleichung Freie Schrödingergleichung

7 Allgemeine Betrachtungen 7/34 Allgemeine Darstellung von (k) und (k) Entwicklung der Dispersionsrelation um k 0 Mit v g Gruppengeschwindigkeit und Dispersionsparameter Berechnung von (k) Ist der Anfangszustand bekannt, so gilt

8 Allgemeine Betrachtungen 8/34 Gaußfunktion Es wird nun für (k) eine Gaußfunktion gewählt Mit C Normierungskonstante; bestimmt die Breite der Gaußfunktion Für das Gaußförmige Wellenpaket findet man

9 Allgemeine Betrachtungen 9/34 Interpretation der Wellenfunktion Max Born schlug vor die Wellenfunktion statistisch zu interpretieren: Das Betragsquadrat der Wellenfunktion ist demnach proportional zur Wahrscheinlichkeit das Teilchen nachzuweisen. Für das Gaußförmige Wellenpaket folgt damit Max Born Nobelpreis 1954

10 Allgemeine Betrachtungen 10/34 Unschärferelation Für das Gaußpaket ergibt sich folgende Unschärferelation Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Heisenbergschen Unschärferelation, so ist das Gaußpaket der Zustand geringster Unschärfe für t = 0 bzw. = 0

11 Massenhafte Teilchen 11/34 Massenhafte Teilchen Zunächst: freies Teilchen Gruppengeschwindigkeit Dispersionsparameter Zustand zum Zeitpunkt t=0 hat geringste Unschärfe Wellenpaket zerfließt für t>0 Schwerpunkt des Gaußpaketes bewegt sich auf klassischer Bahn

12 Massenhafte Teilchen 12/34 Visualisierung Die komplexe Zahl kann durch Farben dargestellt werden Der Farbton ist abhängig von der Phase Die Helligkeit ist eine Funktion des Absolutbetrages I z I Für I z I = 0 schwarz Für I z I weiß Visualisierung komplexer Zahlen durch Farben Im z Re z

13 Massenhafte Teilchen 13/34 Freies Teilchen Ruhendes freies Teilchen Bewegtes freies Teilchen

14 Massenhafte Teilchen 14/34 Freies Teilchen Das Auseinanderlaufen eines Wellenpaketes ist kein auf die Quantenmechanik beschränktes Phänomen! Der größte Unterschied zur klassischen Beschreibung von Teilchen steckt in der Bedeutung der Phase des Wellenpaketes Wellenpakete die ein Teilchen beschreiben können mit sich selbst interferieren!

15 Massenhafte Teilchen 15/34 Teilchen in der Box Lösung der freien Schrödingergleichung (x,t) unter Dirichletschen Randbedingungen Analogie zur Spiegelladungsmethode in der Elektrostatik Lösung für eindimensionale Box der Länge L

16 Massenhafte Teilchen 16/34 Teilchen in der Box Ensemble aus klassischen Teilchen würde sich mit der Zeit gleichmäßig auf L verteilen Quantenmechanische Betrachtung führt auf Strukturen! 1. Gebrochene Wiederkehr 2. Wiederkehr ist die Wiederkehrzeit

17 Massenhafte Teilchen 17/34 Teilchen in der Box Quantenteppich – Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Falschfarbendarstellung (aus Studienführer Physik, Universität Ulm, 2002)

18 Massenhafte Teilchen 18/34 Weitere Beispiele Gaußpaket trifft auf Potentialstufe Gaußpaket trifft auf Potentialbarriere

19 Masselose Teilchen 19/34 Masselose Teilchen Die Dispersionsrelation führt auf Gruppengeschwindigkeit Dispersionsparameter Die Form eines Wellenpakets, das sich im Vakuum mit c ausbreitet bleibt erhalten Gaußpaket ist Zustand geringster Unschärfe für alle t

20 Masselose Teilchen 20/34 Energie-Zeit-Unschärferelation Die Breite x des Wellenpaketes lässt sich als seine Kohärenzlänge festlegen Impulsunschärfe Die Energie-Zeit-Unschärferelation folgt nicht direkt aus der Heisenbergschen Unschärferelation!

21 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 21/34 Versuch von Grangier (et al.) Experimenteller Nachweis der Einzelphotoneninterferenz Notwendig: Hochgeschwindigkeitselektronik daher war dieser Versuch erst 1985 durchführbar Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen? Erster Versuchsteil : ein Stahlteiler Photonen verhalten sich wie Teilchen Zweiter Versuchsteil : Mach-Zehnder-Interferometer Einzelphotoneninterferenz

22 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 22/34 Erster Versuchsteil Einzelne Photonen treffen auf einen Strahlteiler und werden durch zwei Photomultipier nachgewiesen.

