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3. Eine Metrik für das Universum: Robertson-Walker Metrik Kosmologisches Prinzip: Die Welt ist homogen und isotrop, d.h. das Universum sieht (zu einem.

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1 3. Eine Metrik für das Universum: Robertson-Walker Metrik Kosmologisches Prinzip: Die Welt ist homogen und isotrop, d.h. das Universum sieht (zu einem bestimmten Zeitpunkt) von allen Orten aus gleich aus ! Dies gilt nicht nur für die Massendichte, sondern auch in Bezug auf die chemische Zusammensetzung der Sterne, auf Häufigkeit der Sterntypen etc. Welche Zeit ? Wessen Zeit ?

2 Spezielle Relativitätstheorie: Konzept der Zeit ist klar, wenn man das Inertialsystem festlegt (es gibt globale Inertialsysteme). Allgemeine Relativitätstheorie: Es gibt kein globales Inertialsystem. (Es sei denn, die Raumzeit ist flach !). Man kann einem Ereignis keine eindeutige Zeit zuordnen ! Konzept der dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen !

3 Kosmologische Flüssigkeit: Betrachte die Menge aller Galaxien (besser: die Massenmittelpunkte von Galaxien-Clustern) als homogene Flüssigkeit. Bewegung dieser Flüssigkeit = kosmologischer Fluss

4 Weyl Postulat: Die 4-dim. Raumzeit, in der unser Weltall existiert, ist zerlegbar in dreidimensionale Hyperflächen konstanter Zeit (Foliation). Die Teilchen der kosmologischen Flüssigkeit (Galaxien-Cluster) bewegen sich auf Geodäten, die auf den einzelnen Blättern der Foliation (das sind 3-dim. räumliche Mannigfaltigkeiten) senkrecht stehen.

5 Homogenität des Raumes: Durch jedes Ereignis im Universum geht eine homogene raumartige Hyperfläche Die physikalischen Gegebenheiten (Dichte und Druck) sind in allen Ereignissen der Hyperfläche gleich. Isotropie des Raumes: Ein Beobachter, welcher sich mit der kosmologischen Flüssigkeit bewegt, kann durch keine physikalische Messung zwischen verschiedenen Raumrichtungen unterscheiden. Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit schneiden die homogenen raumartigen Hyperflächen senkrecht !

6 (1.) Wähle eine homogene raumartige Hyperlfäche S I aus und versehe diese mit einem räumlichen Koordinatennetz (x 1, x 2, x 3 ). (2.) Ordne allen Ereignissen auf dieser Hyperfläche die Koordinatenzeit t i zu. (3.) Verschiebe die Hyperfläche S I entlang der Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit und ordne allen Ereignissen auf einer Weltlinie diejenige räumlichen Koordinaten (x 1, x 2, x 3 ) zu, bei welchen diese die Hyperfläche S I schneidet ! Parametrisiere die Weltlinie mit reellem Paramter t (x 1, x 2, x 3 ) = const. x 0 = t = t i + const. mit Metrik ij (x k ) dx i dx j mit Metrik R 2 (t) ij (x k ) dx i dx j SISI

7 Metrik (Geometrie) auf S I : ij (x k ) dx i dx j Metrik der Raumzeit in comoving coordinates: ds 2 = c 2 dt 2 - a 2 (t) ij (x k ) dx i dx j universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor mit a(t 0 ) = 1

8 Denn: gäbe es Terme, dann würden räumliche Verschiebungen dx k und –dx k mit unterschiedlichem Vorzeichen zu ds 2 über ein kleines Zeitintervall dt beitragen wird durch Isotropie verboten ! Der Weg zur Robertson-Walker Metrik 1.) Isotropie: Stromlinien / Weltlinien der kosmischen Flüssigkeit stehen senkrecht auf den homogen raumartigen Hyperflächen.

9 2.) Die Weltlinien der kosmischen Materie sind zeitartige Geodäten. g 00 hängt nur von x 0 ab. neue Zeitkoordinate d.h. Galaxien-Cluster sind frei fallende Teilchen, bewegen sich also frei im Gravitationsfeld der übrigen Materie.

10 3.) Damit die räumliche Isotropie erhalten bleibt, muss die Zeitabhängigkeit für alle Komponenten von dieselbe sein: In einem Blatt fester Zeit t 0 sei die räumliche Metrik universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktor mit a(t 0 ) = 1

11 Beschreibt die Form aller homogenen raumartigen Hyperflächen (nicht nur der anfänglichen zum Zeitpunkt t 0 )

12 Hubble Law Expected if universe is undergoing homogeneous and isotropic expansion 1 2 3r 12 r 23 r scale factor a(t) (from

13 4.) Bestimmung der möglichen räumlichen 3- Geometrien für homogene, isotrope räumliche Hyperflächen. muss um jeden Punkt, und damit speziell um den Koordinatenursprung isotrop sein – d.h. es besteht Kugelsymmetrie um den Ursprung; Ansatz (anlog zur Herleitung der Schwarzschildlösung): = radiale Koordinate die so gewählt wurde, dass der Umfang eines Kreises um den Ursprung mit Radius gerade 2 wird.

14 Wenn ein Raum existiert, der homogen und um jeden Punkt isotrop ist, dann muss die räumliche Metrik folgende Form haben: Forderung nach Homogenität = Isotropie um jeden Punkt Krümmungsskalar von muss an allen Raumpunkten eines zu einem beliebigen Zeitpunkt t gehörenden Blattes den selben Wert haben.

15 r R = radius of the sphere

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18 Zusammenfassung: Robertson Walker Metrik

19 R 0 = Krümmungsradius (heute); hat Dimension der Länge 2

20 Parameter der RW-Metrik: (dimensionsloser) Skalenfaktor a(t) Krümmung (heute): K 0 = k / R 0 2 Mitbewegte Koordinaten: (r, ) (comoving coordinates) Label, die fest mit den Galaxien-Clustern verbunden sind und sich daher zeitlich nicht ändern ! gewöhnliche Polarkoordinaten, z.B. RA, dec rMitbewegte radiale Koordinate (Entferung), unabh. von t, = physikalische Entfernung heute l(t) = a(t) r radiale Entfernung zur Epoche t (proper radial distance)

21 r R = radius of the sphere

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23 Wellenpaket ErdeGalaxie (0,0,0) ( r(t), e, e ) (r e, e, e ) Das Signal läuft auf einer Null-Geodäten (null cone) ds 2 = 0

24 Zusammenfassung: Friedmann-Gleichungen

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