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16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1 Vorlesung 4: Roter Faden: 1. Evolution des Universums Roter Faden: 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen.

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1 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 1 Vorlesung 4: Roter Faden: 1. Evolution des Universums Roter Faden: 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen 2.Evolution des Universums in der ART

2 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 2 Zum Mitnehmen: 1.Licht empfindet Gravitation. Lichtquant (Photon) hat effektive Masse m = E/c 2 = hν/c 2 2.Materie krümmt den Raum und Weltlinien folgen Raumkrümmung. Diese gekrümmte Weltlinien erzeugen für Licht Gravitationslinsen und Schwarze Löcher

3 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 3 Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen 1.Newtonsche Mechanik 2.+ Krümmungsterm k/S 2 3.+ E=mc 2 (oder u= c 2 ) 4.+ Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.) 5. + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante) Dies sind genau die Ingredienten die man braucht für ein homogenes und isotropes Universum, das evtl. heiß sein kann (Druck 0)

4 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 4 Zum Mitnehmen 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α c 2 : (t) S(t) -3(1+α) S(t) t 2/3(1+α) 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k 0 t ½ 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k 1 t 2/3 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k 2 e Ht (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) 5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H0 14.10 9 yr statt t= 2/3H 0 10.10 9 yr (älteste Galaxien > 13.10 9 yr !)

5 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 5 Minkowski 4-dimensionale Raum-Zeit

6 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 6 Metrik = Vorschrift zur Längenmessung

7 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 7 Mathematische Beschreibung der Krümmung

8 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 8 Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

9 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 9 Krümmung im 3-dim. Raum -> 4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer Raum

10 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 10 Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor. Für ein homogenes und isotropes Universum gilt: Metrik unabh. von,θ, d.h. d = dθ = 0

11 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 11 Längen im gekrümmten Raum

12 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 12 Friedmann Gleichungen

13 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 13 Erste Friedman Gleichung nach Newton Dimensionslose Dichteparameter: M m v =Friedmann für k=-2E/m

14 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 14 Differenziere (1) und benutze u= c 2 ergibt die zweite Friedm. Gl Berücksichtigung der Expansionsenergie (1) (2) dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.

15 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 15 Kosmologische Konstante p

16 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 16 Kosmologische Konstante

17 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 17 Energieerhaltung aus Friedmann Gl.

18 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 18 Zeitentwicklung der Dichte

19 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 19 Zeitentwicklung der Dichte

20 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 20 Zeitentwicklung des Universums

21 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 21 Zeitentwicklung des Universums

22 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 22 Inflation bei konstantem 0 Oder S(t) e t/ mit Zeitkonstante = 1 /H Alter des Univ., d.h.beschleunigte Expansion durch Vakuumenergie jetzt sehr langsam, aber zum Alter t 10 -36 s sehr schnell! Dieser Inflationsschub am Anfang, die durch die Symmetriebrechung einer vereinheitlichter Urkraft, wie durch GUTs (Grand Unified Theories) vorhergesagt, ist die einzige Erklärung warum Univ. so groß ist und soviel Materie hat.

23 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 23 Alter des Universums mit 0

24 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 24 Alter des Universums mit 0

25 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 25 Alter des Universums mit 0

26 16 Nov. 2007 Kosmologie, WS 07/08, Prof. W. de Boer 26 Zum Mitnehmen 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α c 2 : (t) S(t) -3(1+α) S(t) t 2/3(1+α) 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k 0 t ½ 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k 1 t 2/3 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k 2 e Ht (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) 5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H0 14.10 9 yr statt t= 2/3H 0 10.10 9 yr (älteste Galaxien > 13.10 9 yr !)


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