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Schnelle Matrizenoperationen von Christian Büttner Proseminar Ergänzende Kapitel zu DAP II Informationsquelle: Cormen, Leiserson, Rivest Introduction.

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Präsentation zum Thema: "Schnelle Matrizenoperationen von Christian Büttner Proseminar Ergänzende Kapitel zu DAP II Informationsquelle: Cormen, Leiserson, Rivest Introduction."—  Präsentation transkript:

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2 Schnelle Matrizenoperationen von Christian Büttner Proseminar Ergänzende Kapitel zu DAP II Informationsquelle: Cormen, Leiserson, Rivest Introduction to algorithm

3 Was erwartet uns? Strassens Algorithmus Lineare Gleichungssysteme Invertieren von Matrizen Symetrisch positiv definite Matrizen

4 Strassens Algorithmus Warum ein Algorithmus? Matrixoperationen sind wichtig in der Wissenschaft z.B. Strömungsverhalten von Wasser. Was macht der Algorithmus? Berechnung des Produktes zweier n n Matrizen Vergleich zum naiven Algorithmus? Der naive Algorithmus benötigt Strassens Algorithmus nur )( 3 n

5 Strassens Algorithmus Der Algorithmus basiert auf der Divide & Conquer Idee. Dann ergeben sich die vier Gleichungen Multiplikation ist nicht Kommutativ !

6 Strassens Algorithmus Dies liefert einen rekursiven Algorithmus mit Laufzeit Strassens Algorithmus hingegen liefert:

7 Strassens Algorithmus 1) Eingangsmatrix in Untermatrizen teilen. 2) Mit skalar Additionen/Subtraktionen 14 Matrizen aufstellen 3) rekursiv berechnen 4) berechne r,s,t,u durch addieren/subtrahieren der verschiedenen Matrizen

8 Strassens Algorithmus

9 Kann man wie folgt darstellen =+ Analog kann man mit verfahren +=

10 Strassens Algorithmus

11 Nun kann man r wie folgt bestimmen

12 Strassens Algorithmus Weiter kann man folgendes machen

13 Strassens Algorithmus Beispiel

14 Strassens Algorithmus Satz: Sei (R,+,*) ein Ring, dann ist auch ein Ring Beweis: Assoziativgesetz bzgl + wird vererbt. Neutrales Element ist die Matrix die nur aus dem neutralen Element des Rings R besteht. Oft als 0 bezeichnet Additives inverse ist die Matrix aus den additiven inversen Elementen des Rings R. Kommutativität bzgl. + wird vererbt.

15 Strassens Algorithmus

16 Anmerkung Binärmatrizen Die Definition der Multiplikation Konvertiere die Binärmatrix in die reellen Zahlen und führe Strassens Algorithmus durch. Prüfe ob ein wert ungleich 0 ist, wenn ja ersetze ihn durch 1

17 Lineare Gleichungssysteme Problemstellung: Satz: Ist A invertierbar so gibt es genau eine Lösung Mögliche Lösung eines LGS: Problem: numerisch instabil

18 Lineare Gleichungssysteme LUP-Decomposition PA=LUP ist Permutationsmatrix L ist linker untere normierte Dreicksmatrix U ist rechte obere Dreiecksmatrix

19 Lineare Gleichungssysteme Forward substitution

20 Lineare Gleichungssysteme Backsubstitution

21 Lineare Gleichungssysteme Beispiel LU-Decomposition

22 Lineare Gleichungssysteme LUP-Decomposition -LU-Decomposition mit Spaltenpivotierung. Betragsgrösstes Element suchen und Zeilen vertauschen und in einem Permutationsvektor speichern => numerisch stabiler und Division durch NULL wird vermieden Laufzeitverhalten ist (n³)

23 Matrizen invertieren Was können wir ? Lösen von linearen Gleichungen auch für verschiedene b Was bringt uns das? Kann man auch für jede Spalte einzeln Lösen

24 Matrizen invertieren Zeitaufwand: LUP-Zerlegung (n³) Lösen der linearen Gleichung für n Spaltenvektoren n* (n²)= (n³) => (n³)

25 Matrizen invertieren Satz: Sei M(n) die Zeit um zwei n n Matrizen zu multiplizieren und I(n) die Zeit um eine n n Matrix zu invertieren, dann gilt I(n)= (M(n)) Beweis: M(n)=O(I(n)) Seien A,B zwei n n Matrizen. D lässt sich in O(I(3n)) =O(I(n)) invertieren => M(n)=O(I(n))

26 Matrizen invertieren I(n)=O(M(n)) Beweis Idee -erweitern der Matrix mit Identität, so dass man eine Potenz von 2 erhält -für symetrisch positiv definite Matrizen definiert man einen rekursiven Algorithmus mit Laufzeitverhalten I(n) 2I(n/2)+4M(n)+O(n²)= 2I(n/2)+O(M(n))=O(M(n)) Die Matrix ist nicht symetrisch positiv definit

27 Symmetrisch positive definite Matrizen Definition: Eine symetrisch positiv definite Matrix erfüllt folgende Bedingungen Satz: Jede positiv definite Matrix ist invertierbar Beweis: Sei Ax=0 d.h. die Zeilen der Matrix sind linear abhängig. Dies ist ein Widerspruch zu Eigenschaft 2)

28 Symmetrisch positive definite Matrizen Satz: Ist A symetrisch und positiv definit, so ist jede linke obere Untermatrix symetrisch und positiv definit. Beweis: -symetrisch ist klar

29 Symmetrisch positive definite Matrizen Satz: Ist A eine symetrisch, positiv definite Matrix, dann ist das Schur-komplement auch symetrisch positiv definit Definition des Schurkomplemtes

30 Symmetrisch positive definite Matrizen Beweis: Man kann zeigen, dass S symetrisch ist. Wir wollen nur zeigen, dass S positiv definit ist. q.e.d. Symmetrisch positive definite Matrizen

31 Korollar: Symmetrisch positiv definite Matrizen verursachen bei einer LU-Decompositon nie eine Division durch 0. Beweis: Sei A eine symetrisch positiv definite Matrix. Da jede linke obere Untermatrix positiv definit ist, ist auch das erste Element positiv insbesondere nicht 0. Der erste Schritt der LU-Decomposition erstellt das Schurkomplement. Nun kann man per Induktion zeigen dass alle Pivotelemente ungleich 0 sind.

32 Symmetrisch positive definite Matrizen Gegeben sei eine Menge von Punkten. Nun möchte man ein Polynom des Grades n finden, so dass die Kurve möglichst nah an allen Punkten vorbei geht.

33 Symmetrisch positive definite Matrizen Was ist ? Wobei n die Anzahl der Basisfunktionen angibt. Was ist nun ?

34 Symmetrisch positive definite Matrizen Nun wollen wir den Fehler dabei betrachten

35 Symmetrisch positive definite Matrizen Beispiel: Die Punkte (-1,2),(1,1),(2,1),(3,0),(5,3) sollen durch eine quadratische Kurve approximiert werden.

36 Ich habe fertig!


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