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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 24.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 24.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

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1 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am Fr. 08:30-10:00 Uhr; R (Hörsaal) Universität Kassel (UNIK) FB 16 Elektrotechnik / Informatik FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG) FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115 D Kassel Dr.-Ing. René Marklein Tel.: ; Fax: URL: URL:

2 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Stern-Dreieck-Transformation Allgemein möglich: Umwandlung von Vieleckschaltungen: Polygone in Sterne und umgekehrt Bild Vierersterin und Viereck aus Ohmschen Widerständen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 79, 2005])

3 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Stern-Dreieck-Transformation Praktische Bedeutung hat Umwandlung Dreieck/Dreierstern: mit der Abkürzung Bild (Dreier-)Stern und Dreieck-Schaltung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 80, 2005]) Zum Beispiel, gleiches Verhalten zwischen den Klemmen 1 und 2 fordert: (rechts) (links) (2.88a) (2.88b) (2.88c) (2.88d)

4 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Umwandlung Dreieck in Stern (2.90a) Einsetzen in Gl. (2.88a): (2.90b) Gl. (2.88a) in Gl. (2.88c) einsetzen: (2.90c) Die Linearkombination Gl. (2.88a) + Gl. (2.88c) – Gl. (2.88b):

5 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Umwandlung Dreieck in Stern Allgemein formuliert: (2.90a) (2.90b) (2.90c)

6 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Umwandlung Stern in Dreieck (2.91b) (2.91c) Linke Seiten von Gl. (2.91a) und Gl. (291.b) gleichsetzen: Ebenso Gl. (2.91b) mit Gl. (2.91.c): Aus den Gln. (2.90a)-(2.90c) (jeweils Nenner rechts mit linker Seite vertauschen): (2.91a) (2.92) (2.93) Gl. (2.92) und Gl. (2.93) in Gl. (2.91a) einsetzen: (2.94)

7 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Umwandlung Stern in Dreieck (2.96) Allgemein formuliert: (2.94) (2.95)

8 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Umwandlung Stern in Dreieck Gl. (2.96) in Leitwertform: (2.97a) (2.97b) (2.97c) Allgemein formuliert: (2.96)

9 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V /2 Umwandlung Dreieck in Stern und Stern in Dreieck (2.90a) (2.90b) (2.90c) (2.97a) (2.97b) (2.97c)

10 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Vor- und Nachteile der Netzumwandlung 3 Maschen 7 Knoten Umwandlung sinnvoll, wenn neue Topologie leichter berechenbar, sich z.B. einfache Reihen- und Parallelschaltung durch die Umwandlung ergibt. Nachteil: verschiedene Ströme (hier I 1, I 2, I 4 ) nicht mehr direkt zugänglich! Bild Netzumwandlung (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 82, 2005]) 4 Maschen 6 Knoten + + Bild Dreieck-Stern-Transformation eines einfachen Netzes (Reduktion von 3 auf 2 Maschen) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 83, 2005])

11 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.25: Berechnung des Eingangswiderstandes einer Brückenschaltung Lösung: Gegeben: Bild Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 83, 2005]) Bild Brückenschaltung nach Dreieck-Stern-Transformation (vgl. Clausert & Wiesemann Bd. I, S. 84, 2005]) Dreieck-Stern- Transformation

12 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.25: Berechnung des Eingangswiderstandes einer Brückenschaltung Zusammenfassung der unteren vier Widerstände: Gesamtwiderstand aus Reihenschaltung: Bild Brückenschaltung nach Dreieck- Stern-Transformation (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) (2.98)

13 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) 2.8 Umlauf- und Knotenanalyse linearer Netze Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Zusammenhang Spannung/Strom über Ohmsches Gesetz: Kirchhoffsche Knotengleichungen für Knoten K A bis K D : (2.101a) (2.101b) (2.101c) (2.101d) ( K D ist auch die Summe von K A + K B + K C, also linear abhängig! ) KA:KB:KC:KD:KA:KB:KC:KD: (2.100a) (2.100f) Definition: (Maschen) Maschen M sind Umläufe, die im Innern keine Zweige enthalten.

14 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Kirchhoffsche Knotengleichungen für die k = 4 Knoten A bis D : (2.101a) (2.101b) (2.101c) (2.101d) In einem Netz mit K Knoten können K - 1 linear unabhängige Knotengleichungen aufgestellt werden. In diesem Netzwerk mit K = 4 Knoten können K - 1 = 3 linear unabhängige Knotengleichungen aufgestellt werden. Im allgemeinen gilt: KA:KB:KC:KD:KA:KB:KC:KD: ( K D ist auch die Summe von K A + K B + K C, also linear abhängig! )

15 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Knotengleichung aber auch möglich für größere Teile des Netzes: Zweig A - B als Knoten: Bild Großknoten in dem Netz aus Bild 2.76 (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 85, 2005]) Zweig A - B als Knoten Umgestellt gilt zu- fließend ab fließend

