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11. Matrizen Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n.

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3 11. Matrizen

4 Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij ) 1 i m, 1 j n

5 Eine m n-Matrix ist ein Raster aus m n Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind. = (a ij )

6 11.1 Addition und Multiplikation von Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) seien zwei m n-Matrizen. A + B = C mitc ij = a ij + b ij A - B = C mitc ij = a ij – b ij elementweise Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen. Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ. = +

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9 ( ) ()() A B

10 Da der zweite Index des ersten Faktors ebenso wie der erste Index des zweiten Faktors bis n läuft, kann man nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt: A = m n-Matrix, B = n p-Matrix = Das Ergebnis ist eine m p-Matrix. A B C

11 a b c d e f 1a + 2c + 3e

12 a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f

13 a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e

14 a b c d e f 1a + 2c + 3e, 1b + 2d + 3f 4a + 5c + 6e, 4b + 5d + 6f ( )

15 a b c d e f 1a+2c+3e1b+2d+3f 4a+5c+6e4b+5d+6f

16 Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m n-Matrix n p-Matrix = m p-Matrix =

17 Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m n-Matrix n p-Matrix = m p-Matrix = Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A B B A

18 Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n. m n-Matrix n p-Matrix = m p-Matrix = Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen A B B A

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56 Berechnung der Inversen A -1 von A. (E n (...(E 3 (E 2 (E 1 A))))) = I (E n... E 3 E 2 E 1 ) A = I (E n... E 3 E 2 E 1 I) A = I = A -1 A Werden also die Elementarmatrizen in derselben Reihen- folge auf die Einheitsmatrix angewandt, so entsteht daraus die zu A inverse Matrix A -1 = E n... E 3 E 2 E 1 I

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