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8 Das Bohrsche Atommodell 1.Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick 2.Kann man Atome sehen? Größe des.

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Präsentation zum Thema: "8 Das Bohrsche Atommodell 1.Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick 2.Kann man Atome sehen? Größe des."—  Präsentation transkript:

1 8 Das Bohrsche Atommodell 1.Einführung 1.1. Quantenmechanik – versus klassische Theorien 1.2. Historischer Rückblick 2.Kann man Atome sehen? Größe des Atoms 3.Weitere Eigenschaften von Atomen: Masse, Isotopie 4.Atomkern und Hülle: das Rutherfordexperiment 5.Das Photon: Welle und Teilchen 6.Teilchen als Welle (de Broglie) 7.Heisenbergsche Unschärferelation 8.Das Bohrsche Atommodell 8.1. Experimenteller Befund 1: Diskrete Spektren 8.2. Experimenteller Befund 2: Franck Hertz Versuch 8.3. Model: Die Bohrschen Postulate 8.4. Veranschaulichung des Models 1: Rydbergatome 8.5. Korrektur durch endliche Kernmasse 8.6. Veranschaulichung des Models 2: Myonische Atome 8.7. Veranschaulichung des Models 3: Positronium, Antiwasserstoff 8.8. Weitere Korrektur: Sommerfeld 8.9. Bohrmodell und DeBroglie Wellen Die Grenzen des Bohrmodells 9. Grundlagen der Quantenmechanik

2 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

3 Klassische Mechanik Quantenmechanik Teilchen Punkt im Phasenraum Wellenfunktion komplexwertig (r,t) normierbar s 2 (x) dx =1 stetig differenzierbar Evolutions gleichung Hamilton GleichungenSchrödingergleichung Mess grössen Funktionen von r,p Operatoren Ort: x(t) Impuls mv(t)=m dx(t)/dt Drehimpuls L= X (Multiplikation mit x) Energie (Hamilton-Funktion) Drehimpulsoperator Hamiltonoperator Basis Abgeleitet, allgemein: ersetzt x,p durch Operatoren Messung: Jede Einzelmessung kann als Zahlenwert nur die Eigenwerte des Operators liefern. Beispiel 1: Impuls Eigewertgleichung: Beispiel 2: Energie: H (x) = E (x) Energieeigenwerte (Diskrete Energien) Energieoperator Wellengleichung für ein Teilchen im Potentzial V(r) Zeitabhängige SG daraus folgt mit (r),t)= (r) e iE/~ t die stationäre SG, siehe extra slide Prinzip 2: Jeder physikalischen Größe A(r, p) (Observable), die eine Funktion von Ort r und Impuls p eines Teilchens ist, entspricht ein Differentialoperator Â, den man erhält, indem man p durch -iħ ersetzt: Prinzip 1: 9. Grundlagen der Quantenmechanik

4 Zeitabhängige Schrödingergleichung: Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Ansatz: Für zeitunabhängiges Potential Wie kommt man drauf? Geraten, aber naheliegend! Wieso ist das die Energie? Zunächst nur Konstante die E heisst Dimension Energie: ~ == Energie*Zeit Gesamtenergie klärt sich bei Anwendung 9. Grundlagen der Quantenmechanik

5 Zeitabhängige Schrödingergleichung: Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Für zeitunabhängiges Potential 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Linear: wenn a (x) und b (x) Lösungen sind Löst auch x) = A * a (x) + B * b (x) Bsp: Überlagerungen von Ebenen Wellen zu Wellenpaketen

6 Zeitabhängige Schrödingergleichung: Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Für zeitunabhängiges Potential 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Ae ikx + B e -ikx löst: Kinetische Energie Konstante E Ist die Energie des Systems (da V(x)=0 nur kinetische Energie)

7 Zeitabhängige Schrödingergleichung: Komplexwertige Wellenfunktion (x,t) Beispiel: deBroglie Ebene Welle A(x,t) = A 0 cos(kx - t) Für zeitunabhängiges Potential 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Schrödingergleichung Für zeitunabhängiges Potential Ansatz: Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Ae ikx + B e -ikx löst: Beispiel 1: V(x)=0 Allgemeiner Ansatz: (x)=Ae ikx + B e -ikx Mit Zeitabhängigkeit: löst:

