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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/1 Beispiele.

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1 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/1 Beispiele für Gleichungssysteme 2.) ADiagonalmatrix D 1.)Avolle Matrix 3.) A tridiagonale Matrizen 4.) A untere Dreiecksmatrix L

2 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/2 Leicht invertierbare Matrizen Leicht invertierbare Matrizen sind a)Diagonalmatrizen, b)tridiagonale Matrizen, c)blockdiagonale Matrizen, d)Dreiecksmatrizen. Im Folgenden werden Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, deren Systemmatrix eine dieser Formen hat, angegeben. Für Diagonalmatrizen gilt

3 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/3 Leicht invertierbare Matrizen - Tridiagonale Matrizen Die Lösung von Gleichungssystemen mit tridiagonalen Matrizen erfolgt in 2 Schritten. Im ersten Schritt wird aus jeder Gleichung eine Unbekannte eliminiert. Im 2. Schritt wurden die Gleichungen dann aufgelöst. Dazu berechnet man zuerst die Hilfsgröße h 1 = -b 1 / a 1 rechte Seite p 1 = d 1 / a 1 und x 1 = p 1 + h 1 x 2 Dann für i = 2 bis n-1: h i = -b i / (a i + h i-1 c i ) p i = (d i - p i-1 c i ) / (a i + h i-1 c i ) und x i = p i + h i x i+1 Für i = n kann dann x n berechnet werden: x n = p n = (d n - p n-1 c n ) / (a n + h n- 1 c n ) Aus der rückläufigen Sequenz i = n-1 bis 1 folgen die restlichen Lösungen: x i = p i + h i x i+1

4 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/4 Anwendung auf Diskretisierung partieller Dglen A2) Abbildung K = j + (i-1) JM K K K K A3) Abbildung nach red-black ordering

5 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/5 Leicht invertierbare Matrizen - Blocktridiagonale Matrizen Beachte: Statt der Rechnung mit Zahlen sind hier Matrizenoperationen und die Lösung von Gleichungssystemen erforderlich. Bei blocktriagonalen Matrizen werden die Matrixelemente selber Matrizen und entsprechend die Vektorelemente Vektoren: A i, B i und C i sind quadratische kxk-Matrizen und X i, D i sind Vektoren der Länge k. Der Algorithmus für tridiagonale Matrizen kann auf blocktridiagonale Matrizen erweitert werden:

6 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/6 Leicht invertierbare Matrizen -Dreiecksmatrizen Gelingt es also, die Matrix [A] in das Produkt zweier Dreiecksmatrizen aufzuspalten, so kann man mit den angegebenen Formeln das Gleichungssystem lösen. Die Algorithmen von Gauss und Cholesky leisten solche Aufspaltungen. Vorwärts- Substitution Rückwärts- Substitution Die beiden tridiagonalen Gleichungssysteme lassen sich mit folgenden Formeln lösen:

7 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/7 Aufspaltung einer Matrizen A in Dreiecksmatrizen Eine Matrix A lässt sich als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U darstellen. Wegen giltA = L U,und aus dem Gleichungssystem Ax = b wird ein System von 2 Gleichungssystemen mit Dreiecksmatrizen Ax = L U x =L y = b mit U x = y Für die Berechnung der n (n+1)-Elemente von L und U stehen aus n 2 -Gleichungen zur Verfügung. n weitere Werte müssen festgelegt werden. Häufige Wahlen sind 1.l ii = 1Gaußscher Algorithmus 2.l ii = u ii Cholesky-Verfahren Die Aufgabe der Lösung eines allgemeinen Gleichungssystems ist damit, reduziert auf die Aufgabe zwei Gleichungssysteme, mit leicht invertierbaren Matrizen zu lösen.

