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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 7. April 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006.

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1 TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 7. April 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

2 TSS SS06: Teilchenphysik II2 ÜBERBLICK 1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 1.1 Schrödinger-Gleichung 1.2 Klein-Gordon-Gleichung 1.3 Hinführung zur Dirac-Gleichung 1.4 Niederenergiegrenzfall der Dirac-Gleichungen 1.5 Die Pauli-Gleichung, das magnetische Moment des Elektrons 1.6 Kovariante Schreibweise, Notation 1.7 Vollständige Lösung der Dirac-Gleichung 1.8 Spin des Elektrons 1.9 Viererstromdichte 1.10 Die Lösungen negativer Energie - Antiteilchen

3 TSS SS06: Teilchenphysik II3 mit der Frequenz 0. Anwendung des Energie-Operators auf die vier Lösungen ergibt: Was ist die Interpretation der Lösungen mit negativer Energie ? Wir betrachten zuerst ein freies, ruhendes Elektron: Dann vereinfacht sich die Dirac-Gleichung: Ausgeschrieben bedeutet das: Dafür gibt es 4 unabhängige Lösungen: 1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN

4 TSS SS06: Teilchenphysik II4 Einsetzen in die Dirac-Gleichung Einzelne Betrachtung der oberen und unteren Komponente; zuerst die untere: Nach einiger Rechnung und unter Verwendung von und p 2 /2m<

5 TSS SS06: Teilchenphysik II5 Geladenes Teilchen im Potential A, : Ersetzen des Impuls … … und Berücksichtigen der potentiellen Energie: Übergang zu Operatoren … … führt zu folgender Gleichung für die große Komponente: Das wiederum führt zur Pauli-Gleichung: Diese Gleichung beinhaltet sowohl den Spin als auch das magnetische Moment des Elektrons und seine Wechselwirkung mit dem B-Feld. Die potentielle Energie eines magnetischen Moments im B-Feld lautet: Der Term proportional zum B-Feld stellt diese potentielle Energie dar; das magnetische Moment des Elektrons lautet also … … wobei gilt: Der Faktor 2 in der Definition des magn. Moments des Elektrons ist der Lande-Faktor g, dessen Wert im Experiment zu etwa 2 bestimmt wurde, der aber bis zu Dirac unerklärlich war! Die Abweichung g-2 kann in der QED berechnet werden; die Messung dieser Größe stellt einen der genauesten Tests der QED dar! 1.5 DIE PAULI-GLEICHUNG

6 TSS SS06: Teilchenphysik II6 Definiere den kontravarianten Vierervektor: Beispiel: Viererimpuls p, Raumzeit x: Metrischer Tensor: Einsteinsche Summenkonvention und kovarianter Vierervektor: Vierervektor-Produkte sind lorentz-invariant: 1.6 KOVARIANTE SCHREIBWEISE Beispiel: Die Viererableitungen: Zur weiteren Komplikation setzt man: Man drückt also Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten des Plankschen Quantums aus!

7 TSS SS06: Teilchenphysik II7 Wir wollen nun die Kovarianz der Dirac-Gleichung auch in der Schreibweise herausstellen. Dazu definieren wir die -Matrizen: Damit schreibt man die Dirac-Gleichung um: 1.7 DIRAC KOVARIANT Der Vierervektor der -Matrizen … … und die kovariante Ableitung … … erlauben folgende Schreibweise: Mit dem dagger-Symbol … … folgt: Die -Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelation:

8 TSS SS06: Teilchenphysik II8 Nun die generelle Lösung der Dirac-Gleichung. Wir betrachten folgenden oszillatorischen Term: Für die Energie-Eigenwerte folgt (E>0): Wahl des Ansatzes und Einsetzen: 1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL. Nebenrechnung: Damit folgt das Gleichungssystem: Für positive Energien folgt aus der 2. Gleichung: Es zeigt sich, dass frei wählbar ist; wähle und verifiziere durch Einsetzen in obere Gleichung: Oberes Vorzeichen: positive Energie; unteres Vorzeichen: negative Energie.

9 TSS SS06: Teilchenphysik II9 Das führt auf zwei Lösungen positiver Energie. Mit folgt: Jetzt negative Energien (unteres Vorzeichen). Aus der ersten Gleichung folgt und jedes erfüllt Gleichungen. 1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL. Normierung N der Dirac-Spinoren? Konvention: Die vollständigen Lösungen der Dirac-Gleichung lauten also:

10 TSS SS06: Teilchenphysik II10 Spezialfall 1: Impuls in +z-Richtung: Explizite Form der Spinoren: Anwendung des Spin-Operators S 3 auf u 1 etc.: Analog: S 3 u 2 =-½u 2, S 3 v 1 =-½v 21, S 3 v 2 =½v 2 Dirac-Gleichung liefert korrekten Spin ½! Kleine Komplikation: In der Zukunft werden v1,2 Antiteilchen beschreiben – daher dreht sich noch das Vorzeichen um; v 1 hat also Spin +½, v 2 Spin -½. Spezialfall 2: Impuls in -z-Richtung: Die Form des Spinors ändert sich … … aber der Spin bleibt der gleiche: Spin ist bezogen auf die Quantitiserungsachse! 1.8 DER SPIN DES ELEKTRONS

11 TSS SS06: Teilchenphysik II11 Wir schreiben zuerst die Stromdichte um: Dabei wurde die Definition des adjungierten Spinors verwendet: Zusammen mit der Dichte kann man dann eine Viererstromdichte definieren: Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu (nachrechnen!): 1.9 DIE VIERERSTROMDICHTE

12 TSS SS06: Teilchenphysik II12 Idee Dirac (1928, NP 1933): Gemäß dieser Löcher- und See-Theorie sollten sich Löcher wie positiv geladene Teilchen verhalten Begriff der Antiteilchen. Anwendung auf Festkörper (Halbleiter!) sehr erfolgreich; Probleme in der Teilchenphysik – das Pauli-Prinzip gilt nicht für Bosonen! Daher alternative Idee von Feynman (E>0!): Für positive/negative Energien galt ja: 1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE Alle Zustände negativer Energie sind besetzt (Pauli- Prinzip) bei voller Besetzung sind sie egal. - Ist eines der Niveaus unbesetzt, dann kann ein Elektron mit E>0 dahin wechseln und ein Photon mit E >2m e aussenden; - Alternativ kann ein Photon mit E >2m e ein Elektron von negativer auf positive Energie heben. Man interpretiert Lösungen negativer Energie als Teilchen, die rückwärts in der Zeit laufen beziehungsweise als Antiteilchen, die vorwärts in der Zeit laufen : ENTWEDER hat das Teilchen negative Energie und Impuls ODER es hat positive Energie und Impuls und läuft rückwärts in der Zeit. Was aber bedeutet: Ein Teilchen läuft rückwärts in der Zeit?

13 TSS SS06: Teilchenphysik II13 Ein Schritt: 1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE Mehrere Schritte: t x 1 2 e – 1 2 e + Das Elektron (die negative Ladung) wandert von 1 nach 2 effektiv wandert eine positive Ladung (das Positron) von 2 nach 1. t x 3 e e – Das Elektron wandert rückwärts in der Zeit – der Schritt 2 3 kommt also VOR dem Schritt 1 2 Das Positron wandert 3 2 1, also vorwärts in der Zeit Antiteilchen tragen die negativen additiven Quantenzahlen der Teilchen!


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