16 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Knotengleichung aber auch möglich für größere Teile des Netzes: Zweig A-C als Knoten K AC : Zweig A-D als Knoten K AD : Zweig B-C als Knoten K BC : Zweig B-D als Knoten K BD : Zweig C-D als Knoten K CD : Zweig A-B-C als Knoten K ABC : usw. In einem Netz mit K Knoten können K - 1 linear unabhängige Knotengleichungen aufgestellt werden. Analog folgen: Im allgemeinen gilt: Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

17 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Umlaufgleichung auf die drei Maschen M 4, M 5, M 6 : Andere Möglichkeit: Umlauf A-B-C-D-A d.h. Umlauf 7 ( ): In einem Netz mit M Maschen können M linear unabhängige Maschengleichungen aufgestellt werden. (2.102d) (2.102a) (2.102b) (2.102c) M 4 : M 5 : M 6 : linear abhängig, da Addition von Gl. (2.102a) und Gl. (2.102b) die Gl. (2.102d) ergibt! Im allgemeinen gilt: Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) In diesem Netzwerk mit M = 3 Maschen können M = 3 linear unabhängige Maschengleichungen aufgestellt werden. U 7 :

18 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Für das Beispiel Bild 2.76 existieren 12 linear unabhängige Gleichungen: 3 Maschengleichungen für M = 3 Maschen 6 Strom-/Spannungsbeziehungen zur Bestimmung der 12 unbekannten Ströme und Spannungen. (2.101a) (2.101b) (2.101c) 3 = K - 1 Knotengleichungen für K = 4 Knoten führen auf (2.102a) (2.102b) (2.102c) (2.100a). (2.100f) Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005]) Masche M 4 : Masche M 5 : Masche M 6 : Knoten K A : Knoten K B : Knoten K C :

19 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Vorgehen: Spannungen in den Gln. (2.102a)-(2.102c) durch Ströme über das Ohmsche Gesetz, die letzten 6 Gleichungen, ersetzen Elimination von der drei Srröme über die drei Knotengleichungen (2.101a), (2.101b) und (2.101c): Nach Umsortierung ergeben sich die drei folgenden Gleichungen (2.102a) (2.102b) (2.102c) (2.100a). (2.100f) (2.101a) (2.101b) (2.101c)

20 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Die letzten drei Gleichungen können dann in die folgende Matrixform gebracht werden (2.104d) Nach dem Ausmultiplizieren der einzelnen Termin und dem Sortieren der einzelnen Ströme folgt (2.104a) (2.104b) (2.104c) algebraische Matrixgleichung

21 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit (2.104d) Algebraische Matrixgleichung

22 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Lösung der Matrixgleichung mit Hilfe der Cramerschen Regel und Determinantenrechnung (2.104d) Gesucht ist die Lösung der allgemeinen 3x3-Matrixgleichung Inverse Matrix Lösungswege: 1.Berechnung der inversen Matrix über die Bestimmung der Adjungierten und der Determinante 2.Cramersche Regel / Determinantenrechnung / Regel von Saurrus/ Laplacescher Entwicklungssatz 3.Gaußscher Eliminationsverfahren (Gaußscher Algorithmus )

23 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Bestimmungsgleichungen für Ströme und Spannungen in einem Netz; lineare Abhängigkeit Gesucht ist die Lösung der allgemeinen 3x3-Matrixgleichung über die Determinantenrechnung und die Cramerschen Regel Gabriel Cramer (* 31. Juli 1704 in Genf, Schweiz, 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze, Frankreich) war ein Schweizer Mathematiker. Lösung der Matrixgleichung über die Cramersche Regel unter der Bedingung

24 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Netzwerk nach Bild 2.76 mit obigen Gln. Zahlenwerte in die Gleichungen (2.104a)-(2.104c) einsetzen Lösung: Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

25 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle ((c)*4+(b)): Jetzt 2 Gln. mit 2 Unbekannten, 3 * Gl. (2.106b) + Gl. (2.106a) Rückwärts einsetzen. mit Gl. (2.106a) folgt Aus (2.105a): (2.106b) (2.106a) (2.106b) und dann I 5 eliminieren (Gl. (2.105a)*8 + Gl. (2.105b)): (2.106a) Einheiten kürzen, d.h. alle Gleichungen durch Ω teilen: (2.105a) (2.105b) (2.105c)

26 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Jetzt in die Knotengleichungen (2.101a)-(2.101c) einsetzen: (2.101a) (2.101b) (2.101c) Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

27 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Zahlenwerte in die Gleichungen (2.104a)-(2.104c) einsetzen Lösung gilt für die Lösung mit Hilfe der Cramerschen und Sarrusschen Regel: mit Die unbekannten Ströme I 4, I 5 und I 6 folgenden über

28 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Determinante einer 3x3-Matrix -> Regel von Sarrus 1.und 2. Spaltenvektor zur Hilfe rechts anfügen (+) (+) (+) (-) (-) (-)

29 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Determinante einer 3x3-Matrix -> Regel von Sarrus (+) (+) (+) (-) (-) (-)

30 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

31 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

32 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle

33 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Beispiel 2.26: Ströme in einem dreimaschigen Netz mit Spannungsquelle Jetzt in die Knotengleichungen (2.101a)-(2.101c) einsetzen: (2.101a) (2.101b) (2.101c) Bild Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

34 Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V Ende der Vorlesung


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