Lösungsweg: Satz von Gauß

Präsentation zum Thema: "Lösungsweg: Satz von Gauß"—  Präsentation transkript:

1 Lösungsweg: Satz von Gauß
Berechnung von Feldstärken aus der Ladungsverteilung Lösungsweg: Satz von Gauß

2 Inhalt Berechnung der Feldstärken für
Kugelsymmetrische Ladungsverteilung Ladung auf einem langen dünnen Draht Ladung auf einer sehr großen Platte Ladungen auf zwei sehr großen parallelen Platten, dem „Plattenkondensator“

3 Gilt für beliebig geformte geschlossene Flächen
Der Satz von Gauß Gilt für beliebig geformte geschlossene Flächen 1 Nm2/C „Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes“ 1 C Summe der Ladungen innerhalb des Volumens 1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

4 Berechnung der Feldstärke mit Hilfe des Gaußschen Satzes
|E| ist nur bei hoher Symmetrie eine Funktion nur einer Variabler Ist die Ladungsverteilung im Raum bekannt, dann kann für beliebige, geschlossene Volumina der elektrische Fluss berechnet werden Aus einem einzigen Wert des elektrischen Flusses kann nur bei einigen symmetrischen Ladungsverteilungen die Funktion für die Feldstärke angegeben werden Im allgemeinen ist die Feldstärke ein Feld von Vektoren

5 Wahl von Form und Lage der „geschlossenen Fläche“
Die Symmetrie der „geschlossenen Fläche“ sei gleich der Symmetrie der Feldlinien Die Teilflächen der „geschlossenen Fläche“ wähle man so, dass ihre Flächennormalen bezüglich der Feldlinien entweder parallel oder senkrecht liegen Man nützt die im Gaußschen Satz vorgesehene Möglichkeit beliebiger Wahl der -die Ladung umschließenden- Fläche

6 Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale Fläche?
Nein! 1 Nm2/C

7 Fluss um eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung
Die optimale Fläche ist hier eine Kugel um den Schwerpunkt der Ladungen: An jedem Punkt der Oberfläche ist die Feldstärke konstant E und steht parallel zu dA 1 Jm/C Feldstärke und Ladung bei kugelsymmetrischer Ladungsverteilung

8 Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r von einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung
1 N/C Feldstärke im Abstand r von der Kugel 1 C Ladung auf der Kugel 1 m Abstand von der Kugel 1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

9 Vergleich mit dem Coulombgesetz
1N Coulombkraft 1C Ladungen 1 m Abstand

10 Coulombgesetz ≡ Kraft im Feld einer Punktladung
1 N/C Feldstärke einer Punktladung Kraft im Feld ≡ Coulombgesetz

11 Versuch Kraft zwischen Punktladungen

12 Berechnung des Flusses um einen geladenen, langen Draht
A=2π·r·l 1 Nm2/C Fluss durch einen um den Draht gelegten Zylinder. Die Skalarprodukte E·ΔA sind auf den Deckflächen Null, auf der Mantelfläche konstant 1 C/m Ladung pro Längeneinheit

13 Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r um einen Draht
1 N/C Feldstärke im Abstand r von einem langen Draht 1 C/m Ladung pro Längeneinheit 1 m Abstand vom Draht 1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

14 Feldstärke im Abstand r um einen geladenen Draht
In der Umgebung eines geladenen, langen, geraden Drahtes nimmt die Feldstärke bei zunehmendem Abstand r mit 1/r ab

15 Die Flächenladungsdichte
σ = Q/A Q 1 C Ladung auf einer Fläche A 1 m2 Flächeninhalt σ = Q/A 1 C/m2 Quotient: Ladung durch Fläche, genannt „Flächenladungsdichte“

16 Berechnung des Flusses um eine geladene, große Fläche
A=π·r2 A=π·r2 Q=σ· π·r2 1 Nm2/C Fluss durch einen um die Fläche gelegten Zylinder. Die Skalarprodukte E·ΔA sind auf der Mantelfläche Null, auf den Deckflächen konstant

17 Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r von einer Platte
1 N/C Feldstärke im Abstand r von einer großen Platte 1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit 1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante Für eine „unendlich große“ Platte ist die Feldstärke konstant, unabhängig vom Abstand

18 Feldstärke im Abstand r von einer großen negativ geladenen Platte
1 N/C Feldstärke im Abstand r von einer großen Platte 1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit 1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante Für eine „unendlich große“ Platte ist die Feldstärke konstant, unabhängig vom Abstand

19 Feldstärke um zwei „unendlich große“, geladene Platten
Der Plattenkondensator Eines der drei Modell-Bauteile der E-Lehre 1 N/C Feldstärke zwischen zwei unterschiedlich geladen Platten 1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit 1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

20 Feldstärke im Plattenkondensator
Im „unendlich großen“ Plattenkondensator ist bei gegebener, konstanter Ladung, die Feldstärke Im Innern „homogen“, d. h. konstant und unabhängig vom Abstand der „unendlich großen“ Platten Aussen Null

21 Zusammenfassung Für Ladungsverteilungen mit hoher Symmetrie liefert der Satz von Gauß die Feldstärke als Funktion der Ladung bzw. der Ladungsdichte und dem Abstand r [m] : Punktladung Q [C] : E= Q / (4πεor2) [N/C] , E ~ 1 / r2 Geladener langer Draht, Ladung pro Länge λ [C/m] : E= λ / (4πεor) [N/C] , E ~ 1 / r Geladene „unendlich große“ Platte, Ladung pro Fläche σ [C/m2] : E= σ / (2εo) [N/C] , E konstant Zwischen den Platten eines Plattenkondensators mit Ladung pro Fläche σ [C/m2] : E= σ / εo [N/C] Zwischen den Platten ist E konstant und - bei konstanter Ladung - unabhängig vom Abstand der Platten Außerhalb der Platten gibt es das „Streufeld“ viel geringerer Feldstärke

22 Finis Im „unendlich großen“ Plattenkondensator ist bei gegebener, konstanter Ladung, die Feldstärke unabhängig vom Abstand der „unendlich großen“ Platten