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2. Die Welle-Teilchen-Dualität 2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge Photonen:...sind e.m.-Wellen...und masselose Teilchen Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis.

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1 2. Die Welle-Teilchen-Dualität 2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge Photonen:...sind e.m.-Wellen...und masselose Teilchen Hypothese: ( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 ) Umgekehrt haben auch,,Teilchen (Elektronen, Atome, Kristalle, Katzen,...) Wellencharakter mit Nichtrelativistische,,Teilchen der Masse m: de-Broglie-Wellenlänge

2 Beispiel: Elektronenbeugung m e c keV U 511 kV Beschleunigungsspannung: U 100 V 0,12 nm Gitterkonstanten ( 0,3 0,7 ) nm Kristallbeugung ist möglich (Experiment: Davisson, Germer 1926, Nobelpreis 1937) Kantenbeugung am MgO-Einkristall X-Rays e

3 Zählrate Beispiel: Elektronenbeugung am Youngschen Doppelspalt Detektor / Film l Doppelspalt, l, Spaltbreiten Interferenz von 2 Punktquellen s l intensiver Elektronenstrahl Exp.: Schwacher Elektronenstrahl Auftreffen von Einzelelektronen Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst!

4 Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig? Zählrate l Elektronenstrahl passive Ladungssonde Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden. Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet, sobald die Sonden aktiviert werden. Durch die (,,passive) Messung wurde die quantenmechanische,,Kohärenz zerstört. Jede Messung ändert das gemessene System!

5 Realisierung des Doppelspaltexperiments (Düber, Möllenstedt): n O l d Basislänges l I(y) optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma N(y) HV Kathodenstrahl- Quelle 0 V HV Metallfaden, O( m)

6 2.2. Die Wellenfunktion (Zusammenfassung, Details Theorie) Einfachster Fall:Die Bewegung einer Punktmasse m wird durch deren komplexe Wellenfunktion beschrieben. Physikalische Bedeutung: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort zur Zeit t Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen d 3 r um zur Zeit t Bewegungsgleichung im Potential V: Schrödingergleichung: ( lineare Dgl.) (Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933)

7 Lösung für freie Teilchen (V 0): Wellenpaket ( Superposition ebener Wellen) mit nichtlinearer Dispersionsrelation: de Broglies Ansatz:

8 Ortsraum und k-Raum (bzw. Impulsraum): Ortsraum:Impulsraum: Wahrscheinlichkeitserhaltung: Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeitsflussdichte: Kontinuitätsgleichung:

9 Klassischer Grenzfall ( ): klassischer Messwert,,Erwartungswert Ort: Impuls: Impulsoperator (hermitescher) Messoperator Ô : Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô : Standardabweichung (vgl. Praktikum)

10 2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation (Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932) Wellenbild Unschärferelationen Analogie zur Optik Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen Beispiel: Orts / Impuls-Unschärfe (Gleichheit gilt für gaußförmige Wellenpakete) Spezialfall: Energie / Zeit-Unschärfe Anwendung: Lebensdauer angeregter Zustände, radioaktiver Kerne,... natürliche Linienbreite:

11 Experiment: Elektronenbeugung am Spalt b x 1 x N e ebene Welle x völlig unbestimmt

12 Objektiv Punktabbildg. durchs Okular/Auge D d x Gedankenexperiment: Auflösungsgrenze des Mikroskops Rückstoß pxpx Teilchen D d x Objektiv Punktabbildg. durchs Okular/Auge Punktabbildg. Photonen im Kegel ununterscheidbar Beugung Photonen aus Kegel ununterscheidbar x kleiner bessere Ortsauflösung größere Impulsverschmierung

13 2.4. Potentialkästen Betrachte stationäre Potentiale: (zunächst 1-dimensional) Ansatz: mit Stationäre Schrödingergleichung Gesamtenergie potentielle Energie Operator der kinetischen Energie Lösung ( Theorie) Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte Hier: Anschauliche Darstellung und Computersimulationen

14 E2E2 E1E1 E0E Rechteckpotentiale Randbedingung: a Déjà vu: wie schwingende Saite sinusförmige Eigenmoden, quantisierte Frequenzen x0a E E 0 Teilchen in unendlich hohem Rechteck-Potentialtopf Es gibt eine Nullpunktsenergie: E n wächst quadratisch mit der Quantenzahl n. Anders als Photonen! E Knoten von Krümmung von. a E wächst quadratisch.

15 Computer-Exp.:Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf Teilchen dringt in energetisch verbotenen Bereich V E ein; dort fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. Es gibt nur noch endlich viele diskrete Energiezustände mit E n V 0. Oberhalb der Ionisationsenergie V 0 entsteht ein Energiekontinuum freier Zustände. E2E2 E1E1 E0E0 x0a E E 0 V0V0

16 Harmonischer Oszillator E2E2 E1E1 E0E0 x0 E E 0 Teilchen im harmonischen Potential E3E3 Qualitativ: Unendliche Folge von Kastenpot. wachsender Höhen Unendl. Folge diskreter Niveaus Exp. Dämpfung in verbotenen Bereichen Es gibt eine Nullpunktsenergie Energiequantenzahl n Knoten Theorie Im harmonischen Oszillator-Potential unterscheiden sich benachbarte Energie-Niveaus um das Energiequantum. Dabei ist die klassische Eigenfrequenz des Oszillators. Plancksche Quantenhypothese: Übergänge durch Absorption oder Emission von Energiequanten (z. B. Photonen oder Phononen)

17 2.5. Der Tunneleffekt Potentialstufen x E 0 V0V0 x E 0 V0V0 Rechteckstufe enthält die wesentliche Physik Form der Stufe Details Untersuche die monoenergetischen harmonischen Teilwellen des Wellenpakets

18 x E 0 V0V0 a) : klassisch R, T Reflexions-, Transmissionskoeffizienten für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten x quantenmechanisch x Überlagerung: einlaufend reflektiert verbotene Zone: exponentielle Dämpfung

19 x E 0 V0V0 b) : klassisch x quantenmechanisch x einlaufend reflektiert auslaufend Bemerkung: Gilt auch bei negativen Potentialstufen. Wellenpaket Überlagerung aller harmonischen Teilwellen.

20 Potentialbarrieren x E 0 V0V0 Rechteckbarriere enthält die wesentliche Physik Barrierenform Höhe und Breite Untersuche die monoenergetischen harmonischen Teilwellen des Wellenpakets x E 0 V0V0 a

21 x E 0 V0V0 a) : klassisch x quantenmechanisch x exponentielle Dämpfung getunnelte Welle

22 x E 0 V0V0 b) : klassisch x quantenmechanisch x Tunneleffekt R T Interferenz der reflektierten Teilwellen

23 E0E0 E1E1 E2E2 V extern E extern z Exp. Test des Tunneleffekts (1): Feldemission des Wasserstoffs z 0 E V Coulomb V tot e e Tunneleffekt Coulombfeld Proton Elektron z Emission

24 V Coulomb Experimenteller Test des Tunneleffekts (2): -Zerfall von Kernen r 0 E -Teilchen Helium-Kern (2 Protonen 2 Neutronen), Ladung 2e V Kern V tot Tunneleffekt Atomkern Ladung Ze starke Kernkraft r

25 V z V 0 Exp. Test des Tunneleffekts (3): Tunnelschwingung des NH 3 -Moleküls H N H H z Bindungsenergie des N-Atoms in H 3 -Ebene: Stabile Bindungsposition Symmetrische Bindungsposition Tunneleffekt


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