Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 07.11.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 07.11.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein E-Mail: marklein@uni-kassel.demarklein@uni-kassel.de Tel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489 URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.tet.e-technik.uni-kassel.de URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.htmlhttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 2 Elektromotorische Kraft: EMK (veraltet) (2.8) Bei m Erzeugerspannungen n Verbraucherspannungen in einem Umlauf. Bild 2.8. EMK und Spannung einer Batterie (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 33, 2005]) Bild 2.1. Stromkreis aus Batterie und Widerstand (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005])

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 3 2.2 Parallel- und Reihenschaltung 2.2.1 Reihenschaltung von Widerständen Ohmsches Gesetz liefert (2.9a) (2.9b) (2.9c) Bild 2.9. Reihenschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 34, 2005]) Addition 1. Kirchhoffsches Gesetz 2. Kirchhoffsches Gesetz Gl. (2.11) und Gl. (2.12) in Gl. (2.10) einsetzen: Gesamtwiderstand R (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14)

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 4 2.2.1 Reihenschaltung von Widerständen Bild 2.9. Reihenschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 34, 2005]) Bild 2.10. Zum Ohmschen Gesetz (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 35, 2005]) Allgemeingültig bei Reihenschaltung von n Widerständen: (2.15) (Reihenschaltung) Ersatzschaltung:

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 5 2.2.2 Spannungsteiler Bild 2.9. Reihenschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 34, 2005]) Aus den Gleichungen zu Bild 2.9 Bildet man Verhältnis zur Gesamtspannung U und nutzt Gl. 2.13 Dies kann man verallgemeinern für Teilspannung am ν-ten Teilwiderstand einer Reihenschaltung aus n Widerständen (2.16) folgt nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 6 2.2.2 Spannungsteiler Speziell für 2 Widerstände in Reihe gilt: (2.17) (2.18) Bild 2.11. Unbelasteter Spannungsteiler (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 35, 2005])

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 7 2.2.3 Parallelschaltung von Widerständen Addition liefert 1. Kirchhoffsches Gesetz 2. Kirchhoffsches Gesetz Gl. (2.22) und Gl. (2.21) in Gl. (2.20) einsetzen: Vergleich mit Ohmschen Gesetz für Leitwert G resultierender Leitwert G bei Parallelschaltung von n Leitwerten (2.25) Parallelschaltung Bild 2.12. Parallelschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 36, 2005]) Ohmsches Gesetz liefert (2.20) (2.21) (2.22) (2.19a) (2.19b) (2.19c) (2.23) (2.24) Gesamtleitwert

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 8 2.2.3 Parallelschaltung von Widerständen Drückt man dies in Widerstandsform aus: anders geschrieben (2.26) Bild 2.13. Zum Ohmschen Gesetz (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Bild 2.12. Parallelschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 36, 2005]) Leitwertform ist bei Parallelschaltung einfacher zu handhaben! Ersatzschaltung:

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 9 2.2.3 Parallelschaltung von Widerständen Wieder Spezialfall mit 2 parallelgeschalteten Widerständen: (2.27) Bild 2.14. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung:

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 10 Beispiel: Parallelschaltung von zwei gleichen Widerständen Wieder Spezialfall mit 2 parallelgeschalteten Widerständen: (2.27) Bild. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung: Wenn die beiden parallelgeschalteten Widerstände gleich groß sind, beträgt der Gesamtwiderstand die Hälfte Einzelwiderstandes!

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 11 Beispiel: Parallelschaltung von zwei 10 kΩ Widerständen Wieder Spezialfall mit 2 parallelgeschalteten Widerständen: (2.27) Bild. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung: Wenn die beiden parallelgeschalteten Widerstände gleich groß sind, beträgt der Gesamtwiderstand die Hälfte Einzelwiderstandes!

