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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 01.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Fr. 08:30-10:00 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle U 4 für Sonderfall R 1 = R 3 und R 2 = R 4 Lösung: Gegeben: Nebenstehende Schaltung in Bild 2.85 mit U Q und alle Widerstände. Gesucht: Bild Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005]) vollständiger Baum unabhängige Ströme Bild Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005]) Bestimmung über Umlaufanalyse Graph:

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle Lösung: Bild Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005]) vollständiger Baum unabhängige Ströme Zweig mit ( R 2 = 2) wird vollständiger Baum ( K = 2) ! ( V = Z - K + 1 = = 2 linear unabhängige Umlaufgleichungen.) Hauptdiagonalelemente der Widerstandsmatrix sind die Umlaufwiderstände des zu dem jeweiligen Strom gehörigen Umlaufs. Der Umlaufwiderstand ist die Summe aller Widerstandswerte in allen Zweigen, die den aktuellen Umlauf bilden. Im Umlauf M A gilt R 1 + R 2 und im Umlauf M B gilt R 2 + R 3 + R 4. Nebendiagonalelemente sind die Kopplungswiderstände: positives Vorzeichen, wenn Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand gleichgerichtet sind, sonst negativ. Hier in beiden Umläufen negativ, also -R 2, da die Umlaufströme in M A und M B im Mittelzweig entgegengesetzt gerichtet sind.

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle Lösung: vollständiger Baum unabhängige Ströme Matrixgleichung = Lineares Gleichungssystem (LGS) in Matrixform Zwei separate Umlaufgleichungen: = LGS der Umlaufgleichungen Knotengleichung

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle Bemerkung: Es gilt für die Matrix-Vektor-Multiplikation: Ausmultiplikation ergibt: 1. Zeile: 2. Zeile: Matrix-Vektor- Multiplikation

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle Mit R 1 = R 3 und R 2 = R 4 Überprüfung: Widerstandsmatrix [R] ist symmetrisch, d.h. R ij = R ji ! I 1 eliminieren: obere Gl. mal R 2, untere Gl. mal ( R 1 + R 2 ) und dann addieren oder

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle (mit R 2 = R 4 laut Aufgabenstellung)

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle Berechnung des gesuchten Strom I 3 mit Hilfe der Cramerschen Regel mit den Determinanten Dann gilt für den gesuchten Strom I 3 (mit R 2 = R 4 laut Aufgabenstellung) Bemerkung: Berechnung der Determinante einer allgemeinen 2x2-Matrix: (+) (-)

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle Bild Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005]) Vollständiger Baum unabhängige Ströme Graph: vollständiger Baum Graph: Alternativer Baum: unabhängige Ströme abhängiger Strom

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle unabhängige Ströme Graph: I 3 abhängiger Strom: Es gilt über die Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz) Die beiden Ströme I 1 und I 2 bestimmt man über die Cramersche Regel: abhängiger Strom I 3 nicht mehr direkt berechenbar! Nachteil des gewählten Baumes! Vollständiger Baum

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle R 1 = R 3 und R 2 = R 4

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen Aufgabe wie Beispiel 2.24! Gegeben: Alle Widerstände und Quellströme I B, I C Aufgabe: Strom I 1 allgemein und für I B = 4 A I C = 1 A Bild Netz mit zwei Stromquellen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 78, 2005]) Lösung: 1.Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln und dann Umlaufanalyse durchführen! oder 2.Man kann aber auch einfach folgendermaßen vorgehen: die Stromquellen werden in Verbindungszweige gelegt, und bei der Aufstellung des Gleichungssystems für die unabhängigen Ströme werden die Quellenströme I B, I C ebenso behandelt wie andere unabhängige Ströme auch.

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen Bild Netz mit zwei Stromquellen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 78, 2005]) Lösung: I B,I C,I 1,I 3 I B,I 1 I C, I 3 Den vollständigen Baum so wählen, dass die Stromquellen in Verbindungszweigen liegen!

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen Unbekannte: Bekannte Quellströme I B und I C auf rechten Seite ziehen: durch R dividieren: I 3 eliminieren: oben *5 auf untere addieren:

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes Gesucht: R 5 ? für Gegeben: Bild Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 95, 2005])

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes Lösung: Bild Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 95, 2005])

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes Lösung: 3. Gleichung von 2. Gleichung abziehen, eliminiert I : Damit kann die 3. Zeile aus dem Gleichungssystem gestrichen werden Es folgt also

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes Lösung: Mit I 2 = I 3 folgt dann beziehungsweise in zwei Gleichungen ausgeschrieben und nach Zusammenfassung der 2. und 3. Spalte oder wieder in Matrixform

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes Lösung: I 2 in 1. Gl. durch Einsetzen von I 2 aus 2. Gl. eliminieren, d.h. es folgt aus 2. Gl. und diese Beziehung in 1. Gl. eingesetzt ergibt

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung


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