23 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 23/34 Wie erzeugt man kontrolliert einzelne Photonen? Quelle: Durch Laser angeregte Kalziumatome angeregter Zustand zerfällt in zwei Schritten in den Grundzustand das erste emittierte Photon 1 wird von PM 1 nachgewiesen und das Gate wird für w 9ns geöffnet nur während w kann das zweite Photons 2 (Lebensdauer 2 = 4,7ns) durch die Photomultipier PM r und PM t nachgewiesen werden

24 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 24/34 Was wird gemessen? – Klassische Betrachtung Wahrscheinlichkeiten gemittelte Intensität während Messzeit Aus der Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung folgt Damit gilt für die Wahrscheinlichkeiten (Anti)korrelationskoeffizient

25 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 25/34 Was wird gemessen – quantenmechanische Betrachtung Die Verletzung der klassischen Ungleichung führt auf ein Antikorrelationskriterium, das ein nichtklassisches Verhalten charakterisiert. Eine umfangreiche quantenmechanische Rechnung führt auf ist in diesem Experiment nahe 1

26 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 26/34 Ergebnis: Photon zeigt Teilcheneigenschaft Vergleich zwischen Messergebnissen und der theoretischen Kurve (durchgezogen) Maximal gemessene Verletzung der klassischen Ungleichung: Messzeit T 5h bei N s -1 Klassische Theorie sagt 50 Koinzidenzen voraus gemessen wurden nur 9! Die Photonen verhalten sich in diesem Experiment wie Teilchen!

27 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 27/34 Mach-Zehnder-Interferometer Die Versuchsanordnung wird nun in ein Mach-Zehner-Interferometer umgebaut.

28 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 28/34 Wellenpaket Wellenpaket eines Photon, das von einem Atom emittiert ist lorentzförmig Zur Erinnerung: Wellenpaket behält seine Form (Vakuum!) Abschätzung der Kohärenzlänge Kohärenzlänge ist unabhängig von Abstand Quelle-Detektoren Beobachtung der Interferenz hängt von der Wegdifferenz ab und nicht von dem Abstand Quelle-Detektor

29 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 29/34 Ergebnis: Photon zeigt Welleneigenschaften Gemessen wurde um die Weißlichtposition =0 in 256 Stufen mit einem jeweiligen Abstand von /50 (8,45nm) : a) 1s Messzeit pro Kanal b) 15s Messzeit pro Kanal

30 Einzelphotoneninterferenz - Versuch von Grangier (et al.) 30/34 Teilt sich das Photon? Auch hier: Erster Stahlteiler teilt das Wellenpaket in zwei Teilpakete Beide Teilwellenpakete bestimmen die Wahrscheinlichkeit das eine Photon nachzuweisen Wellenpaket sieht und nutzt alle Möglichkeiten sich im Interferometer auszubreiten Photon ist an der Quelle und an dem Detektor lokalisierbar dazwischen nicht

31 Gedankenexperiment 31/34 Gedankenexperiment – Eigenschaft Weg Photonen lassen sich durch Polarisationsfilter markieren Beide gleich eingestellt Interferenzmuster Ungleich eingestellt kein Interferenzmuster

32 Messpostulat 32/34 Messpostulat der Quantenmechanik Obwohl ein Quantenobjekt eine Eigenschaft nicht besitzen muss, wird bei einer Messung dieser Eigenschaft immer ein bestimmter Wert (Eigenwert) gefunden!

33 Zusammenfassung 33/34 Zusammenfassung Quantenmechanik seit fast achtzig Jahren eine der erfolgreichsten Theorien Dynamik einzelner Quantenobjekte kann durch Wellen- pakete beschrieben werden Wellenpakete können visualisiert werden und damit die Quantenmechanik verdeutlichen Die Einzelphotoneninterferenz hat den Welle-Teilchen- Dualismus des Photons bestätigt (1985(!))

34 Quellverzeichnis 34/34 Quellverzeichnis B. Thaller, Visual Quantum Mechanics, Springer-Verlag, New York, 2000 (http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/)http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/ T. Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000 Grangier, P.; Rogier, G; Aspect, A., Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beamsplitter, Europhys. Lett. 1 (1986)173 P. Grangier cited by A. L. Robinson, Science 231(1986)671 Müller,R;Wiesner,H., Photonen im Mach-Zehnder-Interferometer, Universität München (http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/quanten/Interferometer.pdf)http://www.physik.uni-muenchen.de/didaktik/quanten/Interferometer.pdf W.P.Schleich, Elements of Quantum Mechanics, Ulm, 2002


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