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Beugung an Streuzentren Berechnung der Phasen nach dem Huygensschen Prinzip.

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Präsentation zum Thema: "Beugung an Streuzentren Berechnung der Phasen nach dem Huygensschen Prinzip."—  Präsentation transkript:

1 Beugung an Streuzentren Berechnung der Phasen nach dem Huygensschen Prinzip

2 Inhalt Kohärente Streuung an –N Streuzentren angeordnet in einer Dimension (Kette) drei Dimensionen (Raumgitter)

3 Streuung an mehreren punktförmigen Streuzentren

4 Summation der von den Streuzentren ausgehenden Amplituden

5 Wahl des Koordinatensystems Streuamplitude, Formulierung mit Orts- und Streuvektor Als kovarianter Basisvektor a 1 wird der Abstandsvektor der Streuzentren gewählt Streuvektor im reziproken System Streuamplitude, Formulierung mit direkten und reziproken Koordinaten

6 Vorteile der nicht orthonormierten Koordinatensystems bei ko- und kontravarianten Basen Das Skalarprodukt im Exponenten sieht immer aus „wie orthonormiert“ Die Koordinaten sind dimensionslose Zahlen Die Bedingung für maximale Streuamplitude, ganzzahliges h 1, ist unmittelbar zu erkennen Aber: Verbindung zum Experiment nicht unmittelbar ersichtlich, denn –die Koordinate h 1 ist eine abstrakte Zahl, keine Messgröße

7 Streudreieck, k 0, k 1 sind Messgrößen Braggsche Gleichung Streuvektor, Aufstellung in reziproker Basis Betrag des Streuvektors Verbindung zum Experiment: Die Braggsche Gleichung In triklinen Systemen nicht trivial zu berechnen

8 Eigenschaften der Streuamplitude Bei ganzzahligen reziproken Koordinaten Verstärkung der Streuamplitude um den Faktor N, der Anzahl der Streuzentren Sonst: praktisch verschwindende Amplitude Genaue Rechnung: Geometrische Reihe

9 Geometrische Reihe, Ausklammern von und Nutzung der Eulerschen Beziehung Der Phasenfaktor ist ohne Bedeutung, weil die Intensität das Quadrat des Betrages der Amplitude ist Berechnung der Streuamplitude für beliebige Werte von h

10 Verlauf der Streuamplitude für 5 Streuzentren

11 Beispiel: Beugung an einer eindimensionalen Struktur Verkleinerung bis zur „Fraunhofer Beugung“

12 Streuvektor Zusammenhang zwischen dem Streuwinkel und dem Streuvektor: „Braggsche Gleichung“ Die Braggsche Gleichung

13 k1k1 Darstellung im reziproken Raum: Ewald Konstruktion Ursprung der reziproken Koordinaten Ebene mit h 1 =1 k0k0 h

14 k1k1 Darstellung im reziproken Raum: Ewald Konstruktion Ursprung der reziproken Koordinaten Ebene mit h 1 =1 k0k0 h Es gibt keine realen Objekte im reziproken Raum

15 Berechnung der Beugungswinkel Braggsche Gleichung, daraus folgt: Bedingung für die Koeffizienten h 2 h 3 bei gegebenem h 1 a 1 * =1/a h 1 = n für maximale Intensität Maxima unter dem Beugungswinkel θ liegen auf dem Umfang einer Kreisscheibe, die aus der Ebene durch n∙ a* senkrecht zu a* von einer Kugel mit Radius 1/ λ ausgeschnitten wird.

16 Streuung an dreidimensional periodisch angeordneten Streuzentren

17 Streuamplitude, Summation über alle Streuer Streuvektor im reziproken System aufgestellt, Basis Skalarprodukt Die Amplitude ist das Produkt über drei geometrische Reihen Bedingung für maximalen Betrag der Intensität in periodischen Gittern: Streuvektor mit ganzzahligen Komponenten Berechnung der Streuamplitude Huygenssches Prinzip

18 Gitter mit einem Teilchen pro Elementarzelle Elementarzelle mit zwei Teilchen pro Elementarzelle Gitter mit mehren Streuzentren in einer Zelle

19 Streuamplitude, Summation über alle Streuer Ortsvektor zu jedem Streuer Streuvektor mit Basis Die Summation über die Teilwellen nach Huygens ist eine lineare Operation: Zwei Teilchen pro Zelle, z. B., verdoppeln die Summen Huygenssches Prinzip Basis: Translationsvektoren Basis: reziprok zu den Translationsvektoren Im Gitter: Intensität nur für ganzzahlige h 1 h 2 h 3 Strukturfaktor für n identische Streuzentren in einer Elementarzelle

20 Strukturfaktor für n identische Streuzentren in einer Elementarzelle (ganzzahlige h, k, l ) Ortsvektor zum Streuer innerhalb der Zelle Skalarprodukt zwischen Orts- und Streuvektor Strukturfaktor, nur gültig für Streuvektoren mit ganzzahligen Koeffizienten h, k, l Basis: Translationsvektoren Invariantes Produkt aus direkten u. reziproken Koordinaten Der Strukturfaktor

21 Strukturfaktor Der Atomformfaktor berücksichtigt die individuelle Streukraft für jedes Streuzentrum der Sorte Der Atomformfaktor

22 Übung Berechnung des Strukturfaktors für das Diamant-Gitter (a=0,3567 nm) Interpretation der Information der Internationalen Tabellen für Kristallographie

23 Zusammenfassung Kohärente Strahlung ist die Voraussetzung aller „Beugungsbilder“ Addition der Amplituden nach dem Huygensschen Prinzip gilt für zwei wie für N beliebig angeordnete Streuzentren Im periodischen Gitter gibt es ein bevorzugtes Koordinatensystem, Basisvektoren sind die kürzesten Translationsvektoren Formulierung des Streuvektors in der dazu „reziproken Basis“ zeichnet Gitterpunkte mit ganzzahligen Indizes aus: –Amplitudenverstärkung um den Faktor der Elementarzellen –Sonst: praktisch verschwindende Intensität Verbindung mit dem Experiment bringt das Streudreieck, daraus folgt die Braggsche Gleichung

24 finis


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