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Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, 13.11.2009 1 Vorlesung 4: Roter Faden: 1. Evolution des Universums Roter Faden: 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen.

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1 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Vorlesung 4: Roter Faden: 1. Evolution des Universums Roter Faden: 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen 2.Evolution des Universums in der ART

2 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen 1.Newtonsche Mechanik 2.+ Krümmungsterm k/S E=mc 2 (oder u= c 2 ) 4.+ Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.) 5. + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante) Dies sind genau die Ingredienten die man braucht für ein homogenes und isotropes Universum, das evtl. heiß sein kann (Druck 0)

3 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Heute: diese Zeit ausrechnen unter Berücksich- tigung der Dunklen Energie

4 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Zum Mitnehmen 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α c 2 : (t) S(t) -3(1+α) S(t) t 2/3(1+α) 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k 0 t ½ 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k 1 t 2/3 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k 2 e Ht (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) 5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H yr statt t= 2/3H yr (älteste Galaxien > yr !)

5 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Minkowski 4-dimensionale Raum-Zeit

6 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Metrik = Vorschrift zur Längenmessung

7 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Mathematische Beschreibung der Krümmung

8 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Krümmung im 3-dim. Raum -> 4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer Raum

9 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor. Für ein homogenes und isotropes Universum gilt: Metrik unabh. von,θ, d.h. d = dθ = 0

10 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Längen im gekrümmten Raum

11 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Friedmann Gleichungen

12 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Erste Friedman Gleichung nach Newton Dimensionslose Dichteparameter: M m v =Friedmann für k=-2E/m

13 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Differenziere (1) und benutze u= c 2 ergibt die zweite Friedm. Gl Berücksichtigung der Expansionsenergie (1) (2) dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.

14 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Kosmologische Konstante p

15 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Kosmologische Konstante

16 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Energieerhaltung aus Friedmann Gl.

17 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Zeitentwicklung der Dichte

18 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Zeitentwicklung der Dichte

19 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Zeitentwicklung des Universums

20 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Zeitentwicklung des Universums

21 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Wie groß ist das sichtbare Universum für =1? Jetzt mit S(t) = kt 2/3(1+ ) Daraus folgt: = d = dt / S(t) oder mit S(t) = kt 2/3(1+ ) = c d = c 1/ kt 2/3(1+ ) dt = (3+3 )/(1+3 )(c/k) t (1+3 ) /(3 +3 ) Oder R 0 = S(t) = (3+3 )/(1+3 ) c t 0 = 3ct 0 für =0 (Materiedominanz) ct 0 für =1/3 (Strahlungsdominanz) 0 ct 0 für =-1 (Vakuumenergie) Wie berechnet man R 0 für Kombination aller drei???? Nützlich: berechne nicht alles als Fkt. von S und t, sondern H und z, denn dies sind die beobachteten Größen. Beachte: Wellenlänge skaliert mit S!! D.h. 1+z=λ obs /λ emit =S 0 /S. ODER BEI z=1 war das Univ. nur halb so groß, bei z=1000 1/1000.

22 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Inflation bei konstantem 0 Oder S(t) e t/ mit Zeitkonstante = 1 /H Alter des Univ., d.h.beschleunigte Expansion durch Vakuumenergie jetzt sehr langsam, aber zum Alter t s sehr schnell! Dieser Inflationsschub am Anfang, die durch die Symmetriebrechung einer vereinheitlichter Urkraft, wie durch GUTs (Grand Unified Theories) vorhergesagt, ist die einzige Erklärung warum Univ. so groß ist und soviel Materie hat.

23 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Alter des Universums mit 0

24 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Alter des Universums mit 0

25 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Alter des Universums mit 0

26 Wim de Boer, KarlsruheKosmologie VL, Zum Mitnehmen 1.Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α c 2 : (t) S(t) -3(1+α) S(t) t 2/3(1+α) 2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k 0 t ½ 3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k 1 t 2/3 4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k 2 e Ht (exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant) 5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H yr statt t= 2/3H yr (älteste Galaxien > yr !)


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