8 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/8 Der verkettete Gaußsche Algorithmus

9 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/9 Der verkettete Gaußsche Algorithmus 4)Im nächsten Schritt werden Zeile 2 der Matrix und alle Spalten der Matrix multipliziert. Daraus bestimmt man die Elemente u 2i. 5)Entsprechend dem Vorgehen in 3 werden jetzt die Elemente l i2 bestimmt. Das Ergebnis dieses Vorgehens läßt sich allgemein angeben:

10 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/10 Der verkettete Gaußsche Algorithmus Für i > j gilt:

11 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/11 Der verkettete Gaußsche Algorithmus Aus diesem Vorgehen lassen sich leicht eine Reihe von Folgerungen ableiten: a) Sind in einer Zeile die Elemente a i1 bis a im je 0, so sind auch die Elemente l i1 bis l im je 0 b) Sind in einer Spalte j die Elemente a 1j bis a mj je 0, so sind auch die Elemente u 1j bis u mj je 0. c) Ist ein Element a ij ungleich 0, so sind auch die entsprechenden Elemente der triangularisierten Matrix ungleich 0 und es können zu allen folgenden Elementen von L bzw. U Beiträge erwartet werden. Durch die Triangularisierung wird die Form der von Null verschiedenen Matrixteile nicht verändert: Es werden aber Gebiete aufgefüllt. Für die Triangularisierung sind also nursolche Speichertechniken möglich, die dieses Auffüllen erlauben. Die Zahl der Operationen (Multiplikationen) läßt sich nach diesem Vorgehen abschätzen zu ~ Ein einfacher Trick erlaubt es, das Verfahren auch auf symmetrische Matrizen zu erweitern.

12 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/12 Das Cholesky-Verfahren Für symmetrische Matrizen gilt A T = A und die Zerlegung nach Gauß ergibt Wobei der Index I andeutet, dass die Hauptdiagonalelemente 1 sind. Da diese Zerlegung eindeutig ist, gilt: Das bedeutet für A: Für i = j gilt: a):

13 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/13 Das Cholesky-Verfahren Für i < j gilt: Aus Gleichung (a) kann das Diagonalelement u ii der Zeile i berechnet werden. Die übrigen Elemente der Zeile i ergeben sich aus (b). So wird [U] zeilenweise (i = 1,..., n) berechnet. Notwendig ist, dass die Matrix [A] positiv definiert ist, andernfalls kann sich in a) ein negativer Radikand ergeben. Ein Beispiel soll das Vorgehen beim Cholesky-Verfahren veranschaulichen. b):

14 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/14 Beispiel Cholesky Verfahren 1 Gegeben sei das Gleichungssystem Wir schreiben die Matrix als Produkt U T U, d.h. Und bestimmen die Elemente von U. Aus der ersten Zeile der Matrizengleichung erhalten wir die drei Gleichungen Wir bestimmen daraus die Unbekannten

15 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/15 Beispiel Cholesky Verfahren 2 Die zweite Zeile liefert die Gleichungen u 11 und u 12 sind schon bekannt, so dass nur noch die restlichen beiden Gleichungen gelöst werden müssen. Die Lösung lautet Schließlich bestimmen wir aus der dritten Zeile die letzte Unbekannte Durch Vorwärtssubstitution bestimmen wir nun die Komponenten des Hilfsvektors y

16 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/16 Beispiel Cholesky Verfahren 3 Damit lassen sich durch Rückwärtssubstitution die Komponenten von x bestimmen: Durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir die Lösung Daraus ergeben sich die drei Gleichungen

17 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/17 Anmerkung zu Cholesky Verfahren Anmerkung: Man vermeidet das Wurzelzeichen, wenn man auf folgende Darstellung zurückgreift: Dann wird für alle i j

18 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerische Methoden, SS 2001T V, Kp. 9 9/18 Iterative Verbesserung Bei den direkten Lösungsverfahren treten Rundungsfehler hauptsächlich bei der Triangularisierung auf. Löst man überso erhält man eine Lösung. Bildet man das Produkt der ursprünglichen Matrix und der Lösung so kann man ein Residuum berechnen: Den Beitrag von zur Lösung erhält man aus Damit kann man verbessern Wiederholt man diesen Vorgang, so werden die Auswirkungen der Triangularisierung immer kleiner. Der Aufwand pro Iterationsschritt beträgt weniger als der für zwei Auflösungen mit dem triangularisierten System.


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