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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 14.11.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 14.11.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 2 2.4. Lineare Zweipole Zweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A und B, dies kann ein lineares passives Bauelement wie ein Widerstand, eine Spule oder ein Kondensator, oder ein lineares aktives Bauelement wie eine Spannungs- oder Stromquelle sein. WiderstandSpuleKondensator Lineare passive Zweipole (Verbraucherzweipol) Verbraucherzählpfeilsystem (VZS): Bei Verbrauchern U und I im VZS gleichgerichtet! Lineare aktive Zweipole (Erzeugerzweipol) Verbraucherzählpfeilsystem (VZS) Bei Quellen U und I im VZS entgegengesetzt! Spannungs- quelle BatterieStrom- quelle Passiver linearer Zweipol Aktiver linearer Zweipol Black Box Betrachtung Black Box Betrachtung

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 3 2.4. Lineare Zweipole Zweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A und B, dies kann auch eine komplexere Schaltung mit nur zwei von außen zugänglichen Anschlüssen, dessen Innenleben nicht bekannt ist, nur ihr lineares Strom- und Spannungsverhalten, I=I(U) oder U=U(I ) muss bekannt sein. Bild 2.27. Zweipol mit 3 Spannungsquellen und 3 Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 51, 2005]) Zweipol

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 4 2.4.1 Generator- bzw. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem Strom- und Spannungsrichtungen in einem Netzwerk aus Zweipolen können willkürlich eingetragen werden, die Kirchhoffschen Gesetze gelten immer! Verbraucherzählpfeilsystem (VZS): ( Strom- und Spannungsrichtung gleich!) Dann Aufnahme elektrischer Leistung ( = Verbraucher) Dann Abgabe elektrischer Leistung ( = Generator) Generatorzählpfeilsystem (GZS) bzw. Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) ( Strom- und Spannungsrichtung entgegengesetzt!) Dann Aufnahme elektrischer Leistung ( = Verbraucher ) Abgabe elektrischer Leistung ( = Generator ) Bild 2.28. Zählpfeile am Generator- und Verbraucher-Zweipol (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 52, 2005]) Generator / Erzeuger Verbraucher Unterschiede liegen in der Beziehung zwischen realer Leistungsflussrichtung und den Vorzeichen von Strom und Spannung! Verbraucher:

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 5 2.4.1 Verbraucherzählpfeilsystem und Erzeugerzählpfeilsystem Verbraucherzählpfeilsystem (VZS): Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) - Generatorzählpfeilsystem (GZS) Passiver linearer Zweipol Aktiver linearer Zweipol Passiver linearer Zweipol Aktiver linearer Zweipol Passiver linearer Zweipol Aktiver linearer Zweipol Passiver linearer Zweipol Aktiver linearer Zweipol Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS) sind die Strom- und Spannungsrichtungen am passiven linearen Zweipol (Verbraucher) gleichgerichtet. Im Erzeugerzählpfeilsystem (EZS) sind die Strom- und Spannungsrichtungen am aktiven linearen Zweipol (Erzeuger) gleichgerichtet.

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 6 2.4.1 Generator- bzw. Erzeugerzählpfeilsystem und Verbraucherzählpfeilsystem Passiver linearer Zweipol Aktiver linearer Zweipol (VZS) Passiver linearer Zweipol Black Box Betrachtung Aktiver linearer Zweipol Leistungs- berechnung Die Summe über alle Leistungen in einem Stromkreis ist Null. Nebenrechnung:

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 7 2.4.2 Spannungsquellen Wechselspannungsquelle: Drehstrom-Generator - wichtigste Spannungsquelle, die den technischen Wechselstrom erzeugen - Gleichspannung erst nach Gleichrichtung Gleichspannungsquelle: Alle Arten von chemischen Spannungsquellen: * Trockenbatterie * Bleiakkumulator (Auto-Batterie) * Photovoltaikanlage (PV-Anlage) - Wechselspannung über Wechselrichtung z. B. Sunny Boy der Firma SMA

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 8 2.4.2 Spannungsquellen Lineare Näherung für die Funktion mit U q = Quellenspannung R i = Innenwiderstand nicht real, nur indirekt messbar Bild 2.29. Belastung einer Spannungsquelle mit einem Widerstand R (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 52, 2005]) liefert der Maschenumlauf M 1 : Zweipol - Spannungsquelle Geradengleichung: Nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz (2.44)

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 9 2.4.2 Spannungsquellen Bild 2.30. Abhängigkeit der Klemmenspannung von Belastungsstrom bei einer linearen Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005]) Setzt voraus, dass In Realität aber: -> (siehe nächste Folie) Zweipol - Spannungsquelle (2.44) Leerlauf Entspricht: Klemmen a-b offen! Kurzschluss Entsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen! Klemmenspannung als Funktion von U q, R i und I :

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 10 2.4.2 Spannungsquellen Bild 2.31. Innenwiderstand R i = f(I) bei verschiedenen neuwertigen 1,5-V-Trockenbatterien (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005]) Bild 2.32. Innenwiderstand zweier 12-V-Bleiakkumulatoren (Auto-Batterien) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005])