8 9. Grundlagen der Quantenmechanik Beispiel 2: Unendlicher Potentialkasten V(x)= 0 für 0·x¸L 1 sonst (x)=Ae ikx + B e -ikx (x·0)= (x¸L)=0 (x=0) = 0 ) A+B=0 ) (x)=A(e ikx - e -ikx )=2iA sin(kx) Randbedingung 1 (x=L) = 2iA sin(kL) = 0 ) kL= n (n=1,2,3...) Rand- bedingung 2 Quantenzahlen n Stationäre Wellenfunktionen in der Box: N ist nicht Anzahl der Knoten N=0 ist psi=o kein Teilchen Mögliche Energieniveaus in der Box: fehlte Stationäre Schrödingergleichung

9 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1)Nur feste Impulse 2)Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3)Woher kommt die Quantisierung?? 4)Zeitentwicklung der Zustände? hängt von E n (n 2 ) ab!

10 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1)Nur feste Impulse 2)Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3)Woher kommt die Quantisierung?? 4)Zeitentwicklung der Zustände? hängt von E n (n 2 ) ab!

11 9. Grundlagen der Quantenmechanik Visualisierung der Zeitabhängikeit der Zustände: a) Eigenzustände haben keine Zeitabhängikkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Aufenthaltswahrscheinlichkeit Real Imaginärteil

12 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Mögliche Energieniveaus in der Box: Stationäre Schrödingergleichung Bemerkungen: 1)Nur feste Impulse 2)Nullpunktsenergie (steigt wenn L->0) 3)Woher kommt die Quantisierung?? 4)Zeitentwicklung der Zustände? 5) Was passiert wenn man andere Energie, Wellenfunktion erzwingt? z.B. Barriere aufziehen?

13 9. Grundlagen der Quantenmechanik Imagine a quantum particle initially described by a Gaussian wave packet centered at the middle of a square box, with momentum zero. WAS PASSIERT??

14 9. Grundlagen der Quantenmechanik Teilchen mit Anfangsimpuls in 2 dim Potentialtopf (k x, k y ) = (0.86, 0.5) ( x, y ) = (2, 2 )

15 9. Grundlagen der Quantenmechanik Stationäre Wellenfunktionen in der Box: Mögliche Energieniveaus in der Box: Wichtigste Lehre aus dem Beispiel unendlicher Potentialtopf: Quantenzahlen, und die Quantisierung einer Größe sind Folge der Randbedingungen und der Forderung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit Am Beispiel der Potentialtopf ist dies ohne explizites Lösen der Schrödingergleichung ersichtlich, bei echten Potentialen ist dies etwas versteckter, das Prinzip ist aber gleich. Ausblick: Die Quantisierung des Drehimpulses wird sich auch herausstellen als Folge von Randbedingungen, allerdings nicht des Potentials, sondern aus der Rotation

16 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.1. Operatoren, Messwerte 9.2. Zeitabhängige und stationäre Schrödingergleichung 9.3. Beispiel 1: Ebene Wellen als Lösung der Potentialfreien Schrödingergleichung 9.4. Beispiel 2: Der unendliche Potentialtopf 9.5. Beispiel 3: Die Potentialstufe 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator

17 (II) Bereich (II): Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 (I) Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx 2 (x)=C e x + D e - x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)= (C-D) (ii)

18 9. Grundlagen der Quantenmechanik reel ) C=0 weil sonst II (x!1) divergiert (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e x + D e - x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)= (C-D) (ii) Fall a) E

19 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e x + D e - x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)= (C-D) (ii) Fall a) E ~

20 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e x + D e - x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)= (C-D) (ii) Fall b) E>E 0 klassisch: Teilchen fliegt mit verminderter Geschwindigkeit weiter

21 (x)=C e ikx + D e -ikx D=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen D=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k (A+B) ) (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e x + D e - x (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)= (C-D) (ii) Fall b) E>E 0