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 12 Beispiel: Parallelschaltung von zwei Widerständen Es gilt am Beispiel von zwei parallelgeschalteten Widerständen: Bild. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) Ersatzschaltung: d. h. der Gesamtwiderstand R ist kleiner als jeder Einzelwiderstand, R 1 und R 2. Da durch die Parallelschaltung von Widerständen ein höherer Strom I durch die Parallelschaltung fließt als jeder einzelne Strom ist, I 1 und I 2. Es gilt ja auch nach der Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz):

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 13 2.2.4 Stromteiler Verallgemeinert gilt: Am Beispiel der 3 parallelgeschalteten Leitwerte kann man die Gleichungen des Ohmschen Gesetzes für einen und alle 3 Leitwerte ins Verhältnis setzen Bild 2.12. Parallelschaltung dreier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 36, 2005]) (2.28)

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 14 2.2.4 Stromteiler Sonderfall Parallelschaltung von 2 Leitwerten: (2.29b) Die Ströme verteilen sich im Verhältnis der Leitwerte bzw. reziprok zu den Widerständen Bild 2.14. Parallelschaltung zweier Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 37, 2005]) (2.29a)

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 15 2.2.5 Gruppenschaltung von Widerständen Eine Schaltung, die sich aus einer Gruppe von Elementen zusammensetzt, nennt man Gruppenschaltung. Wenn man in Netzwerken Gruppen von Widerständen zusammenfassen kann, vereinfacht das deren Berechnung: Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005])

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 16 Beispiel 2.4 Berechnung des resultierenden Widerstands einer Gruppenschaltung Gesamtwiderstand Berechnung der beiden Reihenschaltungen: Parallelschaltung berechnen: Lösung: Gegeben: Gruppenschaltung in Bild 2.15 Gesucht: Gesamtwiderstand Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) (2.31)

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 17 2.2.5 Gruppenschaltung von Widerständen Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Gruppenschaltung Bei einer Brückenschaltung kann man so nicht vorgehen, da Strom durch Querzweig und somit keine einfachen Reihenschaltungen vorliegen! Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung in Querzweig einfügen!

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 18 2.2.6 Brücken-Abgleich Man spricht von einer abgeglichenen Brücke, wenn: ist:, dann entspricht Bild 2.16 entspricht dann Bild 2.15 Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Gruppenschaltung Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung = wenn I 5 = 0 Strom im Querzweig gleich Null:

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 19 2.2.6 Brücken-Abgleich Praktische Anwendung: U 5 durch Messgerät ersetzen! Bei Abgleich der Brücke auf Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung kein Strom durch Messgerät! Bild 2.16b. Brückenschaltung als Messbrücke Brückenschaltung als Messbrücke! 3 I

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 20 2.2.6 Brücken-Abgleich Mit Spannungsteiler-Formeln (SPT-Formel) Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung Umlauf 1, 5, 3: linke Masche M 1 : (SPT 1) (SPT 2) Bei Abgleich der Brücke gilt Es folgt damit

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 21 2.2.6 Brücken-Abgleich Umformung liefert Abgleichbedingung: (2.32d) (2.32b) (2.32c) Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 22 2.2.6 Brücken-Abgleich, Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung Strom im Querzweig gleich Null: Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Gruppenschaltung = wenn I 5 = 0 Abgleichbedingung: kann aus der kann aus derSchaltung entfernt werden! D.h.:

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 23 2.2.6 Brücken-Abgleich Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Leerlauf zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Leerlauf: Abgleichbedingung: Gesamtwiderstand für den Leerlauf nach Gl. (2.31) :

24 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 24 2.2.6 Brücken-Abgleich Bild 2.17. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Kurzschluss zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Kurzschluss: Abgleichbedingung: Gesamtwiderstand für den Kurzschluss:

25 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 25 2.2.6 Brücken-Abgleich Bild 2.15. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Leerlauf zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Leerlauf: Abgleichbedingung: Bild 2.17. Gruppenschaltung Ohmscher Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Kurzschluss zwischen A und B Gesamtwiderstand für den Kurzschluss: !=!=

26 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 26 2.2.6 Brücken-Abgleich Anwendung: Bestimmung eines unbekannten R 1 ! Abgleichbedingung: (2.32d) Bild 2.16. Brückenschaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 39, 2005]) Brückenschaltung mit 3 bekannten Widerstände R 2, R 3, R 4 R 3 einstellbar spannungsunabhängig!

27 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 27 Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I 1 0 ? Abgleichbedingung: a) b) c) d)

28 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 28 Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I 1 0 ? Abgleichbedingung: a) b) c) d) ist NICHT abgeglichen

29 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 29 2.2.7 Schaltungssymmetrie In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen: Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005]) Symmetrische Schaltung Aufgrund der Symmetrie fließt zwischen den Klemmen A und B kein Strom! Deswegen kann man zwischen den Klemmen A und B einen beliebigen Widerstand R AB einfügen.