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 11 Bild 2.33. Messung des Kurzschlussstromes I K (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 53, 2005]) 2.4.2 Spannungsquellen Messung des Kurzschlussstrom I K einer Spannungsquelle Problem: Der Kurzschluss führt zu unzulässig hohen Strömen! Bestimmung des Innenwiderstandes R i einer Spannungsquelle: d.h. Kurzschluss über das Strommessgerät (Amperemeter) Messung der Leerlaufspannung U L einer Spannungsquelle Bild 2.34. Messung der Leerlaufspannung U q (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 54, 2005]) d.h. Leerlauf über das Spannungsmessgerät (Voltmeter) Kurzschlusss (K) = short circuit (sc) Leerlauf (L) = open circuit (oc)

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 12 Beispiel 2.13: Bestimmung von R i und U q aus zwei Belastungsfällen Lösung: Da aber real der Kurzschluss zu unzulässig hohen Strömen führt zwei Ersatzmessungen (Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig definiert!): Differenz der beiden Belastungsfälle bilden: Belastungsfall 1: Belastungsfall 2: Umgestellt gilt dann für den Innenwiderstand:

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 13 2.4.3 Linearität Spannungsquelle Kirchhoffsche Gesetze Da in diesen Gleichungen nur Summen bzw. Differenzen von Spannungen oder Strömen, ggf. multipliziert mit Konstanten wie z. B. Funktionen von Widerstandswerten, und keine Produkte beider oder z.B. trigonometrischer Funktionen, Exponentialfunktionen oder Potenzen von ihnen auftreten, sind alle Gleichungen linear, ebenso alle möglichen Kombinationen, die man daraus ableiten kann! Ohmsches Gesetz Ein Netz, das nur Ohmsche Widerstände und lineare Quellen enthält, nennt man ein lineares Netz!

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 14 2.4.3 Linearität Bei linearen Beziehungen lassen sich Ströme und Spannungen in einem Netzwerk aus mehreren Lastfällen linear kombinieren, d.h. addieren: 1. Lastfall 2. Lastfall als lineares Bauelement Widerstand: lineares Verhalten

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 15 2.4.3 Linearität Diode: als Beispiel für ein nichtlineares Bauelement 2. Lastfall 1. Lastfall nichtlineares Verhalten Dies gilt nicht bei der Verwendung von nichtlinearen Bauelementen, wie z.B. einer Diode!

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 16 Beispiel 2.14: Lineare Zusammenhänge am Spannungsteiler Lösung: Andere lineare Beziehungen, jetzt zwischen 2 Größen: Bild 2.35. Belasteter Spannungsteiler (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 56, 2005]) Gegeben: Belasteter Spannungsteiler in Bild 2.35 Gesucht: Zusammenhänge zwischen Spannungen und Ströme Allgemein gilt: Durch Umformung und Auflösen von Gleichungssystemen aus mehreren linearen Gleichungen entsteht immer wieder lineares Gleichungssystem!

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 17 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen Gegeben:1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt:

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 18 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen 4. Schritt: Natürlich gilt für die Spannung U 1234 am Widerstand R 1234 : Durch Rückgängigmachung der Schaltungsvereinfachung ermittelt man sämtliche Spannungen und Strömet:

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 19 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Netzwerkvereinfachungen Klemmenpaar einführen Hier Spezialfall: Kurzschluss

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 20 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Aktiver linearer Zweipol Ersatzspannungs- quelle Ersatzstrom- quelle Hermann von Helmholtz 1821-1894 Léon Charles Thévenin 1857-1926 Hans Ferdinand Mayer 1895-1980 Edward Lawry Norton 1898-1983

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 21 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Ersatzspannungsquelle [Hermann von Helmholtz, Annalen der Physik und Chemie, Vol. 89, No. 6, 211-233, 1853] In der deutschen Literatur selten nach Helmholtz benannt! Thévenin Equivalent Circuit / Equivalent Voltage Source [Léon Charles Thévenin, Annales Télégraphiques, 1883] In der englischen Literatur so bezeichnet! Ersatzstromquelle [Hans Ferdinand Mayer, Telegraphen und Fernsprech-Technik, 1926] In der deutschen Literatur selten nach Mayer benannt! Equivalent Current Source / Norton Equivalent Circuit [Edward Lawry Norton, Technical Report, Bell Laboratories, USA, 1926] In der englischen Literatur so bezeichnet! Hermann von Helmholtz 1821-1894 Léon Charles Thévenin 1857-1926 Hans Ferdinand Mayer 1895-1980 Edward Lawry Norton 1898-1983

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 22 2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole Ersatzspannungsquelle / Equivalent Voltage Source Helmholtz/ Thévenin Ersatzstromquelle / Equivalent Current Source Mayer / Norton Hermann von Helmholtz 1821-1894 Léon Charles Thévenin 1857-1926 Hans Ferdinand Mayer 1895-1980 Edward Lawry Norton 1898-1983 Helmholtz, H. v.: Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche. Annalen der Physik und Chemie, 89(6):211–233, 1853. Thévenin, L. C.: Extension de la loi dOhm aux circuits électromoteurs complexes [Erweiterung des Ohmschen Gesetzes auf elektromotorische Schaltungen]. Annales Télégraphiques, 10:222–224, 1883. Mayer, H. F.: Ueber das Ersatzschema der Verstärkerröhre. Telegraphen- und Fernsprech-Technik, 15:335– 337, 1926. Norton, E. L.: Design of finite networks for uniform frequency characteristic. Technical Report, Bell Laboratories, 1926.

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 14.11.2006 23 Ende der Vorlesung


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