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UNIVERSITÄT KASSEL -FACHBEREICH 17 MATHEMATIK- WS 2008/2009 ARITHMETIK ALS PROZESS HERR PROF. BLEY ERSTELLT VON: JENNY FORTH Summenformeln (2. Teil)

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Präsentation zum Thema: "UNIVERSITÄT KASSEL -FACHBEREICH 17 MATHEMATIK- WS 2008/2009 ARITHMETIK ALS PROZESS HERR PROF. BLEY ERSTELLT VON: JENNY FORTH Summenformeln (2. Teil)"—  Präsentation transkript:

1 UNIVERSITÄT KASSEL -FACHBEREICH 17 MATHEMATIK- WS 2008/2009 ARITHMETIK ALS PROZESS HERR PROF. BLEY ERSTELLT VON: JENNY FORTH Summenformeln (2. Teil)

2 Gliederung: 2 Summen von dritten Potenzen Summen von Quadratzahlen Übergang von Dreiecks-Zahlenfeldern zu Quadrat- Zahlenfeldern (Zahlenquadrat) Aufgabe zur Vertiefung (Übung)

3 Summen von dritten Potenzen n n3n Summe19 (1+8) 36 (1+8+27) 100 (...) (D n )

4 Wir stellen fest: Die Summe der ersten n dritten Potenz ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl D n. Diese Beziehung kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion oder eben auch mit Hilfe der 2. Summenformel direkt beweisen. 4

5 Summen von Quadratzahlen 5 Die folgende Darstellung zeigt, die hier dargestellten Summen der ersten natürlichen Zahlen ergibt genau n 2. Dies kann man sehr schnell durch Ausgleichen der Zahlen in den einzelnen Reihen erkennen:

6 Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen? 6 Wir betrachten drei unterschiedliche Kopien dieses Zahlendreiecks:

7 Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen? 7 Wenn wir diese drei Dreiecke übereinander legen und jeweils die drei übereinander stehenden Zahlen addieren, erhalten wir: Die Summe aller Zahlen beträgt: D 9 x 19 = 3 x ( )

8 Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen? 8 Die hier am Beispiel n = 9 (Zeilenanzahl im Dreieck) durchgeführten Operationen lassen sich unmittelbar auf den allgemeinen Fall übertragen: Die Summe aller Zahlen in einem Dreieck mit n Zeilen ist, die Summe der ersten n Quadratzahlen.

9 Lässt sich auch auf einfache Weise die Summe dieser Quadratzahlen bestimmen? 9 Werden drei Kopien des Dreiecks mit unterschiedlicher Anordnung der Zahlen übereinander gelegt, ergibt sich auf jedem der n x (n + 1)/2 Plätze die Summe 2n + 1, d. h. insgesamt die Summe: n x (n + 1)/2 x (2n + 1). Dieser Term liefert das 3-fache der Summe der ersten n Quadratzahlen. Wir dividieren durch 3 und erhalten die allgemeine Formel: ( n 2 ) = D n x (2n + 1) = n x (n + 1) x (2n + 1) / 6

10 Aufgaben zur Vertiefung: 10 Übergang von Dreiecks-Zahlenfeldern zu Quadrat- Zahlenfeldern. Wir betrachten das folgende Zahlenquadrat:

11 Aufgaben zur Vertiefung: 11 Gesucht wird eine Formel zur Berechnung eines Winkels!

12 VIELEN DANK FÜR EURE AUFMERKSAMKEIT! 12


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