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Veröffentlicht von:Ernst Gent Geändert vor über 10 Jahren
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Schnelle Matrizenoperationen von Christian Büttner
Proseminar Ergänzende Kapitel zu DAP II Informationsquelle: Cormen, Leiserson, Rivest Introduction to algorithm
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Was erwartet uns? Strassens Algorithmus Lineare Gleichungssysteme
Invertieren von Matrizen Symetrisch positiv definite Matrizen
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Strassens Algorithmus
Warum ein Algorithmus? Matrixoperationen sind wichtig in der Wissenschaft z.B. Strömungsverhalten von Wasser. Was macht der Algorithmus? Berechnung des Produktes zweier n n Matrizen Vergleich zum naiven Algorithmus? Der naive Algorithmus benötigt Strassens Algorithmus nur ) ( 3 n Q
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Strassens Algorithmus
Der Algorithmus basiert auf der Divide & Conquer Idee. Dann ergeben sich die vier Gleichungen Multiplikation ist nicht Kommutativ !
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Strassens Algorithmus
Dies liefert einen rekursiven Algorithmus mit Laufzeit Strassens Algorithmus hingegen liefert:
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Strassens Algorithmus
1) Eingangsmatrix in Untermatrizen teilen. 2) Mit skalar Additionen/Subtraktionen 14 Matrizen aufstellen 3) rekursiv berechnen 4) berechne r,s,t,u durch addieren/subtrahieren der verschiedenen Matrizen
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Strassens Algorithmus
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Strassens Algorithmus
Kann man wie folgt darstellen = + Analog kann man mit verfahren + =
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Strassens Algorithmus
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Strassens Algorithmus
Nun kann man r wie folgt bestimmen
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Strassens Algorithmus
Weiter kann man folgendes machen
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Strassens Algorithmus
Beispiel
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Strassens Algorithmus
Satz: Sei (R,+,*) ein Ring, dann ist auch ein Ring Beweis: Assoziativgesetz bzgl + wird “vererbt”. Neutrales Element ist die Matrix die nur aus dem neutralen Element des Rings R besteht. Oft als 0 bezeichnet Additives inverse ist die Matrix aus den additiven inversen Elementen des Rings R. Kommutativität bzgl. + wird “vererbt”.
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Strassens Algorithmus
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Strassens Algorithmus
Anmerkung Binärmatrizen Die Definition der Multiplikation Konvertiere die Binärmatrix in die reellen Zahlen und führe Strassens Algorithmus durch. Prüfe ob ein wert ungleich 0 ist, wenn ja ersetze ihn durch 1
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Lineare Gleichungssysteme
Problemstellung: Satz: Ist A invertierbar so gibt es genau eine Lösung Mögliche Lösung eines LGS: Problem: numerisch instabil
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Lineare Gleichungssysteme
LUP-Decomposition PA=LU P ist Permutationsmatrix L ist linker untere normierte Dreicksmatrix U ist rechte obere Dreiecksmatrix
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Lineare Gleichungssysteme
Forward substitution
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Lineare Gleichungssysteme
Backsubstitution
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Lineare Gleichungssysteme
Beispiel LU-Decomposition
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Lineare Gleichungssysteme
LUP-Decomposition -LU-Decomposition mit Spaltenpivotierung. Betragsgrösstes Element suchen und Zeilen vertauschen und in einem Permutationsvektor speichern => numerisch stabiler und Division durch NULL wird vermieden Laufzeitverhalten ist (n³)
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Matrizen invertieren Was können wir ?
Lösen von linearen Gleichungen auch für verschiedene b Was bringt uns das? Kann man auch für jede Spalte einzeln Lösen
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Matrizen invertieren Zeitaufwand: LUP-Zerlegung (n³)
Lösen der linearen Gleichung für n Spaltenvektoren n* (n²)= (n³) => (n³)
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Matrizen invertieren Satz: Sei M(n) die Zeit um zwei nn Matrizen zu multiplizieren und I(n) die Zeit um eine nn Matrix zu invertieren, dann gilt I(n)=(M(n)) Beweis: “M(n)=O(I(n))” Seien A,B zwei nn Matrizen. D lässt sich in O(I(3n)) =O(I(n)) invertieren => M(n)=O(I(n))
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Matrizen invertieren “I(n)=O(M(n))” Beweis Idee
-erweitern der Matrix mit “Identität, so dass man eine Potenz von 2 erhält -für symetrisch positiv definite Matrizen definiert man einen rekursiven Algorithmus mit Laufzeitverhalten I(n)2I(n/2)+4M(n)+O(n²)= 2I(n/2)+O(M(n))=O(M(n)) Die Matrix ist nicht symetrisch positiv definit
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Definition: Eine symetrisch positiv definite Matrix erfüllt folgende Bedingungen Satz: Jede positiv definite Matrix ist invertierbar Beweis: Sei Ax=0 d.h. die Zeilen der Matrix sind linear abhängig. Dies ist ein Widerspruch zu Eigenschaft 2)
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Satz: Ist A symetrisch und positiv definit, so ist jede linke obere Untermatrix symetrisch und positiv definit. Beweis: -symetrisch ist klar
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Satz: Ist A eine symetrisch, positiv definite Matrix, dann ist das Schur-komplement auch symetrisch positiv definit Definition des Schurkomplemtes
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Beweis: Man kann zeigen, dass S symetrisch ist. Wir wollen nur zeigen, dass S positiv definit ist. q.e.d.
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Korollar: Symmetrisch positiv definite Matrizen verursachen bei einer LU-Decompositon nie eine Division durch 0. Beweis: Sei A eine symetrisch positiv definite Matrix. Da jede linke obere Untermatrix positiv definit ist, ist auch das erste Element positiv insbesondere nicht 0. Der erste Schritt der LU-Decomposition erstellt das Schurkomplement. Nun kann man per Induktion zeigen dass alle Pivotelemente ungleich 0 sind.
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Gegeben sei eine Menge von Punkten. Nun möchte man ein Polynom des Grades n finden, so dass die Kurve möglichst nah an allen Punkten vorbei geht.
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Was ist ? Wobei n die Anzahl der Basisfunktionen angibt. Was ist nun ?
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Nun wollen wir den Fehler dabei betrachten
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Symmetrisch positive definite Matrizen
Beispiel: Die Punkte (-1,2),(1,1),(2,1),(3,0),(5,3) sollen durch eine quadratische Kurve approximiert werden.
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Ich habe fertig!
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