30 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 30 2.2.7 Schaltungssymmetrie In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen: Aus Schaltung 2.18c lässt sich der Gesamtwiderstand bestimmen! Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005]) Aufgrund der Symmetrie! Aufgrund der Symmetrie!

31 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 31 2.2.7 Schaltungssymmetrie Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen Parallel- schaltung Parallel- schaltung Reihen- schaltung Reihen- schaltung

32 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 32 2.2.7 Schaltungssymmetrie Reihen- schaltung Parallel- schaltung Parallel- schaltung

33 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 33 2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen 2.3 Strom- und Spannungsmessung 2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser Innenwiderstand des Messgerätes R Innenwiderstand = R i Bild 2.19. Strommessung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005]) Bild 2.19b. Strommessung R i : Innenwiderstand des Messgerätes: R i ist zusätzlich im Messkreis R i verkleinert Strom I R i möglichst klein wählen ideales Messgerät Innenwiderstand des Messgerätes

34 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 34 2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser R i zusätzliche Belastung der Spannungsquelle Bild 2.20. Spannungsmessung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005]) Innenwiderstand des Messgerätes R Innenwiderstand = R i R i : zusätzlicher Strom R i möglichst groß mit Bild 2.20b. Spannungsmessung

35 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 35 2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: I MV Widerstand des Messwerks: R M Aufbau: Zeigerausschlag ist proportional des Messstromes I Messwerk zeigt wegen der Trägheit immer den zeitlichen Mittelwert des Messstromes an Gleichstrommessung; Wechselstrom nach Gleichrichtung Bild 5.10. Drehspule in radialhomogenen Feld (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 216, 2005]) Skala Feder Magnet Zeiger Anschlussklemme Spule Mess- strom Mess- strom

36 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 36 2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: I MV Widerstand des Messwerks: R M Skala Feder Magnet Zeiger Anschlussklemme Spule

37 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 37 Beispiel 2.6: Eigenverbrauch eines Drehspulmesswerks Lösung: Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag: P MW ? Gegeben: Gesucht: Widerstand des Messwerks: Strom des Messwerks bei Vollausschlag: (Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag)

38 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 38 2.3.3 Klassengenauigkeit Fehler = Abweichung des angezeigten Stromes vom wahren Strom Klassenzeichen: Anzeigefehler in Prozent vom Vollausschlag Präzisionsinstrumente Klassen 0,1 ( ± 0,1 % ); 0,2; 0,5 Betriebsinstrumente Klassen 1; 1,5; 2,5; 5 (alte analoge Technik!)

39 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 39 Beispiel 2.7: Messgenauigkeit eine Drehspulinstrumentes Klasse 1,5 im Messbereich 300 mA? z. B. abgelesen 150 mA heißt wahrer Wert Fehler: entspricht Abweichung vom Messwert! Maximale Abweichung 1,5 % von 300 mA, also Lösung: abgelesen 50 mA heißt wahrer Wert Fehler: entspricht Abweichung ± 9 % vom Messwert Fehler: entspricht Abweichung Daher sinnvoll Messbereichsumschaltung in Stufen 1, 3, 10, 30 … Spannungsmessung mit diesem Instrument: Bei Vollausschlag abgelesen 150mA heißt wahrer Wert vom Messwert, I = 0 … 9 mA

40 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 40 2.3.4 Messbereichserweiterung 2.3.4.1 Strom-Messbereichserweiterung Strom I bei Vollausschlag: I V Bild 2.21. Parallelschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 44, 2005]) Stromverhältnis über Stromteiler-Formel: Gesamtstrom über Stromteiler-Formel: Messwerk mit Innenwiderstand R M Parallelgeschalteter Widerstand

41 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 41 Beispiel 2.8: Berechnung eines Parallelwiderstandes zur Strom-Messbereichserweiterung Messwerkwiderstand: Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom: Messbereichserweiterung: Strommessung bis I MV = 1 mA : Bestimme Messwiderstand R P = ? Lösung: Gleichung oben umformen nach G P : Gegeben: Gesucht: (Messwerkwiderstand)

42 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 07.11.2006 42 Ende der Vorlesung