22 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e x + D e - x I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) Fall b) E>E 0 (x)=C e -ikx + D e ikx C=0, da keine Teilchen in (II) nach links fliegen C=0 Æ (i) Æ (ii) ) ik(A-B)=-k (A+B) ) 1.Auch wenn E>E 0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_ 0 ) 2.Wellenfunktion |A| 2 |B| 2 |D| 2

23 (II) (I) Stationäre Schrödingergleichung Potentialstufe x E(x) E0E0 Bereich (I): V(x)=0 ) (x)=A e ikx + B e -ikx Bereich (II): 2 (x)=C e x + D e - x |A| 2 |B| 2 |D| 2 (x) soll stetig differentierbar auch bei x=0 sein (Randbedingung) ) I (x=0)= II (x=0) ) A+B=C+D (i) ) ik(A-B)=- (C-D) (ii) 1.Auch wenn E>E 0 wird ein Teil der Welle reflektiert! (Je mehr, je höher E_ 0 ) 2.Wellenfunktion

24 9. Grundlagen der Quantenmechanik Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: E = ½ E kin Ort Impuls + auf Stufe zu - reflektiert Teilchen läuft mit doppelter Energie der Stufe auf die Stufe zu ein klassisches Teilchen würde mit 1/2E kin weiterlaufen!

25 9. Grundlagen der Quantenmechanik Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Teilchen läuft bergab: klassisch würde es beschleunigt weiterlaufen

26 9. Grundlagen der Quantenmechanik Veranschaulichung der Potentialstufe mit Wellenpaketen: Potentialstufe in 2 Dimensionen Farbcode: Farbe: Phase Sättigung: Amplitude

27 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt (II) (I) x E(x) E0E0 Idee: kann man die Welle freisetzen??

28 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt (I) (II) (III) x 0a E0E0 (x)=A e ikx + B e -ikx (x)=A e ikx Randbedingungen: I (0)= II (0), II (a)= III (a) Transmissionskoeffizient (E>1 (dicke Barriere) Höhe 0.3eV, Breite 1nm (x)=C e x + D e - x

29 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt Transmission hängt ab von: 1.Barrierenhöhe (Exponentiell) 2.Barrierenbreite a 3.Masse Makroskopisch irrelevant

30 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt E kin

31 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.6. Der Tunneleffekt Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Alpha Zerfall: Pollonium 212 Po -> Pb MeV 208 Pb He Kernkräfte Coulombabstossung Tunnel- wahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten!

32 9. Grundlagen der Quantenmechanik Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei Wand: Potentialstufe Zwischenraum: Potentialbarriere x 0a Spitze Substrat Zwischenraum

33 9. Grundlagen der Quantenmechanik Tunneleffekt Beispiel 1: Alphazerfall von Kernen Tunneleffekt Beispiel 2: Rastertunnelmikroskop Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional Dämpfung!!! Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation)

34 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Stationäre Schrödingergleichung: Potential: E n n 2 E(x) E0E0

35 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Stationäre Schrödingergleichung: Potential: (x) (x)| 2 Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ Gausskurve: 1.Tunnels in den klassich verbotenen Bereich 2.Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

36 9. Grundlagen der Quantenmechanik 9.7 Der (quantenmechanische) harmonische Oszillator Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen E kin und E pot Stationäre Schrödingergleichung: Potential: (x) (x)| 2 Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ Hermitesche Polynome

37 9. Grundlagen der Quantenmechanik Harmonischer Oszillator: 1.Energieniveus äquidistant (~ ) 2.Nullpunkstenergie 1/2 (~ ) Kastenpotential: E n n 2 Bohrsche Atom: E n 1/n 2

38 9. Grundlagen der Quantenmechanik Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret

39 9. Grundlagen der Quantenmechanik Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit =20 =4 =0

40 9. Grundlagen der Quantenmechanik Überlagerung von Zuständen 0,1 Ort Impuls Merke: Grosse Auslenkung Kleiner mittleren Impuls!

41 9. Grundlagen der Quantenmechanik Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum


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